Лекция № 15. Функции нескольких переменных

Вопрос 15.1. Градиент и производная по направлению функции нескольких переменных.

Определение 15.1. Векторным полем называется закон, по которому каждой точке X из некоторого множества M арифметического пространства ставится в соответствие один и только один вектор.

Определение 15.2. Градиентом функции нескольких переменных называется векторное поле, определяемое по закону

Для функций 2-х и 3-х переменных градиент можно записать соответственно в виде

Замечание 15.1. Удобно точку X рассматривать как n ‑мерный вектор .

Градиент вектора обладает следующими двумя свойствами:

Свойство 15.1. Если , то .

Доказательство очевидно.

Свойство 15.2. (линейность градиента). Пусть даны два векторных поля и , которые имеют градиент в точке , тогда

где и ‑ действительные числа.

Доказательство. Доказательство основано на свойстве линейности частных производных

Конец доказательства.

Определение 15.3. Производной по направлению, заданным единичным вектором , в точке от функции нескольких переменных называется величина

Связь между градиентом и производной функцией по направлению определяется теоремой

Теорема 15.1. Если в точке функция дифференцируема, то

где ‑ вектор единичной длины.

Доказательство. Пусть приращение аргумента, тогда полное приращение дифференцируемой функции равно

где ‑ бесконечномалые функции при . Так как

то полное приращение функции равно

Отсюда следует доказываемая формула.

Конец доказательства.

Рассмотрим свойства производной по направлению

Свойство 15.1. Если , то .

Доказательство очевидно.

Свойство 15.2. Изменение вектора направления на противоположный меняет знак производной по направлению

Доказательство. Формула следует из равенства

Конец доказательства.

Свойство 3. (линейность производной по направлению). Пусть даны два дифференцируемых векторных поля и , тогда

где и ‑ действительные числа.

Доказательство. Из теоремы 15.1 следует

Конец доказательства.

Теорема 15.2. Градиент дифференцируемой функции в точке указывает на направление наискорейшего возрастания функции в точке .

Доказательство. Действительно, производная по направлению указывает на скорость возрастания функции в указанном направлении. Так как ( ‑ угол между векторами)

то производная по направлению будет максимальна, если , то есть если вектор будет параллелен градиенту.

Конец доказательства.

Пример 15.1. Вычислить производную по направлению вектора от функции и градиент в точке M (1,3).

Вектор тогда

Конец примера.

Замечание 15.1. В некоторых случаях удобно пользоваться такими понятиями как направляющие косинусы. Под этим понимают косинус угла между направляющим вектором и соответствующей осью координат. Если ‑ единичный вектор, то направляющие косинусы определяются из соотношения

где ‑ орт декартовой системы.

Теорема 15.2. Градиент функции перпендикулярен линии или поверхности равного уровня.

Доказательство. Ограничимся функциями 2-х переменных и докажем, что градиент перпендикулярен линии постоянного уровня, то есть в любой точке линии постоянного уровня градиент перпендикулярен касательной, проведенной к этой точке. Для функции 2-х переменных можно показать, что уравнение касательной к линии в точке равно:

Откуда следует, что градиент функции перпендикулярен вектору , то есть самой касательной.

Определение 15.5. Нормалью к графику функции в точке называется прямая перпендикулярная любой касательной в этой точке плоскости. Так как уравнение касательной в точке плоскости имеет вид

то вектор с координатами будет параллелен нормали в точке , следовательно, уравнение нормали

Пример 15.2. Для функции вычислить в точке уравнение касательной плоскости и нормали.

тогда получаем:

уравнение касательной плоскости

уравнение нормали

Конец примера.