Расчет средних показателей

Важнейшее свойство средней заключается в том, что она отражает то общее, что присуще всем единицам исследуемой совокупности. Значения признака отдельных единиц совокупности варьируют под влиянием множества факторов, среди которых могут быть, как основные, так и случайные. Сущность средней в том и заключается, что в ней взаимокомпенсируются отклонения значений признака, которые обусловлены действием случайных факторов, и накапливаются (учитываются) изменения, вызванные действием основных факторов. Это позволяет средней отражать типичный уровень признака и абстрагироваться от индивидуальных особенностей, присущих отдельным единицам.

Для того, чтобы средний показатель был действительно типизирующим, он должен рассчитываться с учетом определенных принципов.

Основные принципы применения средних величин.

1. Средняя должна определяться для совокупностей, состоящих из качественно однородных единиц.

2. Средняя должна исчисляться для совокупности, состоящей из достаточно большого числа единиц.

3. Средняя должна рассчитываться для совокупности в стационарных условиях (когда влияющие факторы не меняются или меняются не значительно).

4. Средняя должна вычисляться с учетом экономического содержания исследуемого показателя.

Расчет большинства конкретных статистических показателей основан на использовании:

· средней агрегатной;

· средней степенной (гармонической, геометрической, арифметической, квадратической, кубической);

· средней хронологической (см. раздел).

Все средние, за исключением средней агрегатной, могут рассчитываться в двух вариантах – как взвешенные или невзвешенные.

Средняя агрегатная. Используется формула:

,

где w_i=x_i*f_i;

x_i – i-й вариант осредняемого признака;

f_i, - вес i - го варианта.

Средняя степенная. В общем виде формула для расчета:

,

где степень k – вид средней степенной.

Значения средних рассчитанных на основании средних степенных для одних и тех же исходных данных - не одинаковы. С увеличением показателя степени k, увеличивается и соответствующая средняя величина:

Cредняя хронологическая. Для моментного динамического ряда с равными интервалами между датами, рассчитывается по формуле:

,

где х₁ и х_n значение показателя на начальную и конечную дату.

Формулы расчета степенных средних

Вид степенной средней	Показатель степени (k)	Формула расчета
Простая	Взвешенная
Гармоническая	-1
Геометрическая
Арифметическая
Квадратическая
Кубическая

Пример. По данным табл. 2.1 требуется рассчитать среднюю заработную плату в целом по трем предприятиям.

Таблица 2.1

Заработная плата предприятий АО

Предприятие	Численность промышленно-производственного персонала (ППП), чел.	Месячный фонд заработной платы, руб.	Средняя заработная плата, руб.
А
Итого			?

Конкретная расчетная формула зависит от того, какие данные табл. 7 являются исходными. Соответственно возможны варианты: данные столбцов 1 (численность ППП) и 2 (месячный ФОТ); либо - 1 (численность ППП) и 3 (средняя ЗП); или 2 (месячный ФОТ) и 3 (средняя ЗП).

Если имеются только данные столбцов 1 и 2. Итоги этих граф содержат необходимые величины для расчета искомой средней. Используется формула средней агрегатной:

Если имеются только данные столбцов 1 и 3, то известен знаменатель исходного соотношения, но не известен его числитель. Однако фонд заработной платы можно получить умножением средней заработной платы на численность ППП. Поэтому общая средняя может быть рассчитана по формуле средней арифметической взвешенной:

 

Необходимо учитывать, что вес (f_i) в отдельных случаях может представлять собой произведение двух или даже трех значений.

Кроме того, в статистической практике находит применение и средняя арифметическая невзвешенная:

.

где n – объем совокупности.

Эта средняя используется тогда, когда веса (f_i) отсутствую (каждый вариант признака встречается только один раз) или равны между собой.

Если имеются только данные столбцов 2 и 3., т. е. известен числитель исходного соотношения, но не известен его знаменатель. Численность ППП каждого предприятия можно получить делением ФОТ на среднюю ЗП. Тогда расчет средней ЗП в целом по трем предприятиям проводится по формуле средней гармонической взвешенной:

При равенстве весов (f_i) расчет среднего показателя может быть произведен по средней гармонической невзвешенной:

.

В нашем примере использовались разные формы средних, но получили один и тот же ответ. Это обусловлено тем, что для конкретных данных каждый раз реализовывалось одно и то же исходное соотношение средней.

Средние показатели могут рассчитываться по дискретным и интервальным вариационным рядам. При этом расчет производится по средней арифметической взвешенной. Для дискретного ряда данная формула используется так же, как и в приведенном выше примере. В интервальном же ряду для расчета определяются середины интервалов.

Пример. По данным табл. 2.2 определим величину среднедушевого денежного дохода за месяц в условном регионе.

Таблица 2.2

Исходные данные (вариационный ряд)

Среднедушевой денежный доход в среднем за месяц, х, руб.	Численность населения, % к итогу/
До 400	30,2
400 - 600	24,4
600 - 800	16,7
800 - 1000	10,5
1000-1200	6,5
1200 - 1600	6,7
1600 - 2000	2,7
2000 и выше	2,3
Итого

Среднедушевой денежный доход 688,5 руб.

Среднее гармоническое рассчитывается в тех случаях, когда:

· среднее арифметическое по имеющимся данным рассчитать невозможно;

· расчет средних гармонических более удобен , где Х варианты осредняемого признака.

Пример. Требуется исчислить производительность труда рабочей силы, если 1-ому рабочему требуется для изготовления единицы продукции 0,25 часа, второму 1/3 часа, а третьему 1/2 часа. Получаем:

.

Расчёт средней гармонической взвешенной:

, где

Эта формула используется в тех случаях, когда значение признака и вес даны в виде сомножителя.

Пример. По трём сахарным заводам имеется следующие данные.

Заводы	Затраты времени на переработку 1000 ц. сахарной свеклы дней. Х	Затраты времени на переработку всей свеклы дней. Х*f
	50,3	59171,6
	58,8	74400,8
	68,5	42245,3

Вычислить средние затраты времени на переработку 1000 ц свеклы по трём заводам в целом.

В данной задаче для расчетов применяется среднее гармоническое взвешенное.

.

Критерием правильности применения средней гармоническое взвешенной является то, что деление затрат времени на переработку всей свеклы на величину Х затрат времени, необходимых для переработки 1000ц. свеклы даёт количество переработанной свеклы вообще.

Пример. Оценка знаний: первый вопрос – 2 бала, второй – 5. Рассчитать средние.

2,8<=3,05<=3,8<=4,05