Симплексный метод решения задач ЛП

Общая постановка задачи

Симплексный метод – метод последовательного улучшения плана.

Метод является универсальным, так как позволяет решить практически любую задачу линейного программирования. Математическая модель задачи приводится к каноническому (стандартному) виду. Заполняется опорная симплекс – таблица с использованием коэффициентов целевой функции и системы ограничений. Решается задача по алгоритму.

Идея симплексного метода заключается в том, что начиная с некоторого исходного опорного решения осуществляется последовательно направленное перемещение по допустимым решениям к оптимальному. Значение целевой функции для задач на максимум не убывает. Так как число допустимых решений конечно, то через конечное число шагов получим оптимальное решение.

 

 

Алгоритм симплексного метода

 

1.Математическую модель задачи привести к каноническому (стандартному) виду.

 

2. Построить начальную симплекс-таблицу исходя из стандартного вида.

 

3. Найти разрешающий столбец. В строке коэффициентов ЦФ найти значение с самим маленьким отрицательным числом. Этот столбец и будет разрешающим.

 

4. Вычислить разрешающую строку и ведущий элемент (Почленно разделить столбец свободных членов на элементы разрешающего столбца, за исключением строки ЦФ. Выбрать наименьшее из частных. Эта строка будет разрешающей.Ведущий элемент будет на пересечении разрешающего столбца и разрешающей строки.).

 

5.Построить новую симплекс-таблицу-второй шаг.

 

При построении новой таблицы убрать из базиса строку с переменной разрешающей строки в предыдущей таблице. Ввести в базис строку с названием разрешающего столбца предыдущей таблицы.

 

 

· Построение ведущей строки в новой таблице. Почленно поделить всю разрешающую строку на разрешающий элемент.

· Построение других строк в новой таблице. Почленно умножить ведущую строку на соответствующие этим строкам элементы разрешающего столбца из предыдущей таблицы и прибавить к соответствующим строкам в старой таблице.

 

6. Проверяем таблицу второго шага на оптимальность. Если в строке целевой функции нет отрицательных элементов, тогда таблица имеет оптимальный план, записать ответ. Если в строке ЦФ есть отрицательный элемент (элементы), тогда переходят к следующему (третьему) шагу, строят новую симплекс-таблицу в соответствии п.5 и затем проверяют ее на оптимальность. Построение таблиц заканчивается с нахождением оптимального плана.

 

Прямая задача на минимум решается следующим образом:

· Написать математическую модель двойственной задачи в стандартном виде

· Решить двойственную модель симплекс - методом

· Записать ответ.

 

 

Связь между задачами двойственной пары в том, что, решая симплексным методом одну из них, автоматически получаем решение другой.

Для этого достаточно воспользоваться соответствием переменных прямой и двойственной задач в последней симплекс-таблице.

 

Х1	x2	…	xn	S1	S2	…	Sm
S1	S2	…	Sm	y1	y2	…	ym

 

Задача

На предприятии имеется возможность выпускать n видов продукции (1,2,…n). При ее изготовлении используются ресурсы Р1, Р2, Р3. Размеры прямых затрат ресурсов ограничены соответственно величинами b1, b2, b3. Расход i –го ресурса на единицу продукции j-того вида составляют aij. Цена единицы продукции j-того вида равна cj ден. ед. Сформулировать прямую и двойственную задачу и раскрывать экономический смысл всех переменных.

 

Требуется:

Найти оптимальный план симплекс-методом.

Найти решение двойственной задачи

Указать дефицитность ресурсов

Обосновать эффективность плана производства

Оценить целесообразность приобретения ресурса

Оценить целесообразность выпуска новой продукции

Данные:

b1 = 25, b2 = 30, b3 = 42

a11= 2, a12= 3, a13= 2, a14= 1

a21= 4, a22= 1, a23= 3, a24= 2

a31= 3, a32= 5, a33= 2,a34= 2

c1= 6, c2= 5, c3= 4, c4= 3