Основные теоретические положения. Время между соседними отказами объекта является непрерывной случайной величиной

Время между соседними отказами объекта является непрерывной случайной величиной. Эта случайная величина с вероятностной точки зрения будет полностью определена, если известна ее функция распределения.

Случайные величины в зависимости от их физического смысла могут иметь различные законы распределения. В теории вероятностей известно большое число таких законов. Однако рассматривать количественные характеристики надежности имеет смысл только для ограниченного их числа. При изучении надежности технических систем наиболее часто применяют законы распределения: экспоненциальный, нормальный, Рэлея, Вейбулла.

Принятый для конкретного объекта закон распределения является лишь математической моделью его истинного закона распределения. Одной из основных задач теории надежности является выявление и математическое описание истинного закона распределения с возможно наибольшей степенью точности. Для решения этой задачи необходимо для каждого периода (приработки, нормальной эксплуатации или старения) работы объекта подобрать как закон распределения, так и его параметры.

Наиболее распространенным законом распределения является экспоненциальный закон. При экспоненциальном законе распределения времени возникновения отказов интенсивность отказов является величиной постоянной. Это условие приблизительно реализуется в период нормальной эксплуатации объекта, если исключить период приработки и период интенсивного старения. Тогда зависимости между основными количественными характеристиками надежности будут выражены формулами:

;	(1.1)
;	(1.2)
;	(1.3)
;	(1.4)

Графики основных количественных характеристик надежности для экспоненциального закона приведены на рис. 1.1.

В отличие от экспоненциального нормальное распределение используют для описания таких систем и их элементов, которые подвержены действию износа, т.е. в период старения. При этом основные количественные характеристики будут выражены следующим формулами:

;	(1.5)
;	(1.6)
;	(1.7)
;	(1.8)
;	(1.9)
;	(1.10)

где Ф(U) – нормированная функция Лапласа, обладающая свойствами

Ф(0) = 0;	(1.11)
Ф(– U) = –Ф(U);	(1.12)
Ф(¥) = 0,5	(1.13)

здесь

m_t – среднее значение случайной величины Т;

s _t ²– дисперсия случайной величины Т;

Т – время безотказной работы изделия.

Значения функции Лапласа и функции j(U) приводятся в приложениях в учебных пособиях и сборниках задач по теории вероятности и математической статистике или учебных пособиях и сборниках задач по теории надежности.

Графики основных количественных характеристик надежности для нормального закона приведены на рисунке 1.2.

 

Рисунок 1.1. Экспоненциальный закон распределения	Рисунок 1.2. Нормальный закон распределения

При распределении Вейбулла основные количественные характеристики рассчитываются по следующим формулам:

;	(1.14)
;	(1.15)
;	(1.16)
;	(1.17)

где λ₀, δ – параметры закона распределения Вейбулла. Г(x) – гамма-функция, значения которой приводятся в приложениях учебных пособий по теории вероятности и математической статистике или теории надежности.

а)	б)

Рисунок 1.3. Закон распределения Вейбулла а) при δ<1, б) при δ>1.

Это двухпараметрическое распределение. При δ=1 распределение Вейбулла совпадает с экспоненциальным (рис. 1.1), когда интенсивность отказов постоянна, что характерно для периода нормальной эксплуатации; при δ < 1 интенсивность отказов монотонно убывает (рис. 1.3 а), что свойственно периоду приработки, при δ > 1 монотонно возрастает (рис. 1.3 б), что соответствует периоду старения. Таким образом, закон распределения Вейбулла можно использовать для описания распределения времени до отказа систем включая периоды приработки, нормальной эксплуатации и старения элементов.

При δ = 2 закон Вейбулла переходит в закон Рэлея, который может быть применен для описания характеристик надежности в период интенсивного износа для некоторых технических устройств. Количественные характеристики надежности в законе Рэлея задаются формулами

;	(1.18)
;	(1.19)
;	(1.20)
,	(1.20)

где s₁ – мода распределения случайной величины Т;

Т – время безотказной работы изделия.

Поведение характеристик надежности качественно совпадает с законом Вейбулла при δ > 1, что показано на рис. 1.3 б.

 

 

ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ

 

1. Изучить теоретические положения по расчету надежности элементов, отказы которых подчинены различным законам распределения. Ознакомиться с формулами для вычисления количественных показателей надежности при известных законах распределения.

2. Получить допуск для выполнения лабораторной работы.

3. Решить задачи 1, 2, 3 и 4 приведенные ниже в соответствии с заданным вариантом.