Перенос точки ветвления с входа на выход суммирующего звена

Лекция 7

Применим рассмотренные правила для упрощения структурной схемы, что представлена выше:

 

 

Процесс преобразования, который часто называют свертыванием структурной схемы, выглядит следующим образом.

 

1. Перенесем суммирующее звено Σ₂ через динамическое звено W₁(s):

 

 

2. Поменяем местами суммирующие звенья Σ₁ и Σ₂ :

 

 

3. Преобразуем последовательно включенные динамические звенья W₁(s) и W₂(s):

 

4. Преобразуем замкнутый контур с отрицательной обратной связью Σ_1, W₁(s), W₂(sиW₃(s):

 

 

5. Перенесем суммирующее звено Σ_2, вправо:

 

 

6. Преобразуем последовательно включенные звенья:

 

 

В соответствии с полученной структурной схемой запишем операторное уравнение –

 

 

Полученное уравнение показывает, что Z(s) является линейной комбинацией изображений входных сигналов, взятых с коэффициентами W_zx(s) и W_zy(s).

Теперь становится ясным смысл и самого операторного уравнения, описывающего систему. Он заключается в том, что реакция линейной системы на совместно действующие входные сигналы может быть определена в виде суммы частичных реакций, каждая из которых вычисляется в предположении, что на систему действует только один входной сигнал, а остальные равны нулю.

По сути – это формулировка фундаментального принципа, который называют принципом наложения или суперпозиции. Этот принцип можно рассматривать как дополнение к правилам эквивалентных преобразований структурных схем и активно использовать на практике.

Практически принцип суперпозиции для нахождения конкретной передаточной функции используют следующим образом. Полагают равными нулю все входные сигналы, кроме необходимого сигнала, а затем выполняют преобразование структурной схемы в одно динамическое звено.

Задание 1. Определите передаточную функцию, эквивалентную структурной схеме.

 

Ответ:

Задание 2. Определите передаточные функции

по следующей структурной схеме:

 

Ответ:

 

Лекция 8

 

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ДИСКРЕТНЫХ УСТРОЙСТВ.

Анализ дискретных устройств на функционально-логическом уровне требуется прежде всего при проектировании устройств вычислительной техники и цифровой автоматики. Здесь дополнительно к допущениям, принимаемым при анализе аналоговых устройств, используют дискретизацию сигналов, причем базовым является двузначное представление сигналов. Удобно этими двумя возможными значениями сигналов считать «истину» (иначе 1) и «ложь» (иначе 0), а сами сигналы рассматривать как булевы величины. Тогда для моделирования можно использовать аппарат математической логики. Находят применение также трех- и более значные модели. Смысл значений сигналов в многозначном моделировании и причины его применения будут пояснены далее на некоторых примерах.

Элементами цифровых устройств на функционально-логическом уровне служат элементы, выполняющие логические функции и возможно функции хранения информации. Простейшими элементами являются дизъюнктор, конъюнктор, инвертор, реализующие соответственно операции:

· дизъюнкции (ИЛИ) у = a or b,

· конъюнкции (И) у = a and b,

· отрицания (НЕ) y = not а,

где y — выходной сигнал, а и b — входные сигналы.

Число входов может быть и более двух. Условные схемные обозначения простых логических элементов показаны ниже:

 

Математические модели устройств представляют собой систему математических моделей элементов, входящих в устройство, при отождествлении сигналов, относящихся к одному и тому же соединению элементов.

 

 

Схема RS-триггера.

 

Различают синхронные и асинхронные модели.

Синхронная модель представляет собой систему логических уравнений, в ней отсутствует такая переменная, как время. Синхронные модели используют для анализа установившихся состояний.

Примером синхронной модели может служить следующая система уравнений, полученная для логической схемы триггера:

 

· В = not (R and С);

· Q = not (В and Р);

· Р = not (A and Q);

· А = not (S and С).

 

Асинхронные модели отражают не только логические функции, но и временные задержки в распространении сигналов. Асинхронная модель логического элемента имеет вид

 

y(t + t_зд) = f(X(t))

где t_зд — задержка сигнала в элементе; f — логическая функция.

Термины «синхронная» и «асинхронная модель» можно объяснить ориентированностью этих моделей на синхронные и асинхронные схемы соответственно.

В синхронных схемах передача сигналов между цифровыми блоками происходит только при подаче на специальные синхровходы тактовых (синхронизирующих) импульсов. Частота тактовых импульсов выбирается такой, чтобы к моменту прихода синхроимпульса переходные процессы от предыдущих передач сигналов фактически закончились. Следовательно, в синхронных схемах расчет задержек не актуален, быстродействие устройства определяется заданием так- товой частоты.

Синхронные модели можно использовать не только для выявления принципиальных ошибок в схемной реализации заданных функций. С их помощью можно обнаруживать места в схемах, опасные с точки зрения возникновения в них искажающих помех. Ситуации, связанные с потенциальной опасностью возникновения помех и сбоев, называют рисками сбоя.

 

Метод минимизации по картам Карно

 

Данный метод минимизации применим для функций с числом переменных не более 6 и удобен для ручной минимизации, когда человек видит те комбинации, которые можно объединить вместе. Рассмотрим его на конкретном примере.

 

Пример 1. Рассмотрим функцию

 

 

Множество переменных разобьем на две группы. Одной группе сопоставим строки таблицы, второй — столбцы, так чтобы каждой клетке соответствовала комбинация переменных из этих групп. Карта Карно для нее имеет вид:

 

 

При составлении карты Карно строки именуются всевозможными комбинациями значений переменных первой группы так, чтобы расстояние между соседними комбинациями было равно 1. Для нашего случая 00® 01® 11® 10 (при каждом последующем переходе изменяется только подчеркнутый символ). Аналогично именуются столбцы таблицы.

Заполнение карты производится по таблице соответствия исходной функции. В примере конъюнкции x1x2x3 соответствует клетка 11/1, а клетка 11/0 и так далее. В данной таблице каждая единица имеет порядковый индекс, который соответствует порядковому номеру данной компоненты в исходной функции (расстановка этих индексов совершенно не обязательна и здесь приведена для лучшего понимания).

Для минимизации необходимо попарно “склеить” рядом стоящие единицы, имеющие хотя бы одну общую компоненту. При этом надо стремиться “склеить” в один набор как можно больше клеток. В данном примере мы можем “склеить” 11,12,13,14 вместе. Это запишется как x1, так как содержимое всех этих клеток зависит только от x1 и не меняется при изменении x2 или x3. На следующем шаге склеим 11 и 15. В результате получим x2x3. Рассуждения аналогичны: при изменении x1 изменения ячеек с 11 и 15 не происходит.

 

Результирующей минимальной записью исходной функции будет

Пример 2. Минимизируем функцию пяти переменных:

 

 

 

 

Лекция 9

 

Определение абстрактного автомата

 

Математической моделью дискретного управляющего устройства является абстрактный автомат, который задается множеством из шести элементов:

S = {A, Z, W, a_t, w_t, а₁},

где

А = {а₁,..., а_m,..., а_M} - множество состояний (алфавит состояний);

Z = {z₁,..., z_f,..., z_F} - множество входных сигналов (входной алфавит);

W = {w₁,..., w_g,..., w_G} - множество выходных сигналов (выходной алфавит);

a_t - функция переходов, реализующая отображение множества δ_{А x Z} в А (а_s = (а_m, z_f), а_s А);

w_t - функция выходов, реализующая отображение множества δ_{А x Z} на W (w_g = (а_m, z_f));

а₁ - начальное состояние автомата.

Автомат называется конечным, если конечны множества А, Z, W. В дальнейшем будут рассматриваться только конечные автоматы и термин "конечный" почти всегда будет опускаться. Автомат называется полностью определенным, если δ_А = δ_W = А x Z.Иными словами, у полностью определенного автомата области определения функции и совпадают со множеством А x Z - множеством всевозможных: пар вида (a_m, z_f). У частичного автомата функции или определены не для всех пар (a_m, z_f) ÎА x Z.

Понятие состояния в определение автомата введено в связи с тем, что: возникает необходимость в описании поведения систем, выходы которых зависят не только от состояния входов в данный момент времени, но от некоторой предыстории, т. е. от сигналов, которые поступали на входы системы ранее. Состояния как раз и соответствуют некоторой памяти о прошлом позволяя устранить время как явную переменную и выразить выходные сигналы, как функцию состояний и входов в данный момент времени.

Абстрактный автомат (рис. 1) имеет один входной и один выходной канал. В каждый момент t = 0, 1, 2,... дискретного времени автомат находится в определенном состоянии a (t) из множества А состояний автомата, причем в начальный момент t= 0 он всегда находится в начальном состоянии а (0) = а₁. В момент t, будучи в состоянии a (t), автомат способен воспринять на входном канале сигнал z (t) Z и выдать на выходном канале сигнал w (t) = (а (t), z (t)), переходя в состояние а (t + 1) = (а (t), z(t)); а(t) А, w(t) W. Смысл понятия абстрактного автомата состоит в том, что он реализует некоторое отображение множества слов входного алфавита Z во множество слов выходного алфавита W. Другими словами, если на вход автомата, установленного в начальное состояние а₁, подавать буква за буквой некоторую последовательность букв входного алфавита z(0), z(1), z(2),... -входное слово, то на выходе автомата будут последовательно появляться буквы выходного алфавита w(0), w(1), w(2),... - выходное слово. Относя к каждому входному слову соответствующее ему выходное слово, мы получим отображение, индуцированное абстрактным автоматом.

 

 

Рис. 1

 

Автоматы Мили и Мура

 

На практике наибольшее распространение получили два типа конечных автоматов: автомат Мили и автомат Мура. Поведение автомата Мили описывается с помощью следующих

a_t+1 = (z_t, a_t); (1)

w_t = (z_t, a_t); где t = 0, 1, 2,...

 

здесь функция переходов a_t+1 определяет следующее внутреннее состояние автомата (состояние перехода, а функция выходов w_t - формируемый выходной набор. Характерным для автомата Мили является то, что выходной набор w_t зависит как от входного набора z_t, так и от внутреннего состояния a_t.

 

В автомате Мура функция выходов зависит только от состояния at и не зависит от входного набора, поэтому поведение автомата Мура описывается следующими уравнениями:

 

a_t+1 = (z_t, a_t); (2)

w_t = (a_t); где t = 0, 1, 2....

 

При построении конечных автоматов функции переходов и выходов реализуются с помощью комбинационных схем CL_Φ и CL_Ψ, соответственно, а память автомата реализуется в виде регистра RG, где в каждый момент автоматного времени t~ хранится код внутреннего состояния a_t. Структурные схемы автоматов Мили и Мура показаны на рис. 1а и 1б, соответственно. Особенностью структуры автомата Мура является то, что комбинационная схема CL_Ψ, реализующая выходные функции, не имеет непосредственной связи со входами схемы.

Рис. 2. Основные структуры конечных автоматов:

а - Мили класса A; б - Мура класса B;

в - Мура класса С; г - Мили класса D;

д - Мили класса E; е - Мура класса F;

 

Методы задания автоматов

 

Чтобы задать конечный автомат S, необходимо описать все элементы множества S = {A, Z, W, a_t, w_t, а₁}, т. е. входной и выходной алфавиты и алфавит состояний, а также функции переходов и выходов. Среди множества состояний необходимо выделить состояние a₁, в котором автомат находится в момент t = 0. Существует несколько способов задания работы автомата, но наиболее часто используются табличный, графический и матричный.

 

Табличный метод

 

Описание работы автомата Мили таблицами переходов и выходов иллюстрируется таблицами Табл. 1 и Табл. 2. Строки этих таблиц соответствуют входным сигналам, а столбцы - состояниям, причем крайний левый столбец состояний обозначен начальным состоянием а₁.

 

Табл. 1 Табл. 2

Общий вид таблицы переходов Общий вид таблицы выходов

автомата Мили автомата Мили

 

 

На пересечении столбца а_m и строки z_f в таблице переходов ставится состояние а_s = (а_m, z_f), в которое автомат переходит из состояния аm под действием сигнала z_f, а в таблице выходов-соответствующий этому переходу выходной сигнал w_g = (а_m, z_f). Пример табличного способа задания полностью определенного автомата Мили S₁ с тремя состояниями, двумя входными и двумя выходными сигналами приведен в таблицах Табл. 3 и Табл. 4.

Табл. 3 Табл. 4.

Таблица переходов автомата Мили S1 Таблица выходов автомата Мили S1

 

 

Для частичных автоматов, у которых функции или определены не для всех пар (а_m, z_f) А х Z, на месте неопределенных состояний и выходных сигналов ставится прочерк (частичный автомат S₂ задан таблицами Табл. 5 и Табл. 6.

Табл. 5 Табл. 6

Таблица переходов частичного Таблица выходов частичного

автомата Мили S2 автомата Мили S2

 

 

Так как в автомате Мура выходной сигнал зависит, только от состояния, автомат Мура задается одной отмеченной таблицей переходов (Табл. 7), в которой каждому ее столбцу приписан, кроме состояния а_m, еще и выходной сигнал w_g = (а_m), соответствующий этому состоянию. Пример табличного описания автомата Мура S₃ иллюстрируется таблицей Табл. 8.

 

Табл. 7 Табл. 8

Общий вид отмеченной таблицы Отмеченная таблица переходов

автомата Мура S₂ автомата Мура S₂

 

 

Графический метод

 

Граф автомата - ориентированный связный граф, вершины которого соответствуют состояниям, а дуги - переходам между ними.

 

 

Рис. 3 Граф автомата Мили S₁ Рис. 4 Граф автомата Мили S₂

 

 

Две вершины графа автомата а_m и а_s (исходное состояние и состояние перехода) соединяются дугой, направленной от аm к аs, если в автомате имеется переход из а_m в а_s, т. е. если а_s = (а_m, z_f) при некотором z_f Î Z. Дуге (а_m, а_s) графа автомата приписывается входной сигнал z_f и выходной сигнал w_g = (а_m, z_f), если он определен, и ставится прочерк в противном случае. Если переход автомата из состояния а_m в состояние а_s происходит под действием нескольких входных сигналов, то дуге (а_m - а_s) приписываются все эти входные и соответствующие выходные сигналы. При описании автомата Мура в виде графа выходной сигнал w_g = (а_m) записывается внутри вершины или рядом с ней. На рис. 3, 4 и 5 приведены заданные ранее таблицами графы автоматов S₁, S₂, S₃.

 

Рис. 5. Граф автомата Мили S₃

 

 

В данной работе рассматриваются только детерминированные автоматы, у которых выполнено условие однозначности переходов: автомат, находящийся в некотором состоянии, под действием любого входного сигнала не может перейти более чем в одно состояние. Применительно к графическому способу задания автомата это означает, что в графе автомата из любой вершины не могут выходить две и более дуги, отмеченные одним и тем же входным сигналом. Аналогично этому в матрице соединений автомата в каждой строке любой входной сигнал не должен встречаться более одного раза.

 

Табл. 9

Отмеченная таблица переходов асинхронного

автомата Мура S₄

 

В заключение данного параграфа определим синхронные и асинхронные автоматы. Состояние а_s автомата S называется устойчивым состоянием, если для любого входа z_f Î Z, имеет место (а_m, z_f) = а_s.

Автомат S называется асинхронным, если каждое его состояние a_s Î A устойчиво. Автомат S называется синхронным, если он не является асинхронным. Необходимо заметить, что построенные на практике автоматы - всегда асинхронные и устойчивость их состоянии всегда обеспечивается тем или иным способом, например введением сигналов синхронизации.

Рис. 6. Граф асинхронного автомата Мура S4

 

Однако на уровне абстрактной теории, когда автомат есть лишь математическая модель, которая не отражает многих конкретных особенностей его возможной реализации, часто оказывается более удобным оперировать с синхронными автоматами, что мы и будем делать на протяжении всей данной главы. Пример асинхронного автомата Мура S₄ приведен в Табл. 9 и на Рис. 6. Нетрудно видеть, что все его состояния устойчивы.

Очевидно, что если в таблице переходов асинхронного автомата некоторое состояние аs стоит на пересечении строки z_f и столбца а_m (m<>s), то это состояние а_s обязательно должно встретиться в этой же строке в столбце а_s. В графе асинхронного автомата, если в некоторое состояние имеются переходы из других состояний под действием каких-то сигналов, то в вершине a_s, должна быть петля, отмеченная символами тех же входных сигналов. Анализ таблиц 3, 5 и 8 или рис. 3 - 5 показывает, что автоматы S₁, S₂ и S₃ являются синхронными.