Лекция № 6 определенный интеграл

Вопрос 6.1. Интегральная сумма и определенный интеграл Римана.

Пусть задана на . Разобьем отрезок n +1 точкой на n отрезков . Будем обозначать это разбиение отрезка буквой Т. Пусть ‑ произвольная точка из отрезка разбиения длины .

Определение 6.1. Число , равное

называется интегральной суммой Римана функции , соответствующей разбиению T отрезка на части и выбору промежуточных точек на отрезках разбиения .

Конец определения.

Определение 6.2. Величина , то есть длина наибольшего из отрезков разбиения, называется диаметром разбиения T.

Конец определения.

Перечислим свойства интегральных сумм:

Свойство 6.1. (Нормировка интегральных сумм). Если на отрезке , то .

Доказательство.

.

Конец доказательства.

Свойство 6.2. (Положительная определенность интегральных сумм).

Если на отрезке , то .

Доказательство. Так как и , то .

Конец доказательства.

Свойство 6.3. (Линейность интегральных сумм). Интегральная сумма от линейной комбинации функций есть линейная комбинация интегральных сумм этих функций.

.

Доказательство. . Раскрывая скобки и группируя слагаемые, получим

Конец доказательства.

Геометрический смысл интегральной суммы: интегральная сумма (см. рис. 1) функции на отрезке есть площадь ступенчатой фигуры, составленной из прямоугольников высотой и шириной .

Рис. 1. Геометрический смысл интегральной суммы.

Определение предела интегральных сумм функции на отрезке можно дать, например, на языке следующим образом.

Определение 6.3. Число I называется пределом интегральных сумм функции на отрезке , если для любого сколь угодно малого положительного числа e существует такое положительное число , может быть зависящее от e, что для любого разбиения Т отрезка , диаметр которого удовлетворяет неравенству , независимо от способа разбиения отрезка на части и от выбора промежуточных точек выполняется неравенство .

Конец определения.

Предел интегральных сумм будем в дальнейшем обозначать символом

.

Из определения предела интегральных сумм, подобно пределу последовательности или функции, следует его единственность.

Теорема 6.1. (Единственность предела интегральных сумм). Если существует предел интегральных сумм функции на отрезке , то он единственен.

Доказательство. Предположим противное. Пусть для функции на отрезке существует два различных значения предела интегральных сумм . Пусть выбрано . Тогда должно существовать такое число , что для разбиений с диаметром выполняются неравенства и . Тогда

или

.

Полученное противоречие доказывает теорему 6.1.

Конец доказательства.

Определение 6.4. Определенным интегралом от функции на отрезке или интегралом Римана называется предел интегральных сумм при стремлении диаметра разбиения к нулю, обозначаемый символом

,

при условии, что величина предела не зависит от способа разбиения отрезка на части и выбора промежуточных точек . Функции, для которых существует на отрезке определенный интеграл, называются интегрируемыми (по Риману).

Конец определения.