Charakteristiky variability 1 страница

Obsah

		Úvodem
I. část: Popisná statistika
	1.1	Statistika
	1.1.1	Politická aritmetika
	1.1.2	Počet pravděpodobnosti
	1.1.3	Vznik moderní statistiky
	1.2	Základní statistické pojmy
	1.2.1	Typy proměnných
	1.2.2	Statistická šetření
	1.3	Zpracování dat o slovní proměnné
	1.4	Elementární zpracování dat o číselné proměnné
	1.4.1	Prosté rozdělení četností
	1.4.2	Intervalové rozdělení četností
	1.5	Kvantily
	1.6	Charakterizování polohy, variability a koncentrace hodnot číselné proměnné
	1.6.1	Charakteristiky polohy
	1.6.2	Charakteristiky variability
	1.6.3	Obecné, centrální a normované momenty
	1.6.4	Charakteristiky koncentrace
	1.6.5	Korelační koeficient
II. část: Počet pravděpodobnosti










III. část: Statistická indukce
	3.1	Náhodný výběr
	3.1.1	Náhodný výběr z rozdělení
	3.1.2	Výběr z konečných souborů
	3.2	Statistiky
	3.3	Odhady parametrů a parametrických funkcí
	3.3.1	Parametrické funkce
	3.3.2	Bodové odhady
	3.3.3	Intervalové odhady
	3.4	Testování statistických hypotéz
	3.4.1	Základní pojmy
	3.4.2	Testy hypotéz pro parametry normálního rozdělení
	3.4.3	Testy hypotéz pro střední hodnotu m při velkých výběrech
	3.4.4	Testy hypotéz pro relativní četnost p alternativního rozdělení při velkých výběrech
	3.4.5	Testy hypotéz o rovnosti parametrů dvou normálních rozdělení
	3.4.6	Testy hypotéz o rovnosti středních hodnot při velkých výběrech
	3.4.7	Testy hypotéz o rovnosti relativních četností p₁ a p₂ alternativních rozdělení při velkých výběrech
	3.4.8	Testy hypotéz o rovnosti parametrů k ³ 2 normálních rozdělení
	3.4.9	Testy hypotéz o rovnosti středních hodnot při dvou závislých výběrech
	3.4.10	Testy dobré shody
		Řecká abeceda
		Statistické tabulky
		Seznam použité literatury

Úvodem

Vážení čtenáři,

skripta, která právě otevíráte, jsou určena především posluchačům druhého ročníku bakalářského studia všech oborů Vysoké školy finanční a správní, tj. jako studijní materiál k předmětům „Pravděpodobnost a statistika 1“, „Pravděpodobnost a statistika 2“, „Statistika 1“, „Statistika 2“ a „Základy statistických metod“.

Podobně jako v matematice, je i ve statistice propočítání značného množství příkladů nutným předpokladem ke zdárnému složení zkoušky. Předkládaný studijní materiál byl koncipován především jako sbírka příkladů, příkladům však předchází i speciální ucelený výklad tak, aby čtenář snáze pochopil přednášenou a procvičovanou látku. Sbírka obsahuje jednak řešené příklady, které mají stručný komentář postupu, a jednak cvičení s výsledky jednotlivých příkladů, na kterých má student možnost si ověřit, do jaké míry danou látku zvládl. Jelikož však zkouška nespočívá pouze ve výpočtu příkladů, ale student při ní musí prokázat i jistý stupeň teoretických znalostí, jsou zde zařazeny i příklady po stránce výpočtu trochu náročnější. S takovýmto typem příkladů se student u zkoušky přímo nesetká, avšak pomohou mu lépe pochopit probíranou teorii.

Skripta jsou rozdělena do tří hlavních částí. První část, kterou napsali autoři Ing. Diana Bílková, Dr. a RNDr. Václav Vohanka, je zaměřena na popisnou statistiku. Tato část zahrnuje ukázky konstrukce tabulek a grafů a výpočtu různých měr z hodnot zkoumaného znaku, které byly zjištěny pozorováním statistického souboru. Druhou část věnovanou počtu pravděpodobnosti napsal RNDr. Petr Budinský, CSc. Tato část má za úkol naučit posluchače zacházet s pravděpodobnostmi a seznámit je se základními typy rozdělení náhodných veličin. Poslední třetí část, kterou napsali opět autoři Ing. Diana Bílková, Dr. a RNDr. Václav Vohanka, je zaměřena na statistickou indukci. Zde jsou obsaženy příklady na zobecňování výsledků, které byly získány pozorováním výběrového statistického souboru.

Jako každá sbírka příkladů mají i tato skripta především pomoci posluchačům při samostatném studiu, ale jejich použití je rovněž možné a užitečné na cvičeních a pro domácí úkoly.

Autoři skript budou vděčni a předem děkují za všechny užitečné rady a připomínky a v případných dalších vydáních této sbírky se budou snažit o jejich maximální respektování. Posluchačům přejeme, aby jim sbírka usnadnila cestu k získání zápočtů i k pozdějšímu úspěšnému složení zkoušky.

V Praze dne 20. září 2006

Za autorský kolektiv Diana Bílková

I. Popisná statistika

Statistika

Termín statistika je odvozen od latinského slova status, které v latině znamená stav a v přeneseném slova smyslu stát. Z těchto uvedených termínů vznikla v období 16. až 17. století italská slova státistico, což znamená statistický nebo také statistik a státística, tj. statistika. Tento termín tehdy představoval souhrn znalostí o státních záležitostech a rovněž znamenal velmi ceněné muže - statistiky, kteří byli výbornými znalci důležitých státních záležitostí.

V průběhu 17. a 18. století dostávala slova statistický, statistika a statistik postupně mezinárodní smysl. Od poloviny 18. století bylo slovo statistika především v Německu používáno namísto dříve preferovaného termínu státověda - die Staatswissenschaft. Toto slovo označovalo cyklus přednášek na univerzitách, které se zabývaly obyvatelstvem, územím obchodem peněžnictvím, armádou apod. jednotlivých států. Uvedená univerzitní statistika představovala především slovní popis, použití čísel bylo zpočátku zcela výjimečné.

Vzniku slova statistika předcházelo úřední zjišťování počtu lidí a velikosti jejich majetku. Takováto úřední zjišťování se prováděla již před několika tisíci lety a docházelo k nim zejména v těch zemích, které potřebovaly znát zejména např. přesné počty mužů schopných bojovat nebo počty osob schopných a povinných platit daně. Takováto zjišťování se v průběhu let neustále zdokonalovala až po současnou podobu sčítání lidu, která jsou organizována a prováděna současnými statistiky ve všech kulturních zemích světa přibližně každých deset let.

1.1.1 Politická aritmetika

V 17. století, kdy se v Itálii a v Německu začala utvářet univerzitní statistika, se v Anglii, která byla hospodářsky vyspělejší, zabývá John Graunt (1 620 až 1 674) a William Petty (1 623 až 1 687) zkoumáním společenských jevů na podkladě objektivních číselných záznamů. Jednalo se o zjišťování a zkoumání počtu obyvatel, složení rodin, pravidelností v rození a umírání. Objevili např., že se rodí o něco více chlapců než dívek, že umírá více mužů než žen nebo, že ve městech umírá více lidí, než se jich tam narodí apod. Dalším předmětem jejich zájmu bylo zjišťování a zkoumání pravidelností ve výši příjmů obyvatel podle jednotlivých povolání atd. Hlavním nástrojem těchto badatelů bylo číselné charakterizování jevů. Šlo přitom o obyvatelstvo jako celek, o pravidelnosti v narozeních, úmrtích atd. John Graunt a WilliamPetty zkoumali hromadné jevy, zkoumali tedy skutečnosti, které se neustále opakují. Postupy zkoumání hromadných jevů Johna Graunta a Williama Pettyho byly nazvány politickou aritmetikou. Důvodem pro tento název byla nejenom ta skutečnost že se jedna z knih Williama Pettyho nazývala Politická aritmetika, ale především to, že jednak zkoumali jevy, které bylo možno po jejich zkoumání ovlivňovat a usměrňovat politicky státem, a jednak používali čísla k měření, vážení, počítání, neboli zkrátka aritmetiku při zkoumání a charakterizování hromadných jevů.

Na základě záznamů o úmrtích a narozeních v některých městech prováděli podobné výpočty v Německu v 18. století Johann Peter Sűssmilch (1 707 až 1 767) i jiní.

K ostrým střetům, ale i k vzájemnému obohacování znalostí začalo docházet posléze mezi politickými aritmetiky a univerzitními statistiky. V dalším vývoji se proto používají k charakterizování státních pozoruhodností, jako jsou území, obchod, peněžnictví, obyvatelstvo, armáda apod., stále více čísla.

1.1.2 Počet pravděpodobnosti

Základy počtu pravděpodobnosti byly položeny již v 17. století v Itálii, Francii Švýcarsku a v Nizozemí. Výpočty pravděpodobností různých jevů včetně vět o sčítání a násobení pravděpodobností nacházíme již v 16. století u Geronima Cardana (1 501 až 1 576). O vývoj počtu pravděpodobnosti se zasloužil i známý Galileo Galilei (1 564 až 1 642). Jednalo se především o práci z roku 1 632, ve které je prezentován rozbor měření, který využívá teorii pravděpodobnosti. Mezi spolutvůrce počtu pravděpodobnosti patří i francouzští matematici Blaise Pascal (1 623 až 1 662), Pierre de Fermat (1 601 až 1 665) a Holanďan Christian Huygens (1 629 až 1 695). První známou ucelenou prací o počtu pravděpodobnosti je dílo Ars conjectandi, což v češtině znamená umění předvídat, od švýcarského matematika Jacoba Bernoulliho (1 654 až 1 705). O rozmach počtu pravděpodobnosti se potom zasloužil např. bratr Jacoba Bernoulliho Jan Bernoulli (1 667 až 1 748) a jeho syn Deniel Bernoulli (1 700 až 1 782), francouzský matematik Abraham de Moivre (1 667 až 1 754), anglický duchovní Thomas Bayes (1 702 až 1 761), švýcarský matematik Leonhardt Euler (1 707 až 1 783), francouzský matematik Pierre Simon de Laplace (1 749 až 1 827), francouzský matematik Simeon Denis Poisson (1 781 až 1 840), německý matematik Karl Friedrich Gauss (1 777 až 1 855) a ruští matematikové Pafnutij Lvovič Čebyšev (1 821 až 1 894), Andrej Andrejevič Markov (1 856 až 1 922) a Alexandr Michajlovič Ljapunov (1 857 až 1 918).

1.1.3 Vznik moderní statistiky

Na základě postupné integrace vývoje úředních zjišťování, univerzitní statistiky, politické aritmetiky a počtu pravděpodobnosti se během 19. století začala utvářet moderní statistika. Úřední zjišťování především počtu osob, rozsahu jejich majetku, později i zapisování narození a úmrtí lidí vložilo do statistiky základní náplň po stránce obsahu. Univerzitní statistika dodala nové disciplíně její název, zasloužila se i o rozšíření obsahu statisticky zkoumaných jevů a vytvořila podmínky pro to, aby se tato disciplína rozvíjela jak prakticky, tak teoreticky, zejména na univerzitách. Základem moderní statistiky je politická aritmetika, neboť značně rozšířila obsahovou náplň statistiky o společenské hromadné jevy různého druhu, zkoumala je objektivně s využitím čísel, vyhledávala v nich pravidelnosti a studovala a nalézala jejich příčiny. Statistika a počet pravděpodobnosti se zprvu rozvíjely v podstatě izolovaně, přestože vývoj teorie pravděpodobnosti v určitém směru podmiňoval vznik nových statistických metod a statistika naopak v určitém směru podmiňovala vznik nových postupů v oblasti počtu pravděpodobnosti. Brzy došlo k vzájemnému prolínání počtu pravděpodobnosti a statistiky.

Belgický matematik, astronom a statistik Lambert Adolphe Jacques Quételet (1 796 až 1 874) sehrál v 19. století významnou úlohu v procesu vzniku moderní statistiky. Statistiku pojal jako disciplínu, jejíž úkolem je jak pozorovat a popisovat hromadné sociální jevy, tak se snažit tyto jevy vysvětlit v tom smyslu, že má mezi nimi hledat příčinné vztahy. Lambert Adolphe Jacques Quételet na základě měřitelných vlastností obyvatelstva, jako jsou délka života, hmotnost, tělesná výška atd. i na základě bezprostředně neměřitelných morálních lidských vlastností, které se snažil nepřímo kvantifikovat např. počtem vražd, loupeží, sebevražd na 1 000 osob apod. objevoval některé společenské zákonitosti a usiloval o objasnění jejich příčin. Lambert Adolphe Jacques Quételet se zasloužil o vývoj teorie statistiky i o obrovské obohacení statistické praxe. V Belgii byl od roku 1 841 předsedou statistického úřadu a pod jeho vedením se zde provádělo sčítání lidu s mnoha moderními prvky. Dále byl předsedou mnoha světových statistických kongresů. Mimo Lamberta Adolphe Jacquesa Quételeta měl v polovině 19. století velký vliv na vývoj statistiky Němec Karl Knies (1 821 až 1 898) se spisem Statistika jako samostatná věda — Die Statistik als selbständige Wissenschaft, který byl vydán v roce 1 850.

Později docházelo k popisu a rozboru hromadných jevů na základě čísel i v oblastech přírodních a technických, především v biologii, antropologii, meteorologii i fyzice atd. Na rozvoji statistiky se podílela celá řada velice významných badatelů, budeme zde jmenovat dva anglické vědce, a to Francise Galtona (1 822 až 1 911), který položil základy zkoumání vztahů mezi hromadnými jevy, a Karla Pearsona (1 857 až 1 936), který zkonstruoval řadu originálních statistických měr a postupů.

Ve 20. století se pod pojmem statistika chápal souhrn údajů a jejich charakteristik o hromadných jevech jakéhokoliv druhu.

1.2 Základní statistické pojmy

Pojem statistika v současné době představuje:

1.	Číselné a slovní údaje (data) a jejich souhrny o nejrůznějších hromadných jevech. Jedná se o statistické údaje a jejich charakteristiky, které lze nalézt v různých statistických publikacích, především ve statistických ročenkách a v přílohách statistických časopisů.
2.	Činnost, která spočívá v získávání statistických dat, (např. měření, vážení, počítání a zaznamenávání) o hromadných jevech, v jejich třídění, shrnování, grafickém znázorňování, v konstrukci a výpočtu jejich číselných charakteristik, ve vytváření jejich systémů a v jejich publikaci a analýze.
3.	Vědu zkoumající statistické zákonitosti hromadných jevů nebo souhrn vědeckých metod sběru, zpracování a analyzování dat.

Hromadné jevy jsou jevy, které se vyskytují mnohokrát a neustále se mohou opakovat. Hromadnými jevy se zabývá statistika. Existují dva typy hromadných jevů. První typ spočívá ve velkém počtu opakovaných pozorování, např. měření, vážení apod. určité vlastnosti jednoho předmětu. Cílem je zde zjištění skutečného stavu, např. velikosti, sledované vlastnosti daného předmětu, ale i posouzení přesnosti pozorovatele, např. měřícího přístroje nebo váhy. Jako příklad lze uvést řadu měření výšky jedné konkrétní osoby. Druhým typem hromadného jevu je nějaká vlastnost množiny, která se skládá z velkého počtu prvků, z nichž každý z těchto prvků má v nějaké míře danou vlastnost. Na základě zkušeností lze konstatovat, že jakmile je uvažován soubor 30 a více prvků, můžeme již hovořit o hromadných jevech.

Studium hromadných jevů předpokládá definování množiny prvků, z nichž každý má řadu vlastností. Z těchto vlastností jsou některé u každého prvku uvažované množiny zcela stejné a jiné z těchto vlastností se u jednotlivých prvků dané množiny mohou vyskytovat v různé míře. Jsou-li identické vlastnosti prvků určité množiny přesně stanoveny, nazýváme uvažovanou množinu, která je tvořena z prvků s těmito přesně stanovenými shodnými vlastnostmi, statistickým souborem. Jako statistický soubor si můžeme představit množinu osob, zvířat, věcí, podniků, prodejen apod.

Prvky statistického souboru nazýváme statistické jednotky. Počet statistických jednotek statistického souboru se nazývá rozsah statistického souboru.

Základní soubor, někdy říkáme populace, je takový soubor, ve kterém poznání některých proměnlivých vlastností tohoto souboru je vlastním cílem statistického zkoumání. Může se jednat například o některé vlastnosti všech studentů Vysoké školy finanční a správní ve školním roce 2007/2008 apod. Základní soubor má obvykle velmi značný rozsah, a proto zjištění zkoumaných vlastností u všech prvků základního souboru nebývá často prakticky vůbec uskutečnitelné nebo může být velmi pracné a nesmírně nákladné. Někdy není vůbec proveditelné, a to zejména tehdy, kdy zjištění sledované vlastnosti u statistické jednotky je spojeno se zničením statistické jednotky (např. zkoumání pevnosti součástek). Proto se většinou dané zjišťování provede jen u některých statistických jednotek, které jsou vybrány ze základního souboru. Statistické jednotky, které byly vybrány ze základního souboru, tvoří výběrový soubor. Výběrový soubor by měl být co nejlepším reprezentantem základního souboru, neboť na základě poznání vlastností výběrového souboru usuzujeme na vlastnosti základního souboru. Rozsah základního statistického souboru budeme značit N a rozsah výběrového statistického souboru budeme značit n.