Дифференциальное исчисление

Основные понятия теории множеств. Функция, область её определения, способы задания. Сложные, обратные функции. Предел функции. Бесконечно малые функции, их свойства. Бесконечно большие функции. Сравнение бесконечно малых, их эквивалентность. Основные теоремы о пределах. Замечательные пределы. Непрерывность функции. Точки разрыва.

Производная, её смысл. Правила дифференцирования. Дифференцирование сложных, неявных и параметрических функций. Дифференциал функции, его свойства. Производные и дифференциалы высших порядков. Теоремы Ролля, Лагранжа, Коши. Правило Лопиталя. Признаки монотонности функции, ее экстремумы. Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке. Выпуклость и вогнутость кривой, точки перегиба. Асимптоты. Построение графиков функций.

Интегральное исчисление.

Неопределенный интеграл, его основные свойства. Таблица интегралов. Интегрирование подстановкой и по частям. Интегрирование дробно-рациональных, тригонометрических и иррациональных функций.

Интегральная сумма. Определенный интеграл, его геометрический смысл. Свойства определенного интеграла. Формула Ньютона-Лейбница. Интегрирование по частям и замена переменной в определенном интеграле. Несобственные интегралы. Приложения определенного интеграла.

Использование понятия определенного интеграла в экономике.

Функции нескольких переменных.

Определение функций нескольких переменных. Предел и непрерывность. Частное и полное приращения функции. Частные производные. Полный дифференциал. Производная по направлению, градиент. Наибольшее и наименьшее значения функции в области.

Двойные, тройные и криволинейные интегралы.

Определение двойного интеграла, свойства. Двукратные интегралы, их свойства. Вычисление двойного интеграла в декартовых координатах. Определение тройного интеграла, его свойства и вычисление. Геометрические приложения двойного и тройного интегралов. Криволинейные интегралы, свойства, вычисление.

Элементы теории поля.

Поверхностные интегралы. Поток векторное поля через ориентированную поверхность, его физический смысл. Дивергенция векторного поля, свойства. Теорема Остроградского. Линейный интеграл. Циркуляция векторного поля. Ротор (вихрь) векторного поля, свойства ротора. Теорема Стокса. Потенциальное поле. Потенциал. Соленоидальное поле.

Обыкновенные дифференциальные уравнения и их системы.

Дифференциальные уравнения первого порядка, их общее, частное, особое решения. Задача Коши, теорема существования и единственности решения задачи Коши. Уравнения с разделяющимися переменными. Однородные уравнения первого порядка. Линейные уравнения первого порядка. Уравнения Бернулли. Уравнения в полных дифференциалах. Дифференциальные уравнения высших порядков, их общее и частное решения, задача Коши. Понижение порядка в дифференциальных уравнениях. Линейные дифференциальные уравнения n -го порядка, структура их решения. Линейные однородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами. Метод Эйлера. Метод вариации произвольных постоянных. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения с правой частью специального вида. Метод неопределенных коэффициентов. Системы линейных дифференциальных уравнений, основные понятия. Задача Коши для нормальной системы дифференциальных уравнений. Решение систем линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами.

 

Ряды.

Числовые ряды, сходимость и сумма ряда. Необходимое условие сходимости. Свойства сходящихся рядов. Достаточные признаки сходимости рядов с неотрицательными членами (признаки сравнения, Даламбера, Гаусса, радикальный признак Коши, интегральный признак). Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница. Знакопеременные ряды. Абсолютно и условно сходящиеся ряды. Функциональные ряды, область сходимости, методы её определения.Степенные ряды, действия над ними. Теорема Абеля о сходимости степенных рядов. Формулы для вычисления радиуса сходимости степенных рядов. Ряды Тейлора и Маклорена. Разложение функций у =sin x, cos x, e^x, (1 +x)^m, l n (1+ x), arctg x в степенные ряды. Применение степенных рядов в приближенных вычислениях (приближенное вычисление значений функций, определенных интегралов, приближенное решение дифференциальных уравнений). Тригонометрические ряды Фурье. Разложение функций в тригонометрические ряды Фурье.