Основные геометрические условия, возникающие в построениях

Если геодезические построения состоят только из необходимых исходных данных, то такое построение (сеть) называется свободным (свободной) и уравниванию не подлежит. При наличии избыточных измерений построение (сеть) называется несвободным (несвободной), и в нём (ней) может быть выполнено уравнивание при наличии невязок, определяемых выполнением тех или иных условий в геометрических связях.

При уравнивании геодезических построений необходимо правильно опре-делить число и вид т.н. условных уравнений. В связи с этим должны быть составлены только необходимые условия, не больше. В противном случае система уравнений не может быть разрешима. Даже с помощью знаменитого Лежандра. Меньшее же число условий вообще исключает решение задачи уравнивания, поскольку хотя бы одна из невязок будет исключена из рассмотрения.

Далее приведём основные геометрические условия, которые могут определять вид того или иного условного уравнения связи в геодезическом построении.

134.1. Условие фигуры

 

В замкнутой фигуре, имеющей n вершин, сумма уравненных значений измеренных углов должна быть равна 180^о (n ± 2), т.е.,

, (14.13)

где знак «плюс» в круглых скобках - для внешних, знак «минус» - для внутренних углов; β' - исправленные (уравненные) углы.

В этом случае условное уравнение поправок имеет вид:

, (14.14)

где β_i - измеренные углы.

Поскольку два последних слагаемых образуют т.н. угловую невязку W, т.е.

, (14.15)

то выражение (14.14) можно представить в виде:

. (14.16)

Выражение (14.13) и является геометрическим соотношением (уравнением связи) для условия фигуры.

Если в той же замкнутой фигуре углы заменить разностями направлений (т.е. отсчётов по горизонтальному кругу теодолита), то получается условное уравнение поправок для измеренных направлений:

. (14.17)

В формуле (14.17) точкой стояния является точка i.

134.2. Условие горизонта

Сумма уравненных значений неперекрывающихся углов, измеренных независимо (т.е. отдельно друг от друга) вокруг одной вершины (рис. 14.1), должна быть равна 360⁰, т.е.,

. (14.18)

 

Рис. 14.1. Условие горизонта. 14.2. Условие суммы углов.

 

Условное уравнение поправок горизонта имеет вид (14.16), где

(14.19)

для измеренных углов β_i.

Для измеренных направлений условие горизонта не возникает, поскольку в этом случае всегда сумма углов, вычисленных по разностям направлений, будет равна 360⁰ (зависимые измерения). Если же в измеренные углы ввести поправки, то и для направлений может возникнуть и условие горизонта. Поэтому условные уравнения поправок со свободным членом, равным нулю, необходимо включать в уравнивание.

 

 

134.3. Условие суммы углов

Для измеренных в одной вершине углов β₁, β₂, β₃ и β₄ (рис. 14.2) должно соблюдаться следующее геометрическое условие:

β ₁^' + β₂^' + β₃^' – β₄^' = 0. (14.20)

В этом случае условное уравнение поправок будет иметь вид:

, (14.21)

где W_β – свободный член уравнения, определяемый суммой

. (14.22)

 

134.4. Условие дирекционных углов

Для решения геодезического построения (при определении координат его точек) необходимо знать исходный дирекционный угол одной из его сторон. Если же в сети известны дирекционные углы других сторон, то каждый из них образует одно условие. Например, если в сети (рис. 14.3) известны дирекционные углы α₁, α₂ и α₃, то геометрическое условие дирекционных углов запишется в виде:

 

 

Рис. 14.3. Условие дирекционных углов.

 

(14.23)

или

. (14.24)

Условные уравнения поправок в этом случае определяются выражениями:

, (14.25)

где

. (14.26)

В выражениях (14.23) – (14.25) принимается во внимание, что и все дирекционные углы были измерены (они могут быть и вычислены по значениям координат, имеющих известные погрешности), т.е. содержат погрешности и подлежат уравниванию. Чаще всего дирекционные углы принимают исходными, т.е. содержащими погрешности весьма малые (ничтожные) по сравнению с погрешностями измеренных углов. В этом случае выражения (14.25) запишутся в виде:

, (14.27)

где

(14.28)

(α₀ – исходные дирекционные углы).

 

134.5. Условие сторон

Предположим, что в фигуре (рис. 14.4) измерены все углы β и стороны s₁ и s₂. Между сторонами, из решения треугольников, существует следующее соотношение:

. (14.29)

Это равенство можно представить в виде нелинейной функции

. (14.30)

Приведем нелинейную функцию (14.30) к линейному виду, разложив ее в ряд Тейлора и ограничиваясь только первыми членами разложения. Получим:

. (14.31)

Найдем частные производные:

, (14.32)

где s₂⁰ – вычисленное по формуле (14.29) значение s₂ по измеренным аргументам s ₁, β ₁, β ₃, β ₄, β ₅. С учетом (14.32)

. (14.33)

 

Рис. 14.4. Условие сторон.

 

Аналогично можно записать выражения для β ₃, β ₄и β ₅:

. (14.34)

Введем следующие обозначения:

. (14.35)

Умножим выражение (14.31) на 1/ s ₂⁰ и подставим в него значения частных производных (14.32) – (14.34). Уравнение поправок будет иметь вид:

(14.36)

или

, (14.37)

где - относительная погрешность стороны s; ; ρ - угловая мера радиана.

Если стороны s ₁ и s ₂ являются базисами (исходными), то поправки для них будут равны нулю. В этом случае условное уравнение поправок исходных сторон (базисов) упрощается:

, (14.38)

где базис.

 

134. 6. Условие полюса

 

Условие полюса возникает в такой фигуре (рис. 14.5), в которой можно образовать замкнутый ряд треугольников, начинающихся и заканчивающихся на одной и той же стороне (например, центральная система, геодезический четырехугольник, веер). Если эту сторону принять за исходную (базис), то из решения треугольников можно получить эту сторону вторично.

Например, для центральной системы рис. 14.5 можно записать, что

. (14.39)

Условное уравнение поправок данного полюса с учетом введенных выше обозначений (14.37) имеет вид:

. (14.40)

Рис. 14.5. Условие полюса.

 

132. 7. Условие координат

 

В геодезическом построении каждый избыточный исходный пункт обусловливает два условных уравнения координат – уравнения абсцисс (х) и уравнения ординат (у).

Предположим, что измерения выполнены в цепочке треугольников триангуляции (рис. 14.6), заканчивающейся на избыточном пункте 5. Наметим ходовую линию, проходящую через вершины промежуточных углов η_i: 1–3–4–5. В этом случае координатные условные уравнения (абсцисс и ординат) будут иметь вид:

. (14.41)

При решении треугольников триангуляции стороны и дирекционные углы определяют от исходных сторон s₀ (базиса) и исходного дирекционного угла α₀:

(14.42)

 

Рис. 14.6. Условие координат.

 

Представим уравнения (14.41) через поправки в углы в линейной форме:

. (14.43)

Свободными членами W_x и W_y в уравнениях (14.43) являются приближенные значения искомых функций (14.41), вычисленные по измеренным горизонтальным углам с использованием равенств (14.42).

Из уравнений (14.41) найдем частные производные (коэффициенты условных уравнений поправок) и подставим их в уравнения (14.43). При этом поправки углов выражаются в секундах, свободные члены – в дециметрах, а разности координат – в километрах. Получим условные уравнения поправок:

- для координат х (при уравнивании углов):

(14.44)

- для координат у (при уравнивании углов):

. (14.45)

Здесь: x_n и y_n - координаты последнего пункта (для рис. 14.6 x_n = x₅, y_n = y₅); x_i и y_i - координаты текущего пункта i ходовой линии, проходящей через вершины промежуточных углов η_i; ν_βi и ν_γi - поправки связующих углов β и γ (угол γ лежит против исходной стороны треугольника); ν_ηi - поправки промежуточных углов η_i (записываются со знаком «плюс» для левых по ходу углов, со знаком «минус» - для правых по ходу углов).