Лекция 3. Принятие решений в условиях неопределенности. Матричные игры

Основные понятия теории игр. Введение в матричные игры

Принятие решений в проблемных ситуациях в условиях неопределенности является одним из важнейших аспектов различных областей жизни и трудовой деятельности людей (в области экономики, военного дела, торговли, транспорта, экологии и других). Ситуации, в которых присутствует неопределенность и эффективность принимаемого одной стороной решения зависит от действий другой стороны, называются конфликтными. В процессе принятия решений в условиях неопределенности и конфликта (разногласий) сторон часто используются игровые модели. В условиях неопределенности и риска обоснование решений на основе применения математической модели может повысить вероятность успеха.

Предметом исследований в теории игр являются модели и методы принятия решений в ситуациях, где участвуют несколько сторон (игроков), при этом цели игроков различны, часто противоположны.

Теория игр впервые была систематически изложена Дж. фон Нейманом и О. Моргенштерном в 1944 г., хотя отдельные результаты были опубликованы еще в 20-х годах. Нейман и Моргенштерн рассматривали модели игры как средство математического подхода к явлениям конкурентной экономики.

Математическая модель игровых ситуаций называется игрой. В игре участвует множество действующих субъектов, называемых коалициями действия, или игроками. В зависимости от числа участников игры подразделяются на парные и множественные. В парной игре число участников равно двум, в множественной – более двух. Участники множественной игры могут образовывать коалиции, в этом случае игры называются коалиционными. Конфликтная ситуация будет антагонистической, если увеличение выигрыша одной из сторон на некоторую величину приведет к уменьшению выигрыша другой стороны на такую же величину, и наоборот. Таким образом, под антагонистической игрой понимается взаимодействие двух субъектов (организаций, фирм, стран) с противоположными интересами.

Игра состоит из последовательности ходов. Ходом называется выбор игроком одного из предусмотренных правилами игры действий и его осуществление. Ходы бывают личные (игрок сознательно выбирает и осуществляет определенный вариант действий) и случайные (выбор осуществляется с помощью какого-то механизма случайного выбора). Решение, принимаемое игроком при личном ходе, называется выбором, при случайном ходе – исходом.

Результаты ходов оцениваются функцией выигрыша для каждого игрока. Если сумма выигрышей равна 0, то игра называется игрой с нулевой суммой, то есть выигрыш одного игрока равен проигрышу другого.

Стратегией называется набор правил, определяющих поведение игрока, т.е. выбор хода. Каждая фиксированная стратегия, которую может выбрать игрок, называется его чистой стратегией. Стратегия, заключающаяся в выборе с определенной частотой (вероятностью) чистых стратегий, называется смешанной стратегией. Игра называется конечной, если число стратегий игроков конечно, и бесконечной, если хотя бы у одного из игроков число стратегий является бесконечным.

Оптимальной стратегией называют такую стратегию, при которой достигается максимальный ожидаемый средний выигрыш игрока или минимально возможный средний проигрыш (независимо от поведения противника) при многократном повторении игры.

Цель теории игр – оптимизация поведения игрока в игре, где наряду со случайными ходами есть и личные.

Матричные игры — это игры, где два игрока играют в игру с нулевой суммой, имея конечное число «чистых» стратегий: {1,…, m } и {1,…, n } и "(ij) задан платеж a_ij второго игрока первому. Матрица (a_ij) задает выигрыш первого игрока и проигрыш второго.

Используя понятие стратегии, любую игру можно рассматривать следующим образом: каждый игрок имеет один ход – выбор между своими стратегиями из некоторого множества доступных ему стратегий. При этом в общем случае каждый игрок принимает решение, не имея никакой информации о выборе других игроков.

Для игр с одной коалицией действия множество всех ситуаций можно принять за множество стратегий этой коалиции действия и далее о стратегиях не упоминать; такие игры называются нестратегическими. Важным классом таких игр являются игры с природой, применяемые для анализа экономических ситуаций, оценки эффективности принимаемых решений и выбора наиболее предпочтительных альтернатив, в которых риск связан с совокупностью неопределенных факторов окружающей среды, именуемых «природа».

Таким образом, различные виды игр можно классифицировать, основываясь на том или ином принципе: по числу игроков, по числу стратегий, по свойствам функций выигрыша, по возможности предварительных переговоров и взаимодействия между игроками в ходе игры.

Рис. 3.1– Фрагмент онтологии теории игр