Уравнение с разделяющимися переменными

 

Этот тип уравнения является самым простым типом уравнений первого порядка.

Дифференциальное уравнение вида

называется уравнением с разделяющимися переменными.

 

 

Представим производную как отношение дифференциалов , тогда

.

Умножаем на

.

Разделение переменных производится делением обеих частей последнего соотношения на произведение , в котором , . После деления уравнение примет вид

или ,

а его общий интеграл запишется так:

или .

Пример. Решить уравнение .

Решение. Подставим вместо

. .

Разделим на

.

Интегрируя, получим

.

Здесь удобно представить константу в логарифмической форме. Из последнего равенства получим

; .

Однородные дифференциальные уравнения

Первого порядка

 

Функция называется однородной степени , если для нее выполняется равенство

.

Однородными функция будут:

– вторая степень однородности

– вторая степень однородности

– первая степень однородности

– нулевая степень однородности

Неоднородные функции: , , .

Однородным дифференциальным уравнением первого порядка называют соотношение вида

,

где и – однородные функции одинаковой степени однородности.

Дифференциальное уравнение может быть представлено в виде

.

Для решения однородных дифференциальных уравнений первого порядка применяют подстановку

,

где – новая искомая функция, которая преобразует однородное уравнение в уравнение с разделяющимися переменными.

После того как новое уравнение будет проинтегрировано, следует заменить на .

Пример. Решить уравнение .

Решение. Убедимся, что это уравнение однородное. Заменить на , а на , видим, что уравнение не изменилось это и доказывает, что оно однородное.

Сделаем подстановку:

, откуда ,

и уравнение перепишется так:

,

,

,

.

Теперь мы получили уравнение с разделяющимися переменными, которое после разделения переменных запишется следующим образом:

.

Интегрируя, получаем:

, или .

Заменяя на , получим

;

; .

 

 

7.3. Линейные дифференциальные уравнения

первого порядка

 

Дифференциальные уравнения вида

называются линейными потому, что искомая функция и ее производная входят в уравнение в первой степени.

Функции и предполагаются непрерывными в промежутке , в котором ищется решение уравнения.

Линейное дифференциальное уравнение первого порядка при помощи подстановки сводится к двум уравнениям с разделяющимися переменными.

Пример. Решить уравнение .

Решение. Запишем уравнение в виде: .

Разделяя на , получим: .

Полагаем , тогда и данное уравнение примет вид:

,

или

.

Решаем уравнение

,

находим его простейшее решение

,

откуда

; .

Подставляя в уравнение , получим уравнение

, откуда ,

,

, .

Значит, искомое общее решение можно записать в виде:

.