Примеры для самостоятельного решения. Пример 1. 27 марта 2008 года в Бухаресте состоялся товарищеский матч Румыния – Россия

 

Пример 1. 27 марта 2008 года в Бухаресте состоялся товарищеский матч Румыния – Россия. По его итогам эксперты газеты «Спорт-Экспресс» поставили каждому игроку, участвовавшему в матче, оценки по 10-бальной системе, оценив уровень физической подготовки. Данные приведены в таблице 3.

Таблица 3

№	Россия	Румыния
	-

 

Можно ли утверждать, что по уровню физической подготовки команда Румынии не превосходила команду России (α= 0,01)?

Ответ: Гипотеза об одинаковом уровне физической подготовки команд отвергается. =21, =9.

 

Пример 2. Обследовались 2 мусульманские республики с целью определить степень религиозности населения. В качестве признака религиозности выбрали количество людей, посетивших мечеть за 12 главных религиозных праздников мусульман.

 

Таблица 4

Праздник	Республика А	Республика В
		–

 

Можно ли утверждать, что в республике А уровень религиозности населения превышает уровень религиозности в республике В? Уровень значимости α = 0,05. : уровень религиозности в республике А не превышает уровень религиозности в республике В.

Ответ: принимается. = 4, = 6.

 

Пример 3. Кандидат в депутаты Государственной Думы выступает перед двумя различными аудиториями. В первой половине дня – перед студентами вузов, после 18 часов – перед рабочими кондитерских фабрик. В каждой из этих аудиторий проводится опрос с предложением оценить свое впечатление от кандидата по 10-ти бальной шкале, число опрашиваемых в обеих аудиториях – 12 человек. Полученные оценки:

студенты

рабочие

 

: оценка выступления депутата студентами не превышает оценки его выступления рабочими. Уровень значимости α = 0,05.

Ответ: отвергается. = 9, = 6.

 

Пример 4. Сравнивалась производительность труда по количеству выпущенных деталей в смену у двух групп рабочих. В первую группу вошли рабочие со стажем больше 5 лет, во вторую – менее 5 лет. Получены данные:

 

1 группа (13 человек)	2 группа (13 чел.)

 

: рабочие первой группы не превосходят вторую группу по производительности (α=0,05).

Ответ: отвергается. = 11, = 6.

 

Пример 5. Выборка А и выборка В сопоставляются по некоторому количественно измеренному признаку. Проверить гипотезу выборка А не превышает выборку В по уровню исследуемого признака.

 

 

1) α = 0,01

А:	В:
132,	126,
134,	127,
124,	132,
132,	120,
135,	119,
132,	126,
131,	120,
132,	123,
121,	120,
127,	123,
136,	120,
129,	116,
136.	123.

 

Ответ: отвергается. = 10, = 9.

2) α = 0,05

А:	В:
696,	681,
703,	695,
713,	701,
720,	711,
719,	713,
725,	720,
730,	723,
746,	735,
751,	731,
756,	740,
780,	743,
793.	756.

 

Ответ: принимается. = 4, = 6.

 

3) α = 0,05

 

А:	В:
150,	138,
147,	137,
147,	133,
142,	130,
141,	130,
140,	130,
140,	127,
137,	125,
136,	121,
132,	119,
130,	119,
125.	115.

 

Ответ: отвергается. = 11, = 6.

4) α = 0,01

 

А:	В:
928,	800,
915,	815,
930,	825,
1000,	900,
1020,	887,
1015,	825,
990,	834,
958,	910,
895,	915,
935,	810,
1005,	928,
1012.	890.

 

Ответ: отвергается. = 17, = 9.

5) α = 0,01

 

А:	В:
95,	26,
104,	29,
100,	30,
93,	30,
86,	42,
70,	58,
55,	70,
50,	86,
52,	83,
58,	67,
79,	48,
93.	40.

 

Ответ: отвергается. = 13, = 9.

U- критерий Манна-Уитни

 

Назначение критерия. U-критерий предназначен для оценки различий между двумя выборками по уровню какого-либо признака, количественно измеренного. В отличие от Q – критерия Розенбаума позволяет выявлять различия между малыми выборками. Когда . U – более мощный, чем Q-критерий. Эмпирическое значение U-критерия отражает то, насколько велика зона совпадений между выборками. Чем меньше U_эмп, тем более вероятно, что различия значимы.

Ограничения критерия. В каждой выборке должно быть не больше 60 наблюдений.

Гипотезы:

уровень признака в группе 2 не ниже уровня признака в группе 1.

уровень признака в группе 2 ниже уровня признака в группе 1.

Замечание. 1 группа считается та, в которой значение признака по предварительной оценке выше.

Алгоритм подсчета U- критерия Манна-Уитни.

1. Расположить все значения двух выборок в единый ряд по степени увеличения признака. При этом надо сохранить возможность различать в едином ряду значения признака 1 выборки от значений второй, например, записав их ручками двух различных цветов.

2. Проранжировать весь ряд значений по следующим правилам:

а) меньшему значению меньший ранг;

б) если несколько значений равны, им начисляется ранг, равный среднему арифметическому тех рангов, которые они получили бы, если бы не были равны;

в) подсчитать общую сумму рангов, сравнить с расчетной. Общая сумма рангов должна совпадать с расчетной, которая определяется по формуле: где N - общее количество ранжируемых наблюдений, N = n ₁ + n ₂.

3. Вновь расположить значения признака вместе с присвоенными им рангами: отдельно выборка 1 и выборка 2.

4. Подсчитать сумму рангов для каждой выборки отдельно; определить большую из ранговых сумм.

5. Определить эмпирическое значение U – критерия по формуле:

где объем выборки 1,

объем выборки 2,

большая из двух ранговых сумм,

объем выборки с большой суммой рангов.

6. Задается уровень значимости α.

7. Определить критические значения критерия из таблицы критических значений U – критерия Манна-Уитни (таблица II приложения) для известных значений , и заданного уровня значимости α.

8. Если > , принимается, если ≤ , отвергается.

 

Пример. За 6 месяцев было подсчитано количество ДТП в месяц, совершенных водителями частных автомобилей и водителями общественного транспорта в г. Москве.

Можно ли утверждать, что число нарушений правил дорожного движения водителями общественного транспорта не меньше, чем водителями частных автомобилей? Уровень значимости α = 0,05.

 

Таблица числа ДТП за 6 месяцев

 

месяцы	Частные автомобили	Общественный транспорт

 

Решение. Выполнив 1-3 шаг описанного выше алгоритма подсчета U – критерия, получим таблицу:

Частные автомобили	Общественный транспорт
Число ДТП	ранг	Число ДТП	ранг
			8,5
	6,5		8,5
	6,5
суммы		-

 

Подсчитаем сумму рангов в таблице . Расчетная сумма рангов: .

Равенство реальной и расчетной сумм соблюдено.

Большая ранговая сумма у частных автомобилей. Сформулируем гипотезу : группа частных автомобилей не превосходит по числу ДТП группу общественного транспорта. : у частных водителей уровень ДТП выше. Определим .

.

Находим в таблице значений U – критерия при и α = 0,05. = 7. Делаем вывод: > , нулевая гипотеза принимается, т.е. количество ДТП у водителей общественного транспорта не меньше, чем у водителей частных автомобилей.