Математические подробности

MVOPlus обладает уникальной способностью определения портфеля с максимальной годовой доходностью (средней геометрической доходностью), в то время как все другие коммерческие оптимизаторы определяют актив с самой высокой средней арифметической доходностью в качестве последнего портфеля, который не является портфелем с максимальной средней геометрической доходностью. Это происходит потому, что разница между средней арифметической и средней геометрической доходностью равна примерно половине отклонения портфеля, или (SD)² / 2, и называется запаздыванием отклонения (variance drag). По мере движения вправо по графику соотношения доходности и риска запаздывание отклонения возрастает до точки, когда средняя геометрическая доходность начинает падать. Помните, что вы уменьшаете среднюю геометрическую доходность в годовом исчислении, а не среднюю арифметическую доходность.

 

Конечно, вы не ограничены угловыми портфелями. Если вы решите, что хотите оказаться на середине пути между портфелями 7 и 8, то просто усредняйте составы двух портфелей для каждого актива.

Взгляните на портфель 7. Он примерно на треть состоит из акций и на две трети из 5-летних казначейских билетов. Пока все вроде бы нормально. Но посмотрите на состав акций: почти исключительно акции мелких компаний США, японских компаний и компаний, занимающихся добычей драгоценных металлов. Это не тот портфель, которым хотел бы владеть любой разумный человек. Неслучайно в него вошли три актива, по которым получена самая высокая доходность за период с 1970 по 1996 г. Мы только что столкнулись с губительным недостатком оптимизации – излишним пристрастием к активам, имеющим в последнее время высокую доходность. По сути, после небольшой практики можно добиться от оптимизатора расчета почти любого желаемого портфеля. Измените данные о доходности по большинству активов на несколько процентов в любом направлении, и этот актив будет либо доминировать в портфеле, либо полностью исчезнет из него. Вы думаете, что можете спрогнозировать доходность по всем основным классам активов в своем портфеле? Если да, то вы и в самом деле очень талантливы. Следовательно, два фундаментальных закона оптимизаторов:

• оптимизатор явно предпочтет активы с высокой исторической или ожидаемой доходностью;

• если вы можете достаточно точно предсказать исходные данные оптимизатора для того, чтобы близко подойти к будущей границе эффективности, то оптимизатор вам не нужен.

 

Из приведенного примера должны быть видны риски необдуманного ввода в оптимизатор исторической доходности, стандартного отклонения и корреляций. Доходность актива склонна к тенденции иметь обратный смысл за длительные периоды времени: актив с выдающейся доходностью за последние 10 лет, скорее всего, будет иметь доходность ниже среднего в последующие 10 лет. Поэтому некоторые в шутку прозвали оптимизаторы максимизаторами ошибок.

Для лучшего понимания ошибок оптимизации посмотрим на то, что в действительности происходит при необдуманном вводе исторических данных в оптимизатор. Разделим период с 1970 по 1998 г. на несколько пятилеток и один четырехлетний период. Далее оптимизируем каждый пятилетний период и посмотрим, как оптимальное распределение активов, состоящих только из акций, будет вести себя в последующий пятилетний период по сравнению с «портфелем труса», состоящим из равных частей всех шести активов, представленных акциями (крупных компаний США, мелких компаний США, европейских компаний, компаний Азиатско-Тихоокеанского региона, японских компаний и компаний, занимающихся добычей драгоценных металлов).

Начнем с периода 1970–1974 гг. В этот период оптимальную доходность показывало следующее распределение: 99,8 % акций компаний, занимающихся добычей драгоценных металлов, и 0,2 % акций японских компаний; годовая доходность составляла 29,97 %. При переносе этого распределения на период с 1975 по 1979 г. получаем доходность в размере 14,71 % по сравнению с 25,38 % по «портфелю труса».

В 1975–1979 гг. оптимальным распределением было владение 100 % акций мелких компаний США; годовая доходность составляла 39,81 %. Это распределение, по сути, оказалось довольно эффективным при переносе на период с 1980 по 1984 г.: доходность составила 21,59 % по сравнению с доходностью «портфеля труса» в 14,75 %.

В 1980–1984 гг. оптимальным распределением было 73 % акций мелких компаний США и 27 % акций компаний, занимающихся добычей драгоценных металлов: доходность составляла 21,94 %. При переносе на период с 1985 по 1989 г. это распределение приносило доходность 11,83 % по сравнению с 24,14 % на «портфель труса».

В 1985–1989 гг. оптимальное распределение – 100 % акций японских компаний; оно приносило ошеломляющую годовую доходность в размере 40,24 %. Следующие пять лет? Минус 5,5 % по сравнению с +7,54 % по «портфелю труса».

Полезно вернуться на «машине времени» в конец 1980-х гг. Несколько квадратных миль недвижимости в Токио стоили больше, чем вся Калифорния, и скоро всем предстояло заговорить по-японски. «Доходность индекса Nikkei в сто раз больше? Просто люди с Запада не понимают, как оценивать акции на токийских рынках».

И, наконец, для периода с 1990 по 1994 г. лучшей стратегией распределения было владение 100 % акций компаний Азиатско-Тихоокеанского региона: годовая доходность составляла 15,27 %. В следующие четыре года (1995–1998) эта стратегия принесла убыток в 3,22 % против доходности «портфеля труса» в 6,61 %. И еще раз: в 1994 г. «все знали», что «азиатские тигры» достигнут американского уровня жизни за десять лет.

За весь период с 1975 по 1998 г. описанная выше пятилетняя стратегия оптимизации принесла бы годовую доходность в размере 8,40 %, что ниже доходности любого отдельно взятого актива, состоящего из акций, и намного ниже годовой доходности «портфеля труса» в 15,79 %.

Оптимизируя историческую доходность, вы на самом деле принимаете наиболее распространенную на современном этапе точку зрения. Это не совпадение. Рынки, прошедшие через период аномально высокой доходности, обычно претерпевали значительный рост цен, в разы больший роста дохода на акцию, и это почти всегда было следствием растущего оптимизма по отношению к данному активу.

Где мы находимся с нашим оптимизатором? В глубоком проигрыше. Мы не можем достаточно точно прогнозировать доходность, стандартное отклонение и корреляции, а если бы могли, то нам не был бы нужен оптимизатор. А оптимизация «сырых» исторических доходностей – билет в один конец в богадельню.

Итак, забудьте про получение ответа из магического черного ящика. Придется поискать последовательную стратегию распределения активов в другом месте.

 

Другие плохие новости

 

Хорошо диверсифицированный портфель – это не «бесплатный сыр». Ни в коем случае нельзя пренебрегать рисками – экономические катастрофы не признают государственных границ. События 1929–1932 и 1973–1974 гг. вовлекли в себя все рынки, и убытки на рынках разных стран различались только своим масштабом. Анализ среднего отклонения Марковица говорит, что если стандартное отклонение одного актива равно 20 %, то два полностью некоррелированных актива (с нулевой корреляцией) будут иметь стандартное отклонение в 14,1 %, а четыре взаимно некоррелированных актива – стандартное отклонение в 10 %. На практике почти невозможно найти три взаимно некоррелированных актива – следовательно, нельзя надеяться на снижение риска более чем на одну четвертую или на одну третью в результате диверсификации.

Хуже того, рассчитанные коэффициенты корреляции активов в некоторой степени переоценивают преимущества диверсификации, потому что корреляция доходности ниже средней оказывается выше, чем доходность выше средней. Иными словами, «отрицательные полукорреляции» выше «положительных полукорреляций». Говоря простым языком, это означает, что реальная корреляция доходности активов на суровых рынках «медведей» выше, чем можно предположить, исходя из «сырого» коэффициента корреляции. Уменьшение стандартного отклонения, которое дает диверсификация, часто теряется на суровых рынках «медведей». Профессор Бруно Солник говорит просто: «Диверсификация подводит нас именно тогда, когда она нужна нам больше всего». Это было хорошо видно 19 октября 1987 г. И осенью 1990 г., когда все мировые фондовые индексы понесли существенные потери, несмотря на свою низкую корреляцию в более спокойные времена. Вот почему тестирование простого портфеля на основе исторических данных является ценным дополнением к MVO. Фактически можно увидеть, насколько хорошо предложенный портфель реагировал на ситуацию на реальном рынке «медведей».

Основной аргумент против международной диверсификации связан со страновым риском – вероятностью того, что ваши активы будут экспроприированы правительством иностранного государства или потеряны в результате военных действий. Вспомните о том, что перед началом Второй мировой войны два крупнейших мировых рынка капиталов находились в Германии и Египте; один был уничтожен в результате войны, а второй – национализирован после нее. В минувшее столетие латино-американские страны регулярно объявляли дефолт по долгам. Нельзя недооценивать рисков долгосрочных инвестиций в зарубежные активы, однако важно понимать математическую природу долгосрочного риска. Предположим, что в какой-то точке 70-летнего инвестиционного горизонта половина нашего капитала внезапно и безвозвратно исчезает. Это снижает нашу долгосрочную доходность только на 1 %. Далее подумайте о том, что, в то время как японские и германские капиталы исчезли в начале Второй мировой войны, на этих рынках за четыре десятилетия после 1945 г. получена поразительная доходность.

Бытует утверждение, что из-за глобализации экономики международная диверсификация потеряла свою ценность. Ни у кого не вызывает сомнения то, что наша экономическая жизнь все больше глобализуется. Создается впечатление, что события на иностранных рынках капиталов немедленно оказывают влияние на наши рынки; это заставляет многих прогнозировать, что доходности рынков разных стран будут все более коррелировать друг с другом и что преимущества международной диверсификации исчезнут. Этот аргумент встречается столь часто, что уже приобрел ауру факта. К счастью для инвестора, фактические данные указывают на противоположное. Например, существуют хорошие данные о доходности рынков Великобритании и США, начиная с 1919 г. Период с 1919 по 1994 г. можно разбить на четыре 19-летних периода, и корреляции годовой доходности также можно рассчитать по каждому периоду:

 

В то время как в корреляции между рынками Великобритании и США заметны резкие колебания, не просматривается растущей корреляции; самая низкая корреляция была в последний период.

Подобным образом можно проследить корреляцию рыночной доходности отдельных стран за период с 1969 по 1998 г. В целом растущей корреляции не просматривается. Единственным исключением является увеличение корреляции между европейскими рынками за последние два десятилетия.

На рис. 5.2 представлен график коэффициента корреляции ежемесячной доходности акций пары S&P 500 / EAFE (за трехлетние периоды) с 1969 по 1998 г. Видно, что корреляция сильно варьировалась в этот период, но, определенно, не видно явного возрастания ее величины во времени. (Создается впечатление, что в последние несколько лет происходил рост корреляции. Это, вероятно, вызвано волатильностью 1997–1998 гг., связанной с азиатским гриппом.) Существует мало свидетельств в поддержку представления о росте корреляции международных рынков в результате глобализации экономики.

 

Рис. 5.2. Корреляция доходности акций S&P 500 / EAFE, 1969–1998 гг.

 

Вероятно, более важным, чем уменьшение риска путем диверсификации, является премия за восстановление баланса – дополнительная доходность, получаемая в результате его скрупулезного восстановления. Преимущества восстановления баланса выражаются не только в денежной форме; существует также психологический аспект. Выработав в себе привычку к получению доходности, двигаясь против направления рынка, инвестор приобретает как здоровую уверенность в своих силах, так и презрение к настроениям рынка. Это недоверие к настроениям и «экспертному» мнению – один из наиболее полезных инструментов инвестора.

Еще одно психологическое преимущество диверсифицированного портфеля связано с тем, что в нем ограниченно представлены разные сегменты рынка: вы никогда не ставите все на один актив. Если только 5 или 10 % вашего портфеля инвестировано в акции компаний развивающихся стран, то возможные на этих рынках убытки в 30 или 50 % особенно не коснутся вас – существует большая вероятность того, что доходность по другим активам частично или полностью компенсирует ваши убытки. Что более важно, низкая степень риска убытков может зародить в вас желание восстанавливать баланс портфеля, таким образом, покупая дешево.