Первого и второго порядков

Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям. Понятие о дифференциальных уравнениях первого и второго порядка. Задача Коши. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка. Простейшие дифференциальные уравнения второго порядка. Однородные линейные дифференциальные уравнения первого порядка с постоянными коэффициентами.

В результате изучения темы студент должен:

знать:

· определение дифференциального уравнения;

· определение общего и частного решений дифференциальных уравнений, их геометрической интеграции;

· методы решения дифференциальных уравнений первого порядка (с разделяющими переменными, линейные) и второго порядка (простейшие; линейные однородные с постоянными коэффициентами);

уметь:

· решать несложные дифференциальные уравнения первого и второго порядков;

Рекомендуемая литература:

Л 1 ч.2, Л3 ч.1, Л4, Л6

Вопросы для самоконтроля:

1. Может ли дифференциальное уравнение иметь конечное число решений?

2. Могут ли интегральные кривые дифференциального уравнения пересекаться?

3. Является ли дифференциальное уравнение : 1) уравнением с разделяющимися переменными; 2) линейным уравнением?

4. Должно ли дифференциальное уравнение второго порядка содержать: 1)вторую производную функции; 2) первую производную; 3) искомую функцию; 4)независимую переменную в явном виде?

5. Известно, что и являются решениями уравнения . Можно ли утверждать, что - множество всех решений данного уравнения?

Тема 4. Ряды

Числовые ряды. Сходимость, расходимость числовых рядов. Признаки сходимости Даламбера, Коши. Знакочередующие ряды, признак Лейбница. Знакопеременные ряды. Абсолютная и условная сходимость. Функциональные ряды. Степенные ряды. Разложение элементарных функций в ряд Тейлора и Маклорена. Ряды Фуры.

В результате изучения темы студент должен

знать:

· определение числовых и функциональных рядов;

· необходимый признак сходимости рядов;

· признаки сходимости Даламбера, Коши, Лейбница;

· основные разложения элементарных функций в ряд Маклорена;

· определение ряда Фурье;

уметь:

· определять сходимость числовых рядов по признакам Даламбера, Коши, Лейбница:

· находить радиус и интервал сходимости степенных рядов;

· раскладывать элементарные функции в ряд Маклорена;

· раскладывать функцию в ряд Фурье;

Рекомендуемая литература:

Л3 ч. 2, Л4, Л6

Вопросы для самоконтроля:

1. Что такое числовой ряд, его члены, частичные суммы?

2. Что такое остаточный ряд? Как связана его сходимость со сходимостью исходного ряда?

3. В чем состоит необходимый признак сходимости ряда? Какие из приведенных ниже утверждений справедливы, а какие нет? Дайте обоснования своим ответам.

а) Если ряд сходится, то его общий член стремится к нулю.

б) Если общий член ряда стремится к нулю, то ряд сходится.

в) Если ряд расходится, то его общий член не стремится к нулю.

г) Если общий член ряда не стремится к нулю, то ряд расходится.

4. Что такое функциональный ряд? Его область определения? Область сходимости?

5. Напишите формулы для разложения в степенные ряды функций ln , arctgx, sin, cos и е^х. При каких значениях справедливы эти формулы?