Загальна схема дослідження функції. Побудова графіків функцій

Схема дослідження функції.

1. Знайти область визначення функції.

2. Знайти точки розриву (якщо вони є) та визначити їх вид.

3. Визначити асимптоти графіка функції.

4. Визначити парність, непарність і тим самим симетричність графіка функції.

5. Знайти точки екстремуму, інтервали монотонності.

6. Знайти точки перегину, інтервали опуклості й угнутості графіка функції.

7. За отриманими даними побудувати графік функції. Для уточнення графіка функції іноді корисно визначити точки перетину графіка з осями координат.

Приклад 2.54. Провести повне дослідження функції та побудувати її графік.

Розв’язання.

1) Знайдемо область визначення функції: .

2) Функція неперервна на всій осі як елементарна.

3) У графіка цієї функції відсутні асимптоти. Якщо функція неперервна, то відсутні вертикальні асимптоти. При знаходженні похилих асимптот параметр не дорівнює скінченному числу:

.

4) Функція не є ні парною, ні непарною:

5) Знайдемо інтервали монотонності та критичні точки функції за допомогою першої похідної.

.

Одержані точки розбивають область визначення функції на такі інтервали: . Знайдемо знак похідної в кожному з інтервалів.

6) Знайдемо інтервали угнутості та точки перегину графіка функції за допомогою похідної другого порядку.

.

Критичні точки другого порядку розбивають область визначення функції на інтервали вгнутості. Знайдемо знак другої похідної у кожному з них.

.

Точки перегину функції мають координати: і .

7) Знайдемо точки перетину функції з осями координат: при ; при . Для рівняння можна методом підбору знайти один корінь .

Побудуємо схематично графік функції (рис. 2.12).

 

Рис. 2.12

Приклад 2.54. Провести повне дослідження функції та побудувати її графік.

Розв’язання. 1) Знайдемо область визначення функції. Необхідно знайти ті точки, в яких знаменник дробу дорівнює нулю і виключити їх. Одержимо . Функція визначена в інтервалах .

2) Точки розриву другого роду:

3) Знайдемо асимптоти графіка функції.

а) Вертикальні асимптоти будемо шукати в точках розриву функції. Одержимо:

прямі та є вертикальними асимптотами функції.

б) Похилі асимптоти будемо шукати у вигляді , а невідомі параметри і визначимо за формулами (2.23). Одержимо

, тоді – вісь – горизонтальна асимптота.

4) Для функції виконується умова

.

Функція непарна, а її графік центрально-симетричний відносно початку координат.

5) Знайдемо інтервали монотонності та критичні точки функції. Для цього знайдемо першу похідну функції. Маємо:

;

.

Тоді для всіх із області неперервності.

Тобто функція спадна на кожному інтервалі області визначення.

6) Знайдемо інтервали вгнутості та точки перегину графіка функції. Для цього знайдемо другу похідну.

Прирівняємо . Одержимо ; – критична точка.

Знайдемо знак другої похідної в кожному з інтервалів .

Маємо .

На інтервалах та графік опуклий, а на інтервалах та – вгнутий. Точка є точкою перегину графіка функції.

7) Знайдемо точки перетину графіка функції з осями координат: при , при . Інших точок не існує.

Використовуючи результати досліджень, побудуємо графік функції (рис. 2.13).

Рис. 8

 

Рис. 8

 

Рис. 2.13

 

Побудуємо графік функції. Графік перетинає осі координат у точці О(0;0).

 

Найбільше і найменше значення функції на відрізку

 

Нехай функція неперервна на відрізку . Як відомо, така функція досягає своїх найбільшого і найменшого значень. Ці значення функція може приймати або у внутрішній точці відрізка , або награниці відрізка, тобто при або .Якщо , то її слід шукати серед критичних точок даної функції (див. рис. 2.14).

 

Рис. 2.14

 

Одержуємо наступне правило знаходження найбільшого і найменшого значень функції на :

1) знайти критичні точки функції на інтервалі ;

2) обчислити значення функції в знайдених критичних точках;

3) обчислити значення функції на кінцях відрізку, тобто при або ;

4) серед всіх обчислених значень функції вибрати найбільше і найменше.

Зауваження: 1. Якщо функція на відрізку маєлише одну критичну точку і вона є точкою максимуму (мінімуму), то в цій точці функція приймає найбільше (найменше) значення. На рисунку 6 і

2. Якщо функція на відрізку не має критичних точок, то це означає, що на ньому функція монотонно зростає або спадає. Отже, своє найбільше значення функціяприймає на одному кінці відрізка, а найменше — на іншому.

 

Приклад 2.55. Знайти найбільше та найменше значення функції на відрізку .

Розв’язання. Функція може досягати свого найбільшого та найменшого значення або на кінцях відрізка, або у критичних точках, якщо вони знаходяться у середині відрізка. Знайдемо критичні точки функції і розглянемо тільки ті, які потрапляють в інтервал .

.

Обчислимо значення функції у критичних точках та на кінцях відрізка. Одержимо:

;

;

; .

Відповідь. – найбільше значення функції; – найменше значення функції на відрізку.

ФУНКЦІЇ БАГАТЬОХ ЗМІННИХ

8.1 Частинні похідні і повний диференціал

Функцією двох змінни х називається правило (відповідність), по якому кожній парі чисел відповідає єдине число . Множина – область визначення функції, а – множина значень функції.

Для функцій двох та багатьох змінних , розглянемо частинні похідні.

Частинною похідною функції по одній змінній називають скінченну границю виду:

де та – частинний приріст функції по одній змінній.

Повним диференціалом функції багатьох змінних називається головна лінійна частина приросту функції. Для функції повний диференціал має вигляд

.

Повний диференціал функції багатьох змінних застосовується до наближених обчислень, вважаючи, що .

Частинні похідні знаходяться за правилами та формулами диференціювання функції однієї змінної, вважаючи решту змінних сталими величинами.

Частинною похідною n-го порядку функції багатьох змінних по одній змінній називають першу похідну від -ї похідної.

 

Приклад 2.56. Знайти частинні похідні другого порядку функції

.

Розв’язання. Знайдемо частинні похідні першого порядку по кожній змінній:

 

 

Від кожної частинної похідної першого порядку та знайдемо першу похідну по кожній змінній. Це будуть частинні похідні другого порядку і їх буде чотири:

 

 

Мішані похідні, які відрізняються порядком диференціювання, , рівні між собою. Ця умова виконується у випадку їх неперервності.

 

Приклад 2.57. Знайти , якщо .

Розв’язання. Знайдемо частинну похідну функції тільки по або по , а потім від неї знайдемо першу похідну по іншій змінній. Одержимо