Понятие неопределённого интеграла. Непосредственное интегрирование. Метод подстановок

Функция F (x) называется первообразной функции f (x) на некотором промежутке , если F (x) дифференцируема на промежутке X и для всех выполняется

Например, — первообразная для .

Если F (x) – одна из первообразных функции f (x) на промежутке X, то любая другая ее первообразная имеет вид , где C – произвольная постоянная.

Совокупность всех первообразных функции f (x) называется неопределенным интегралом от функции f (x). Обозначение: . Функция f (x) называется подынтегральной функцией, f (x) dx – подынтегральное выражение, x – переменная интегрирования.

Операция нахождения неопределённого интеграла от данной функции называется интегрированием этой функции.

Достаточное условие существования неопределённых интегралов. Всякая непрерывная на множестве X функция имеет на этом множестве первообразную, а значит, неопределенный интеграл.

Геометрическая трактовка неопределённого интеграла. Если , то уравнение y=F(x)+C задает однопараметрическое семейство линий на плоскости Оxy, каждая из которых называется интегральной линией для функции f(x). Все интегральные линии для y=f(x) имеют одинаковую форму и не пересекаются, т.к. получаются друг из друга сдвигом по оси Оу.

 

Свойства неопределённого интеграла.

Свойство 1 (о производной неопределённого интеграла).

Производная неопределённого интеграла по переменной интегрирования равна подынтегральной функции: .

Свойство 2 (о рядом стоящих знаках интеграла и дифференциала).

Рядом стоящие знаки дифференциала и интеграла взаимно уничтожаются:

а) (дифференциал от неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению);

б) .

Свойство 3 (о линейности неопределённого интеграла по подынтегральной функции).

а) Неопределённый интеграл от суммы двух или нескольких функций равен сумме неопределённых интегралов от каждой функции:

;

б) Постоянный множитель можно выносить за знак неопределённого интеграла:

.

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Понятие неопределённого интеграла. Непосредственное интегрирование.

Метод подстановок. Стр.1

Таблица основных интегралов.

1. .

2. , .

3. , .

4. .

4′. .

5. .

6. .

7. .

8. .

9. , .

9′. .

10. , – «высокий логарифм”.

11. , .

11′. .

12. , – «длинный логарифм”.

 

Вычисление неопределённых интегралов с использованием их свойств и таблицы интегралов называется непосредственным или табличным интегрированием.

Пример 1. Путем непосредственного интегрирования найти неопределенный интеграл .

Решение.

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Понятие неопределённого интеграла. Непосредственное интегрирование.

Метод подстановок. Стр.2

Замечание: при вычислении суммы нескольких интегралов одну произвольную постоянную интегрирования следует добавлять только в конце после того, как закончено все интегрирование.

Пример 2. Путем непосредственного интегрирования найти неопределенный интеграл .

Решение.

Пример 3. Путем непосредственного интегрирования найти неопределенный интеграл .

Решение.

Пример 4. Путем непосредственного интегрирования найти неопределенный интеграл .

Решение.

 

Во многих случаях введение новой переменной интегрирования позволяет свести нахождение данного интеграла к нахождению табличного, т.е. перейти к непосредственному интегрированию. Такой метод называется методом подстановки или методом замены переменной.

Правило замены переменной интегрирования. Пусть требуется вычислить .Переменную интегрирования х можно заменить на другую переменную t, выполнив подстановку или . При этом в исходном интеграле нужно всё подынтегральное выражение пересчитать через переменную t и её дифференциал, учитывая определение дифференциала функции: или . В результате подстановки получим, что .

После вычисления интеграла по переменной t нужно вернуться к переменной х, выполнив обратную замену. Выполненная подстановка считается эффективной, если получившийся интеграл по новой переменной интегрирования окажется проще исходного.

 

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Понятие неопределённого интеграла. Непосредственное интегрирование.

Метод подстановок. Стр.3

Пример 5. Вычислить интеграл

Решение.

.

Пример 6. Вычислить интеграл

Решение.

.