Тангенс угла наклона прямой L и прямой L равен

Метод Рунге-Кутта

 

 

Студенты ФИРТ

Группа ПО

Преподаватель

Гадилова Ф.Г.

 

 

Уфа 2007 г.

 

Содержание

ВВЕДЕНИЕ……………………………………………………………………………..…3

ГЛАВА 1. ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ

1.1. СУТЬ МЕТОДА РУНГЕ-КУТТА…………………………………………5

1.2. НАЗНАЧЕНИЕ И ОБЛАСТЬ ПРИМЕНЕНИЯ…………………………10

ГЛАВА 2. ПРАКТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ

2.1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ И РАЗРАБОТКА АЛГОРИТМА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ…………………………………………………………………..……….11

2.2. ВЫБОР СОСТАВА ТЕХНИЧЕСКИХ И ПРОГРАММНЫХ СРЕДСТВ…………………………………………………………………...……...16

2.3. ВЫЗОВ И ЗАГРУЗКА ПРОГРАММЫ…………………….………….…...17

2.4. ТЕСТИРОВАНИЕ ПРОГРАММЫ……………………………………...…18

ЗАКЛЮЧЕНИЕ………………………………………………………………...…………19

ЛИТЕРАТУРА………………………………………………………………….…………20

ПРИЛОЖЕНИЯ:

ПРИЛОЖЕНИЕ№1 (ЛИСТИНГ ПРОГРАММЫ)

Введение

Целью курсовой работы является: написать программу для нахождения приближенного решения обыкновенного дифференциального уравнения y’=f(x,y), y(a)=y0 методом Рунге-Кутта пятого порядка на отрезке [a,b] с заданным постоянным шагом h.

Для достижения данной цели необходимо выполнить следующие задачи:

1. Рассмотреть суть метода Рунге-Кутта.

2. Назначение и область применения.

3. Протестировать программу.

Данная задача относится к численным методам. Необходимо найти решение обыкновенного дифференциального уравнения с постоянным шагом h.

Для решения задачи будет использоваться язык программирования Turbo Pascal 7.0, так как этот язык позволяет работать с математическими формулами, проводить различного рода математические операции и действия. Turbo Pascal фирмы Borland является расширением стандарта языка и содержит интегрированную среду, данного ускоряющую и облегчающую процесс разработки программ. В языке программирования Turbo Pascal 7.0 используется типизированный адресный оператор, открытые массивы и строки, что предоставляет пользователю дополнительные возможности при решении математических задач. В математических задачах часто требуется реализовать численные методы, экспериментально исследовать условие и скорость сходимости методов. В условии задачи, как правило, дается основная идея каждого метода (Эйлера, Рунге-Кутта и т.д.).

Вычисление функции и ее производной, используемой в задаче, рекомендуется оформлять в виде подпрограмм, так, чтобы можно было представлять любую функцию, не меняя самой программы. Погрешность, начальное условие и параметр алгоритма задаются вводом. Там, где это возможно, рекомендуется тестировать алгоритм на примерах, для которых известно или может быть найдено аналитически точное решение.

Глава 1.

Суть метода Рунге-Кутта

Метод Рунге-Кутта включает в себя несколько других таких как: метод Эйлера и метод Эйлера – Коши.

Методы Рунге-Кутта обладают следующими свойствами:

1. Эти методы являются одноступенчатыми: чтобы найти у_m+1, нужна

информация о предыдущей точке xm,ym.

2. Они согласуются с рядом Тейлора вплоть до членов порядка hp, где степень р различна для различных методов и называется порядковым номером или порядком метода.

3. Они не требуют вычисления производных отf (x,y),а требуютвычисления самой функции.

Рассмотрим сначала геометрическое построение и выведем некоторые формулы на основе геометрических аналогий. После этого мы подтвердим полученные результаты аналитически. (Аналитический метод, применяется которого дает решение дифференциального уравнения в виде аналитического выражения; Графический метод, дающий приближенное решение в виде графика; Численный метод, когда искомая функция получается в виде таблицы.)

Предположим, нам известна точка xm,ym на искомой кривой. Тогда мы можем провести прямую линию с тангенсом угла наклона у¢_m=f(x_m,y_m), которая пройдет через точку x_m,y_m. Это построение показано на рис.1, где кривая представляет собой точное, но конечно неизвестное решение уравнения, а прямая линия L1 построена так, как это только что описано.

Тогда следующей точкой решения можно считать ту, где прямая L₁ пересечет ординату, проведенную через точку x=x_m+1=x_m+h.

 

Уравнение прямой L₁ выглядит так: y=y_m+y¢_m(x-x_m) так как y¢=f(x_m,y_m) и кроме того, x_m+1=x_m+h тогда уравнение примет вид

y_m+1=y_m+h*f(x_m,y_m) 1.1.

 

Ошибка при x=x_m+1 показана в виде отрезка е. Очевидно, найденное таким образом приближенное значение согласуется с разложением в ряд Тейлора вплоть до членов порядка h, так что ошибка ограничения равна e_t=Кh2

 

Заметим, что хотя точка на рис.1 была показана на кривой, в действительности y_m является приближенным значением и не лежит точно на кривой.

 

Формула 1.1 описывает метод Эйлера, один из самых старых и широко известных методов численного интегрирования дифференциальных уравнений. Отметим, что метод Эйлера является одним из методов Рунге-Кутта первого порядка.

 

Рассмотрим исправленный метод Эйлера и модификационный метод Эйлера. В исправленном методе Эйлера мы находим средний тангенс угла наклона касательной для двух точек: x_m,y_m и x_m+h,y_m+hy¢_m. Последняя точка есть та самая, которая в методе Эйлера обозначалась x_m+1,y_m+1. Геометрический процесс нахождения точки x_m+1,y_m+1 можно проследить по рис.2. С помощью метода Эйлера находится точка x_m+h,y_m+hy¢_m, лежащая на прямой L₁. В этой точке снова вычисляется тангенс, дает прямую L. Наконец, через точку x_m,y_m мы проводим прямую L, параллельную L. Точка, в которой прямая L пересечется с ординатой, восстановленной из x=x_m+1=x_m+h, и будет искомой точкой x_m+1,y_m+1.

Тангенс угла наклона прямой L и прямой L равен

 

Ф(x_m,y_m,h)=½[f(x_m,y_m)+f(x_m+h,y_m+y¢_mh)] 1.2.

 

где y¢_m=f(x_m,y_m) 1.3.

 

Уравнение линии L при этом записывается в виде

 

y=y_m+(x-x_m)Ф(x_m,y_m,h),

 

так что

y_m+1=y_m+hФ(x_m,y_m,h). 1.4.

 

Соотношения 1.2, 1.3, 1.4 описывают исправленный метод Эйлера.

 

Чтобы выяснить, насколько хорошо этот метод согласуется с разложением в ряд Тейлора, вспомним, что разложение в ряд функции f(x,y) можно записать следующим образом:

 

f(x,y)=f(x_m,y_m)+(x-x_m)¶f/¶x+(y-y_m)¶f/¶x+¼ 1.5.

 

где частные производные вычисляются при x=x_m и y=y_m.

 

Подставляя в формулу 1.5 x=x_m+h и y=y_m+hy¢_m и используя выражение 1.3 для y¢_m, получаем

f(x_m+h,y_m+hy¢_m)=f+hf_x+hff_y+O(h2),

 

где снова функция f и ее производные вычисляются в точке x_m,y_m. Подставляя результат в 1.2 и производя необходимые преобразования, получаем

Ф(x_m,y_m,h)=f+h/2(f_x+ff_y)+O(h2).

 

Подставим полученное выражение в 1.4 и сравним с рядом Тейлора

y_m+1=y_m+hf+h2/2(f_x+ff_y)+O(h3).

 

Как видим, исправленный метод Эйлера согласуется с разложением в ряд Тейлора вплоть до членов степени h2, являясь, таким образом, методом Рунге-Кутты второго порядка.

Рассмотрим модификационный метод Эйлера. Рассмотрим рис.3 где первоначальное построение сделано так же, как и на рис.2. Но на этот раз мы берем точку, лежащую на пересечении этой прямой и ординатой x=x+h/2. На рисунке эта точка образована через Р, а ее ордината равна y=y_m+(h/2)y¢_m. Вычислим тангенс угла наклона касательной в этой точке

 

Ф(x_m,y_m,h)=f+(x_m+h/2,y_m+h/2*y¢_m), 1.6.

 

где y¢_m=f(x_m,y_m) 1.7.

 

Прямая с таким наклоном, проходящая через Р, обозначена через L*. Вслед за тем, мы проводим через точку xm,ym прямую параллельную L*, и обозначаем ее через L₀. Пересечение этой прямой с ординатой x=x_m+h и даст искомую точку x_m+1,y_m+1. Уравнение прямой можно записать в виде y=y_m+(x-x_m)Ф(x_m,y_m,h),

где Ф задается формулой 1.6. Поэтому

 

y_m+1=y_m+hФ(x_m,y_m,h)1.8.

 

Соотношения 1.6, 1.7, 1.8 описывают так называемый модификационный метод Эйлера и является еще одним методом Рунге-Кутта второго порядка. Обобщим оба метода. Заметим, что оба метода описываются формулами вида

 

y_m+1=y_m+hФ(x_m,y_m,h) 1.9.

 

и в обоих случаях Ф имеет вид

 

Ф(x_m,y_m,h)=a₁f(x_m,y_m)+a₂f(x_m+b₁h,y_m+b₂hy¢_m), 1.10.

где y¢_m=f(x_m,y_m) 1.11.

 

В частности, для исправленного метода Эйлера

 

a₁=a₂=1/2;

b₁=b₂=1.