Вывод аналитического выражения выходной функции в форме преобразований Лапласа

Преобразуем по Лапласу при нулевых начальных условиях полученное выше дифференциальное уравнение трёхкоординатной системы управления , используя следующую теорему.

Теорема:

Пусть где Ф-класс преобразуемых по Лапласу функций, тогда справедливо следующее преобразование

В результате преобразования при равных нулю возмущающем воздействии и его производных получим:

отсюда - передаточная функция по каналу управления;

если в уравнении (3) принять входное воздействие и его производные равными нулю, то получим - передаточная функция по каналу возмущения.

Знаменатель передаточной функции называют характеристическим полиномом, а, приравняв знаменатель к нулю, получим характеристическое уравнение. Корни знаменателя называются полюсами, а корни числителя – нулями.

Передаточная функция зависит от конструкции устройства и свойств материала конструкции, но не зависит от входных воздействий и выходной функции.

Запасы устойчивости

Для нормального функционирования всякая САР должна быть удалена от границы устойчивости и иметь достаточный запас устойчивости. Необходимость этого обусловлена следующими причинами:

 

1. Уравнения элементов САР, как правило, идеализированы, при их составлении не учитывают второстепенные факторы;

2. При линеаризации уравнений погрешности приближения дополнительно увеличиваются;

3. Параметры элементов определяют с некоторой погрешностью;

4. Параметры однотипных элементов имеют технологический разброс;

5. При эксплуатации параметры элементов изменяются вследствие старения.

 

В практике инженерных расчетов наиболее широко используют определение запаса устойчивости на основе критерия НАЙКВИСТА, по удалению АФХ разомкнутой системы от критической точки с координатами (-1, j0), что оценивают двумя показателями: запасом устойчивости по фазе g и запасом устойчивости по модулю (по амплитуде) H.

Для того чтобы САР имела запасы устойчивости не менее g и H, АФХ ее разомкнутой цепи при удовлетворении критерия устойчивости не должна заходить в часть кольца, заштрихованного на рис. 1, где H определяется соотношением

 

 

2''

w, с-1

`

 

 

Если устойчивость определяется по ЛЧХ условно-устойчивых систем, то для обеспечения запасов устойчивости не менее g и h необходимо, чтобы:

а) при h ³ L ³ -h фазо-частотная характеристика удовлетворяла неравенствам θ > -180°+g или θ < -180°-g, т.е. не заходила в заштрихованную область 1 на рис. 2;

б) при -180°+g ³ θ ³ -180°-g амплитудно-частотная характеристика удовлетворяла неравенствам L < -h или L > h, т.е. не заходила в заштрихованные области 2' и 2'' на рис. 2.

 

Для абсолютно устойчивой системы запасы устойчивости g и h определяют так, как показано на рис. 3:

1. Запас по фазе

2. Запас по модулю h=-L(ω_-π), где ω_-π – частота, при которой θ=-180^˚.

Необходимые значения запасов устойчивости зависит от класса САР и требований к качеству регулирования. Ориентировочно должно быть g=30¸60° и h=6¸20дБ.

Минимально допустимые запасы устойчивости по амплитуде должны быть не менее 6дБ (то есть передаточный коэффициент разомкнутой системы в два раза меньше критического), а по фазе не менее 25¸30°.