Математическое моделирование

 

Выработка решения – это сложный творческий процесс, которому свойственны психологические переживания, раздумья и сомнения. Это вполне понятно, если учесть, что в процессе решения приходится сталкиваться с огромным количеством разнообразных факторов, которые сами по себе носят противоречивый характер. Приходится как бы решать уравнение со многими неизвестными, взвешивать все «за» и «против». Это, конечно, не означает, что процесс выработки решения строится лишь на субъективных особенностях. Несомненно, каждый думает по-своему, подходит со свойственными ему особенностями. Вместе с тем существует математическое моделирование, используя которое можно наиболее точно и правильно прийти к нужному решению. Его реализация связана с разработкой адекватной действительности модели, учитывающей достаточное количество существенных и различных по своей природе факторов, влияющих на конечный результат.

Модели по характеру отображения в них реальных процессов подразделяются на аналитические и имитационные.

В аналитических моделях информация об исследуемых процессах представляется в обобщенном виде, т.е. в виде формул, систем уравнений и других математических соотношений.

В имитационных моделях исследуемый процесс в рамках его математического описания воспроизводится с сохранением временной и логической структуры, соответствующей реальной действительности.

В ряде случаев может быть использован численный метод исследования. Применение данного метода обусловлено интенсивным внедрением в практику научных исследований современных информационных технологий. При использовании обычных численных методов первоначально математическая модель исследуемого процесса преобразуется в систему уравнений, допускающих численное решение. При этом следует иметь в виду, что численный метод по своей логической структуре весьма далек как от математической модели, так и от процесса-оригинала и обусловлен, скорее, типом тех уравнений, к которым удалось привести первоначальную математическую модель.

В последнее время бурное развитие получил метод, основанный на теории нечетких множеств, позволяющий количественно описать имеющиеся неопределенности. Данный метод позволяет учесть неточности информации в виде множеств более или менее возможных значений, что согласуется с методологией интервального анализа.

Следует отметить, что ни один из этих методов не является идеальным с точки зрения адекватного отображения реальных процессов. Каждому из них присущи свои специфические особенности, от которых зависит сфера их активного применения при решении различных задач. Поэтому кратко рассмотрим возможности каждого из перечисленных выше методов.

Наиболее распространенными методами исследований являются аналитические методы, обладающие рядом положительных свойств: получаемые при аналитическом решении зависимости не привязаны к определенным числовым значениям параметров исследуемого процесса; использование аналитических методов позволяет решать не только задачу анализа, но и находить оптимальные решения, делать общие выводы относительно влияния на конечные результаты тех или иных факторов, т.е. решать задачу синтеза.

Однако воспользоваться аналитическим исследованием удается сравнительно редко, так как преобразование математической модели в систему уравнений, допускающую эффективное решение, является трудной задачей, а для процессов, которые происходят в условиях влияния неопределенных факторов, эти трудности часто оказываются непреодолимыми.

Трудности в применении аналитических методов исследования могут быть преодолены путем имитационного моделирования.

Наиболее существенные преимущества имитационных моделей [Вентцель Е.С, 1972]:

§ простота построения, поскольку целью моделирования в данном случае является, по возможности, точное воспроизведение данного процесса;

§ наглядное представление результатов исследования и, как следствие, простота перехода от моделирования к практическим рекомендациям.

Имитационное моделирование наиболее целесообразно в тех случаях, когда:

§ не существует законченной математической постановки задачи, или еще не разработаны достаточно эффективные методы решения сформулированной задачи;

§ аналитические методы имеются, но математические процедуры при их использовании очень сложны и трудоемки;

§ кроме количественной оценки определенных параметров желательно осуществить наблюдение за ходом процесса в течение определенного времени.

Имитационное моделирование является мощным инструментом исследования процессов, которые протекают под воздействием большого числа случайных факторов и требуют принятия решения в условиях риска и неопределенности. При использовании имитационного моделирования искомые величины определяются как средние значения по данным большого числа реализаций данного процесса.

Решение задачи с использованием численных моделей, как правило, подразумевает использование исходных аналитических выражений, решение которых в явном виде либо слишком сложно, либо невозможно вообще. Однако содержание работы при применении численных моделей остается, в основном, таким же, что и при использовании аналитических моделей. Разница заключается лишь в том, что после преобразования математической модели в систему уравнений, допускающую эффективное решение задачи (вручную или с использованием вычислительной техники) – производят расчет, результатом которого служат таблицы значений искомых величин для конечного набора параметров, начальных условий или времени.

Использование аппарата теории нечетких множеств заключается в следующем. Вначале на основе известных методов теории вероятностей и исследования операций (экспертных оценок, статистических данных, интервальных оценок и др.) строится функция принадлежности неизвестных параметров нечеткому множеству. Затем, используя нечеткие теоретико-множественные операции и логические связки, делают приближенные выводы.

Следует еще раз подчеркнуть, что ни одна из рассмотренных моделей не является идеальной с точки зрения ее разрешающей способности. Они взаимно дополняют и обогащают друг друга. Поэтому в процессе выработки решения целесообразно, по возможности, применение не одной, а нескольких из рассмотренных моделей.

Существенным моментом, влияющим на принятие решения, является определение показателей эффективности и их обоснование.

Под показателем эффективности понимается числовая характеристика, которая позволяет оценить степень достижения поставленной цели. На практике всегда возникают трудности в выборе того или иного показателя эффективности, т.к. он должен удовлетворять следующим требованиям [Вентцель Е.С., 1972]:

ü соответствовать поставленной цели и иметь ясный физический смысл;

ü быть универсальным, т.е. способным учитывать все особенности реальных процессов;

ü быть достаточно чувствительным к изменению параметров, влияющих на решение задачи, и существовать для всех возможных вариантов их изменений.

Будем в дальнейшем обозначать показатель эффективности буквой R.

Рассмотрим ряд примеров, в каждом из которых показатель эффективности R выбран в интересах достижения определенной цели [Вентцель Е.С., 1972].

1. Рассматривается работа промышленного предприятия под углом зрения его рентабельности, причем проводится ряд мер с целью повышения этой рентабельности. Показатель эффективности – прибыль (или средняя прибыль), приносимая предприятием за год.

2. Ремонтная мастерская занимается обслуживанием машин; ее рентабельность определяется количеством машин, обслуживаемых в течение дня. Показатель эффективности – среднее число машин, обслуженных за день («среднее» потому, что фактическое число случайно).

3. Проводится борьба за экономию средств при производстве определенного вида товаров. Показатель эффективности – количество (или среднее количество) сэкономленных средств.

Наряду с определением показателей эффективности возникает необходимость определения критерия (правила) принятия решения. При этом большинство задач решаются как однокритериальные, т.е. используется максимум или минимум одного показателя эффективности (будем обозначать такой показатель R^*). Однако зачастую для решения задачи возникает необходимость использования не одного, а нескольких показателей эффективности. Такие задачи относятся к классу многокритериальных задач.

В настоящее время методы решения многокритериальных задач недостаточно разработаны. Поэтому на практике чаще всего данные задачи сводятся к однокритериальным. Основными методами решения данного типа задач являются:

ü метод выбора главного показателя;

ü метод выбора обобщенного показателя;

ü метод лексикографического выбора.

В процессе принятия решений необходимо также учитывать информационные ситуации, в которых принимается то или иное решение. При этом различают три основных типа информационных ситуаций [Вентцель Е.С., 1972]:

1. Принятие решения в условиях определенности.

и условия характеризуются наличием однозначной, детерминированной связи между принятым решением и полученным результатом. В этом случае показатель эффективности и ограничения зависят только от стратегий оперирующей стороны S = {s_i}, i = 1,n и фиксированных детерминированных факторов (вектор Д).

2. Принятие решения в условиях риска.

В этих условиях каждая стратегия оперирующей стороны может привести к одному из множества возможных исходов, причем каждый исход имеет определенную вероятность появления. Значения показателей эффективности в этом случае зависит, кроме стратегий оперирующей стороны и детерминированных факторов Д, также и от случайных факторов с известными законами распределения (вектор Ψ).

3. Принятие решений в условиях неопределенности.

В данном случае показатель эффективности зависит кроме стратегий оперирующей стороны и фиксированных параметров Д также от случайных факторов Ψ с полностью неизвестными законами распределения или неопределенных факторов, для которых известно лишь множество возможных значений. В результате влияния неопределенных факторов каждая стратегия оперирующей стороны оказывается связанной с множеством возможных исходов, вероятности которых либо неизвестны, либо известны с недостаточной для принятия решения точности, либо вовсе не имеют смысла.

В свою очередь, принятие решений в условиях неопределенности в зависимости от типа неопределенности подразделяют на [Вентцель Е.С., 1972]:

Ø конфликтные, в которых неопределенность создается за счет недостаточного знания поведения активного, «разумного» противника;

Ø принятие решений в условиях неизвестного состояния «природы», в которых неопределенность создается за счет недостаточной изученности всех обстоятельств в условиях которых приходится принимать решения, т.е. «природы», под которой понимается объективная действительность, поведение которой неизвестно, но, во всяком случае, не злонамеренно.

В этом случае, в зависимости от информационной ситуации, возможно применение нескольких критериев. Так, в условиях определенности целесообразно использовать критерий максимума результата; при известных априорных вероятностях развития событий P(v), v= 1,V целесообразно использовать критерий максимума математического ожидания выигрыша. Когда все возможные варианты развития событий равновероятны, целесообразно использовать критерий недостаточного основания Бернулли-Лапласа. При отсутствии какой-либо объективной информации о случайных факторах или когда известно лишь множество их возможных значений, целесообразно использовать критерии Вальда, Гурвица, Сэвиджа или же применять теорию антагонистических матричных игр двух лиц с нулевой суммой. В случае же, когда варианты развития событий характеризуются нечетким множеством, то, в зависимости от ситуации, можно применять все перечисленные выше критерии с учетом принадлежности вариантов действий нечеткому множеству.

Кроме того, необходимо учитывать предпочтения лица, принимающего решения, совокупности его представлений о степени достижения поставленной цели, достоинствах и недостатках сравниваемых решений.

Критерии принятия решений с учетом информационных ситуаций представлены в таблице 10, а алгоритм выбора критерия принятия решения приведен на рис. 132. При этом, с формальной точки зрения, целесообразно принимать решение исходя из рекомендаций большего числа из используемых критериев. Если же различные критерии дают различные рекомендации по принятию решения, необходим углубленный анализ полученных результатов и использование практического опыта лиц, ответственных за принятие решения.

Таблица 10

 

Критерии принятия решения при различных информационных ситуациях

 

№ п/п	Информационная ситуация	Критерии принятия решений
Наименование критерия	Математическое выражение
1.	Определенность	Максимум результата	R* = max R s S
2.	Известны априорные вероятности развития событий P(v), v= 1,V	Максимум математического ожидания выигрыша	V R* = max ∑ R P(v) s S v=1
3.	Все возможные варианты развития событий равновероятны	Критерий недостаточного основания Бернулли-Лапласса	V R* = max 1/V ∑ R s S v=1
4.	Нельзя что-либо сказать о возможных вариантах развития событий	Критерий крайнего пессимизма	R* = max min R s S v V
Критерий крайнего оптимизма	R* = max max R s S v V
Критерий пессимизма-оптимизма (Гурвица)	R*=α min R+(1-α) max R v V v V (0 ≤ α ≤ 1)
Критерий минимаксного риска (Сэвиджа)	R* = max min (max R–R) s S v V s S

 

Рассмотрим проблему принятия решения в условиях неопределенности, когда результат оценивается с помощью функции принадлежности.

Рассмотрим простое дерево решений (рис. 133).

Необходимо принять решение, описываемое лотереями А и В, которые зависят от различных случайных событий. В лотерее А имеется вероятность p получить выгоду u₁ и вероятность 1 - p потерпеть убытки u₂. Соответственно в лотерее В имеется вероятность q получить выгоду v₁ и вероятность 1 - q потерпеть убытки v₂. Используя правила теории ожидаемой полезности, выбирают эту лотерею тогда и только тогда, когда [Борисов А.Н. и др., 1990]:

pu₁ + (1 - p)u₂ > qv₁ + (1 - q)v₂.

Пусть μ_А(а), μ_B(b) – степени принадлежности a, b множествам ожидаемых полезностей лотерей A и B, тогда согласно принципу обобщения [Борисов А.Н. и др., 1990]:

μ_А(а) = max (min(μ_p(p), μ_А1(u₁), μ_А2(u₂))), (1)

pu₁ + (1 - p)u₂

 

μ_А(а) = max (min(μ_Q(q), μ_B1(v₁), μ_B2(v₂))), (2)

qv₁ + (1 -q)v₂

 

где μ_p(p) – степень принадлежности p множеству возможных значений для этой вероятности.

Чтобы оценить степень предпочтительности А относительно В, используют следующий метод [Борисов А.Н. и др., 1990]:

μ(X→Y) = μ(-X U Y) = max (1 - μ(X), μ(Y)), (3)

где X и Y есть степени истинности высказывания «или не X, или Y».

В более общей постановке, если X и Y есть нечеткие отношения между двумя переменными a и b, представленные функциями принадлежности μ_X(а,b), μ_Y(а,b), то

μ(X→Y) = min (1 – μ_X(a,b), μ_Y(a,b)), (4)

a,b

Пусть Y – утверждение о предпочтении:

Y₁: «А строго предпочтительнее В»,

1, если a > b;

μ_Y1(a,b) =

0, если а ≤ b;

 

Y₂: «А в некоторой степени предпочтительнее В»,

1, если a ≥ (b + 0,2);

μ_Y2(a,b) = 0,5 + 2,5 (a – b), если (b + 0,2) ≥ a ≥ (b – 0,2);

0, если а ≤ (b – 0,2),

 

где μ_X(a,b) – степень, с которой а принадлежит множеству ожидаемых полезностей для лотереи А и b – множеству для лотереи В. Из этого следует, что

μ_X(а,b) = min(μ_A(a), μ_B(b₁)).

 

При таких предпочтениях можно использовать (4) для вычисления степени предпочтения:

μ(X→Y) = min [max (1 – μ_X(a,b), μ_Y(a,b))] =

a,b

= min [max (1 – min (μ_A(a), μ_B(b)), μ_Y1(a,b))].

a,b

Для а > b μ_Y1(a,b) = 1. Если существует пара (а,b), для которой аргумент min

a,b

меньше единицы, то а ≤ b. Таким образом,

μ(X→Y) = min [max (1 – (μ_А(a), μ_В)) =

a≤b

= 1 - max (min (μ_A(a), μ_B(b))).

a,b

Можно показать, что максимум имеет место в граничной точке при а = b. Следовательно,

μ(X→Y) = 1 - max (min (μ_A(a), μ_B(a))).

Общая схема многокритериальной модели выработки решения представлена на рис. 134.

 

Метод сетевого планирования и управления

 

Процесс управления значительно облегчается, если управляющую систему представить в виде сетевой модели. Под такой моделью следует понимать сетевой график, составленный таким образом, чтобы он отражал при заданных условиях весь ход событий вплоть до достижения конечной цели. При этом, естественно, составленная модель должна быть адекватной моделируемой системе, т.е. должна наиболее полно отражать ее состояние и все последующие изменения. Правильное построение модели обеспечивает успех планирования и является одной из самых сложных задач моделирования. Сетевая модель (граф) – наиболее удобная и универсальная модель. Она дает обозримую информацию о ходе выполнения процессов (работ).

Система сетевого планирования и управления (СПУ) охватывает три основных этапа планирования и управления. На первом этапе производится разработка первоначального сетевого графика, на втором – его оптимизация и приведение в соответствие с заданными ограничениями, на третьем этапе осуществляется оперативное управление и систематический контроль за ходом выполнения плана.

Сетевой график состоит из двух типов основных элементов: работ и событий [Абчук В.А. и др., 1972].

Работа представляет собой выполнение некоторого мероприятия (например, погрузка или транспортировка груза). Этот элемент сетевого графика связан с затратой времени и расходом ресурсов. Поэтому работа всегда имеет начало и конец. Кроме того, каждая работа должна иметь определение, раскрывающая ее содержание (например, оформление документов на груз, подготовка транспортного средства и т.д.).

На сетевом графике работа изображается стрелкой, над которой проставляется ее продолжительность или затрачиваемые ресурсы или то и другое одновременно (рис. 135 – [Абчук В.А. и др., 1972]). Работа, отражающая только зависимость одного мероприятия от другого, называется фиктивной работой. Такая работа имеет нулевую продолжительность (или нулевой расход ресурсов) и обозначается пунктирной стрелкой.

Начальная и конечная точки работы, т.е. начало и окончание некоторого мероприятия (например, окончание погрузки), называются событиями.

Следовательно, событие в отличие от работы не является процессом и не сопровождается никакими затратами времени или ресурсов.

Событие, следующее непосредственно за данной работой, называется последующим событием по отношению к рассматриваемой работе. Событие, непосредственно предшествующее рассматриваемой работе, называется предшествующим.

Наименование предшествующий и последующий относятся также и к работам. Каждая входящая в данное событие работа считается предшествующей каждой выходящей работе, и, наоборот, каждая выходящая работа считается последующей для каждой входящей.

Из определения отношения «предшествующий – последующий» вытекают свойства сетевого графика.

Во-первых, ни одно событие не может произойти до тех пор, пока не будут закончены все входящие в него работы. Во-вторых, ни одна работа, выходящая из данного события, не может начаться до тех пор, пока не произойдет данное событие. В-третьих, ни одна работа, выходящая из данного события, не может начаться до тех пор, пока не произойдет данное событие. И, наконец, ни одна последующая работа не может начаться раньше, чем будут закончены все предшествующие ей.

Событие обозначается кружком с цифрой внутри, определяющей его номер (рис. 135).

Из всех событий, входящих в планируемый процесс, можно выделить два специфических – событие начала процесса, получившее название исходного события, которому присваивается нулевой номер, и событие конца процесса (завершающее событие), которому присваивается последний номер. Остальные события нумеруются так, чтобы номер предыдущего события был меньше номера последующего.

Для нумерации событий применяется следующий способ [Абчук В.А. и др., 1972]. Вычеркиваются все работы, выходящие из события № 0, и просматриваются все события, в которых оканчиваются эти вычеркнутые работы. Среди просмотренных находятся события, которые не имеют входящих в них работ (за исключением уже вычеркнутых). Они называются событиями первого ранга и обозначаются числами натурального ряда, начиная с единицы (на рис. 135 это событие № 1). Затем вычеркиваются все работы, выходящие из событий первого ранга, и среди них находятся события, не имеющие входящих работ (кроме вычеркнутых). Это – события второго ранга, которые нумеруются следующими числами натурального ряда (например, 2 и 3 на рис. 135). Проделав таким способом k-1 шаг, определяют события (k-1)-го ранга. Затем, вычеркивая все работы, выходящие из событий (k-1)-го ранга, и просматривая события, в которых эти работы заканчиваются, выбирают события, не имеющие ни одной входящей в них работы (кроме вычеркнутых). Это события k-го ранга, и нумеруются они последовательными числами натурального ряда, начиная с наименьшего, еще не использованного числа при предыдущей нумерации на (k-1)-м шаге.

Сетевой график содержит конечное число событий. Поскольку в процессе вычеркивания движение осуществляется в направлении стрелок (работ), поэтому никакое предшествующее событие не может получить номер, больший, чем любое последующее; всегда найдется хотя бы одно событие соответствующего ранга, и все события получат номера за конечное число шагов.

Работа обычно кодируется номерами событий, между которыми они заключены, т.е. парой (i, j), где i – номер предшествующего события, j – номер последующего события.

В одно и то же событие могут входить (выходить) одна или несколько работ. Поэтому свершение события зависит от завершения самой длительной из всех входящих в него работ.

Взаимосвязь между работами определяется тем, что начало последующей работы обусловлено окончанием предыдущей. Отсюда следует, что нет работ, не связанных своим началом и окончанием с другими работами через события.

Последовательные работы и события формируют цепочки (пути), которые ведут от исходного к завершающему событию сетевого графика. Например, путь 0-1-2-3-4-5-6-7 сетевого графика, показанного на рис. 135, включает в себя события 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 и работы (0-1), (1-2), (2-5), (5-6), (6-7).

На основании изложенного можно сказать, что ранг события – это максимальное число отдельных работ, входящих в какой-либо из путей, ведущих из нулевого (исходного) события в данное. Так, события первого ранга не имеют путей, состоящих более чем из одной работы, ведущих в них из 0 (например, событие 1 на рис. 135). События второго ранга связаны с 0 путями, которые состоят не более чем из двух работ, причем для каждого события второго ранга хоть один такой путь обязательно существует. Например, на рис. 135 событие 4 – событие третьего ранга, так как пути, ведущие в это событие из 0, включают только три работы – (0-1), (1-3) и (3-4) или (0-1), (1-2) и (2-4).

Построенный таким образом сетевой график в терминах теории графов представляет собой направленный граф.

Графом называется множество точек, соединенных линиями. Точки, называемые вершинами графа, обозначают объекты или события, а линии, называемые дугами или ребрами графа, - отношения между ними.

Граф называется несвязным, если множество его вершин можно разделить на два подмножества таким образом, чтобы не существовала ни одна дуга, соединяющая вершины разных подмножеств. В противном случае граф называют связным. Каждой дуге графа может быть задано направление, указанное стрелкой. Такой граф называется ориентированным. При этом если каждая пара вершин соединена парой противоположно ориентированных дуг, то такой граф называется симметричным. Если граф ориентирован, но не содержит кратных дуг и является связным, то он называется асимметричным.

Последовательность ориентированных дуг, начало каждой последующей из которых совпадает с концом предыдущей, называется путем на графе. Вершина асимметричного графа, в которую не входит ни одна дуга, называется истоком, а вершина, из которой не выходит ни одна дуга, называется стоком. Замкнутый путь на ориентированном графе называется циклом.

Граф, не содержащий циклов и имеющий только один исток и только один сток, называется направленным графом.

Таким образом, сетевой график есть ориентированный связный асимметрический граф с одним истоком, одним стоком и без циклов, т.е. направленный граф. При этом вершинами графа служат события сетевого графика, а дугами (ребрами) – работы сетевого графика.

Продолжительность работы представляет собой (в терминах теории графа) длину дуги. Следовательно, длина пути Т – это сумма длин всех дуг, образующих данный путь, т.е. [Абчук В.А. и др., 1972]

Т = Σ t_i,j,

t_i,j Т

 

где символом t_i,j обозначается дуга, которая соединяет вершины i и j и направлена от вершины i к вершине j.

Обычно сетевой график строится от исходного события к завершающему, слева направо, т.е. каждое последующее событие изображается несколько правее предыдущего.

После построения сетевого графика проверяется отсутствие работ, имеющих одинаковые коды. При наличии таких работ вводятся дополнительные события и фиктивные работы. Кроме того, сетевой график должен содержать только одно исходное событие и только одно завершающее событие. Если эти условия не выполнены, то необходимо добавить еще одно исходное событие и соединить его стрелками с имеющимися несколькими начальными событиями или добавить еще одно конечное событие, к которому проводят стрелки от нескольких имеющихся конечных событий.

Сетевой график не должен иметь так называемых циклов, т.е. таких путей, в которых конец последней работы совпадает с началом первой работы. Сетевой график, имеющий хотя бы один цикл, не может быть реализован, так как ни одна из работ, входящих в такой цикл, никогда не может начаться.

Сетевой график дает возможность оценить значимость тех или иных мероприятий планируемого процесса и ответить на вопрос: от каких мероприятий зависит и от каких не зависит выполнение любого мероприятия? Более того, с помощью сетевого графика можно установить, какие мероприятия необходимо выполнить в первую очередь, какие можно выполнять параллельно, а какие - нельзя. Однако этого недостаточно для выработки решений. Как правило, нужно оценить также ожидаемую продолжительность выполнения планируемого процесса. Для этого проводится анализ сетевой модели.

Параметрами сетевой модели являются [Абчук В.А. и др., 1972]:

§ наиболее раннее возможное время наступления j-го события – T_p(j);

§ самое позднее допустимое время наступления i-го события – T_п(i);

§ резерв времени данного события - R_i;

§ полный резерв времени работы (i, j) - r_п(i, j);

§ свободный резерв времени работы (i, j) – r_с(i, j).

Наиболее раннее возможное время наступления j-го события определяется формулой [Абчук В.А. и др., 1972]:

T_p(j) = max {T_p(i) + t_ij}, (1)

i S^-1_j

 

где t_ij – продолжительность (i, j)-й работы;

S^-1_j множество событий, предшествующих j-му событию.

Вычисления по формуле (1) выполняются шаг за шагом, двигаясь в порядке нумерации событий. Например, для сетевого графика, приведенного на рис. 135, применяя формулу (1), получим [Абчук В.А. и др., 1972]:

T_p(0) = 0;

T_p(1) = T_p(0) + 4 = 4;

T_p(2) = T_p(1) + 8 = 12;

T_p(3) = T_p(1) + 4 = 8;

T_p(4) = max [(T_p(2) + 12), (T_p(3) + 24)] = 32;

T_p(5) = max [(T_p(2) + 4), (T_p(4) + 4)] = 36;

T_p(6) = max [(T_p(4) + 4), (T_p(5) + 8)] = 44;

T_p(7) = T_p(6) + 4 = 48.

Самое позднее допустимое время наступления события i определяют с помощью аналогичной формулы, но обращаясь не к предшествующим, а к последующим событиям, т.е. [Абчук В.А. и др., 1972]

T_п(i) = max {T_п(j) - t_ij}, (2)

j S_i

 

где S_i – множество событий, следующих за i-м событием.

Для определения T_п(i) по формуле (2) надо двигаться от конечного события n к исходному событию 0, при этом T_п(n) = T_p(n). Для примера обратимся к сетевому графику, показанному на рис. 135.

T_п(7) = 48;

T_п(6) = T_п(7) - 4 = 44;

T_п(5) = T_п(6) - 8 = 36;

T_п(4) = min [(T_п(6) - 4), (T_п(5) - 4)] = 32;

T_п(3) = T_п(4) - 24 = 8;

T_п(2) = min [(T_п(4) - 12), (T_п(5) - 4)] = 20;

T_п(1) = min [(T_п(3) - 4), (T_п(2) - 8)] = 4;

T_п(0) = T_п(1) - 4 = 0.

Резервом времени данного события называется разность между T_п(i) и T_р(i), которая вычисляется по формуле [Абчук В.А. и др., 1972]

R_i = T_п(i) - T_р(i) (3)

В нашем примере R₀ = 0; R₁ = 0; R₂ = 8; R₃ = 0; R₄ = 0; R₅ = 0; R₆ = 0; R₇ = 0.

Из примера видно, что резервы времени всех событий, кроме события 2, равны нулю.

Полный резерв времени работы (i, j) вычисляется по формуле [Абчук В.А. и др., 1972]

r_п(i, j) = T_п(j) - T_р(i) - t_ij. (4)

Свободный резерв времени работы (i, j) вычисляется по формуле [Абчук В.А. и др., 1972]

r_с(i, j) = T_p(j) - T_п(i) - t_ij. (5)

В примере полные резервы времени соответственно равны:

r_п(0,1) = 4 – 0 - 4 = 0; r_п(2,4) = 32 – 12 - 12 = 8;

r_п(1,2) = 20 – 4 - 8 = 8; r_п(4,5) = 36 – 32 - 4 = 0;

r_п(2,5) = 36 – 12 - 4 = 20; r_п(1,3) = 8 – 4 - 4 = 0;

r_п(5,6) = 44 – 36 - 8 = 0; r_п(3,4) = 32 – 8 - 24 = 0;

r_п(6,7) = 48 – 44 - 4 = 0; r_п(4,6) = 44 – 32 - 4 = 8.

Свободные резервы этих же работ равны:

r_с(0,1) = 4 – 0 - 4 = 0; r_c(2,4) = 32 – 20 - 12 = 0;

r_c(1,2) = 12 – 4 - 8 = 0; r_c(4,5) = 36 – 32 - 4 = 0;

r_c(2,5) = 36 – 20 - 4 = 12; r_c(1,3) = 8 – 4 - 4 = 0;

r_c(5,6) = 44 – 36 - 8 = 0; r_c(3,4) = 32 – 8 - 24 = 0;

r_c(6,7) = 48 – 44 - 4 = 0; r_c(4,6) = 44 – 32 - 4 = 8.

Полный путь, суммарная продолжительность работ на котором является максимальной, называется критическим, т.е. это самый длинный по времени путь в сетевом графике от исходного до завершающего события. Продолжительность критического пути определяет минимально необходимое время, объективно потребное для выполнения всего комплекса мероприятий, входящих в планируемый процесс. За время, меньшее времени критического пути, весь комплекс мероприятий свершиться не может. Поэтому любая задержка на работах критического пути увеличивает время выполнения всего процесса.

События, через которые проходит критический путь, называются критическими. Работы, входящие в состав критического пути, также называются критическими.

Задержка в выполнении работы (i, j) на величину ∆t_ij > r_п(i, j) приводит к задержке в наступлении завершающего события на величину ∆t_ij - r_п(i, j).

Задержка в выполнении работы на величину ∆t_ij ≤ r_п(i, j) вообще не повлияет ни на один срок, определенный данным сетевым графиком. Следовательно, у критических работ и полные, и свободные резервы времени равны нулю. Вообще говоря, равенство нулю полного резервного времени работы является необходимым и достаточным признаком того, что данная работа критическая. Напротив, свободный резерв времени может быть равным нулю и у некритических работ.

Таким образом, критический путь находится посредством определения работ, полные резервы времени которых равны нулю. В приведенном примере критическим путем является 0-1-3-4-5-6-7.

Длина критического пути для условий приведенного выше примера равна

T_кр = t_0,1 + t_1,3 + t_3,4 + t_4,5 + t_5,6 + t_6,7 = 48.

События и работы, лежащие не на критических путях (такие пути называются ненапряженными), обладают резервами времени. Выявление этих резервов наравне с определением критического пути составляет основное содержание анализа сетевой модели. С работ и путей, имеющих резервы времени, можно снять ресурсы и направить их на выполнение работ, лежащих на критических путях. Этим самым можно добиться сокращения сроков проведения критических работ, а, следовательно, и всей работы в целом, используя только внутренние резервы.

Полным резервом времени ненапряженного пути называется разница между его длиной и длиной критического пути. Полный резерв ненапряженного пути показывает, на сколько в сумме может быть увеличена продолжительность всех работ этого пути без изменения срока всего процесса в целом. Однако при этом ненапряженный и критический пути не должны пересекаться. Если они пересекаются, то полный резерв времени определяется самым длительным участком напряженного пути, заключенным между соответствующими парами событий критического пути.

Адекватность сетевой модели отображаемому реальному процессу и соответственно оперативность руководства процессом во многом зависят от правильности временных оценок выполняемых работ. Если, например, продолжительность работ будет занижена, то это вызывает поспешность в подготовке всей работы в целом, а завышение сроков выполнения работ приводит к потере времени.

Для определения временных и других характеристик, необходимых для оценки длительности работ или расхода ресурсов, могут использоваться статистические данные, полученные опытным путем. Если такие данные отсутствуют, то исполнителями сетевого графика даются три оценки времени: оптимистическая (t_min), пессимистическая (t_max) и наиболее вероятная (t_нв).

Оптимистическая оценка – продолжительность работы в наиболее благоприятных условиях.

Пессимистическая оценка – продолжительность работы при самом неблагоприятном стечении обстоятельств.

Наиболее вероятная оценка – продолжительность работы, при условии, что не возникает никаких неожиданных трудностей.

На основании этих оценок вычисляются оценки t_ij и их дисперсии σ²_ij по следующим эмпирическим формулам [Зайденман И.А., Маргулис Д.Д., 1967]:

t_ij = (t_min + 4t_нв + t_max)/6 (6)

σ²_ij = [(t_max – t_min)/6]² (7)

В этом случае все расчеты проводятся так, как было рассмотрено выше. Затем рассчитываются вероятности того, что полученные параметры сетевой модели (ранние сроки, поздние сроки, резервы и т.д.) действительно будут находиться в тех или иных числовых границах. При этом вводится допущение, что продолжительность двух любых работ являются независимыми величинами, а величина t_ij, определенная формулой (6) принимается равной математическому ожиданию продолжительности данной работы (ij). Тогда математическое ожидание любого параметра сетевой модели, являющегося суммой величин вида t_ij, есть сумма математических ожиданий слагаемых, т.е. Σ t_ij (точнее это оценка снизу, так как все параметры сетевой модели носят, так сказать, экстремальный характер). Следовательно, дисперсия параметра будет Σσ²_ij.

Управление на основе сетевого графика осуществляют либо путем изменения общего времени выполнения работ сети, либо путем осуществления работ при ограниченных трудовых ресурсах. В первом случае управление заключается в изменении структуры сетевого графика для сокращения общей продолжительности работ критического пути с тем, чтобы T_кр ≤ T_д (где T_д – заданный (директивный) срок выполнения программы работ).

Существует несколько способов сокращения длины пути сетевого графика:

§ уточнение временных оценок работ;

§ перевод последовательных работ в параллельные;

§ сокращение времени выполнения критических работ за счет совершенствования организации и технологии их производства;

§ привлечение дополнительных ресурсов для выполнения критических работ;

§ перераспределение ресурсов с некритических на критические работы, выполнение их в две или три смены.

При ограничении трудовых ресурсов управлении заключается в решении задач минимизации срока выполнения программы при заданных ресурсах. Оптимизируют исходный сетевой график, параметры которого и продолжительность критического пути рассчитаны на неограниченные ресурсы.

Все изменения, производимые на сетевом графике фиксируют, просчитывают на ЭВМ и находят оптимальный вариант.

Принятый оптимальный вариант сетевого графика является руководящим документом, по которому осуществляется контроль и управление ходом выполнения заданной программы работ. При этом главной задачей является обеспечение осуществления программы в предусмотренный графиком срок, несмотря на встречающиеся непредвиденные отклонения в сроках выполнения отдельных работ.

Эффективность управления по сетевым графикам во многом зависит от своевременного поступления достоверной информации о фактических сроках окончания работ, а также от правильного прогнозирования сроков выполнения последующих работ, находящихся на критических и подкритических путях.

 

Методы экспертных оценок

 

Для успешного решения многоплановых и многоаспектных задач требуется обращение к опыту, знаниям и интуиции широкого круга квалифицированных специалистов. Проведение экспертного опроса нужно рассматривать как метод, с помощью которого можно объединить суждения специалистов в различных частных областях, чтобы получить обобщенные результаты, учитывающие отдельные мнения.

Методы экспертных оценок – это способы принятия решения, использующие обобщенный человеческий опыт («коллективную мудрость»).

Методы экспертных оценок подразделяют следующим образом [Тараканов В.К., 1974]:

1. По принципу использования экспертов:

§ с использованием ответов отдельных экспертов;

§ с использованием ответов группы экспертов.

2. По принципу подбора экспертов в группы:

§ с использованием объектового принципа;

§ с использованием принципа специализации.

3. По области применения методов:

§ интуитивно-логические;

§ логико-математические.

4. По способам организации работы экспертов:

§ непосредственный анализ вопросов экспертов в явном виде;

§ метод анкетного опроса;

§ метод комиссий;

§ метод «мозговой атаки».

5. По способам проведения экспертного опроса и получения результатов:

§ метод анкетирования и его разновидности;

§ метод «экспертная оценка – точный метод»;

§ метод экспертной оценки качественных параметров;

§ метод экспертной оценки количественных параметров.

6. По способам обработки экспертных данных:

§ метод ранжировки;

§ метод парных сравнений;

§ метод шкальных оценок;

§ оценка относительной важности;

§ оценка времени свершения определенного события;

§ оценка удельного веса различных видов решений;

§ присоединение к одному из альтернативных суждений.

Отдельные эксперты могут быть использованы в качестве:

ü полезного источника информации при решении ряда вопросов;

ü советника при руководителе, принимающего решение;

ü лица, анализирующего данные;

ü разработчика сценариев.

Группы экспертов могут использоваться:

ü для коллективной работы «за круглым столом»;

ü для участия в оперативных играх;

ü для разработки сценариев;

ü для сбора данных методом анкетирования.

Кратко рассмотрим некоторые широко используемые методы экспертных оценок [Тараканов В.К., 1974].

Метод «развертки» проблем. Идея метода заключается в последовательном расчленении проблем некоторого уровня на подпроблемы, составляющие элементы следующего уровня. В результате такого последовательного расчленения формируется «развертка» подпроблем. При этом важно, чтобы соблюдалась причинно-следственная связь: проблемы низших уровней должны обусловливаться проблемами высших уровней. Причинно-следственная связь достигается многоэтапным целенаправленным экспертным опросом вплоть до полного согласования мнений экспертов, т.е. до полной стабилизации «развертки» проблем.

Метод «развертки» проблем предполагает использование групп экспертов. При формировании «развертки» проблем состав групп экспертов на каждом уровне формирования может меняться. Применение метода носит итеративный характер.

Метод свертки проблем. Идея метода заключается в последовательном сведении проблем низших уровней к проблемам более высоких уровней. В результате применения метода «свертки» проблем формируется проблема, решение которой необходимо в будущем. Применение данного метода предполагает использование групп экспертов и носит итеративный характер.

Метод сценариев. Этот полуаналитический метод применяется для описания вероятного развития событий в будущем, чтобы на этом фоне прогнозировать решения, если события сложатся по тому или иному варианту сценария, т.е. он применяется для создания искусственных ситуаций в том случае, когда отсутствую реальные факты.

Сценарий начинается с рассмотрения существующего положения в мире, затем последовательно, шаг за шагом, он показывает один или несколько вариантов возможного развития положения в будущем и каким образом может возникнуть та или иная ситуация. Как правило, «сценарии» разрабатываются для крупных проблем, но в отдельных случаях сценарий может использоваться для исследования какого-либо элемента проблемы. Сценарий особенно удобен для одновременного рассмотрения нескольких аспектов проблемы и позволяет рассматривать ситуации с учетом широкого диапазона возможностей. Он заставляет прогнозиста учитывать детали и динамику, освещать взаимную связь многих факторов, наглядно в упрощенном виде представлять сложную действительность, притом многовариантную. Сценарий стимулирует и дисциплинирует мышление прогнозиста. При использовании относительно сложного сценария лицо, ведущее анализ, может учесть развитие событий, включая и побочные явления, зависящие от выбранного решения.

Метод сценариев, как правило, базируется на анализе результатов, получаемых методом «развертки» («свертки») проблем. В результате такого анализа выбирается один опорный сценарий или их минимально возможное число. Эти сценарии обладают универсальностью для множества вариантов развития событий в будущем. Сценарий может представлять собой результат труда отдельного эксперта либо группы экспертов.

Большое значение в практическом использовании сценариев имеет метод оперативных игр.

Метод оперативных игр. Оперативные игры являются частным случаем моделирования. Модель отражает реальную ситуацию, в которой участвуют конфликтующие стороны. Эксперты в оперативных играх не только дают оценку ситуаций, но и принимают решения, играя роль лиц, принимающих подобные решения в реальном конфликте; они вынуждены с гораздо большим вниманием, чем в рассмотренных ранее методах, учитывать обстановку и все действующие факторы.

Важно, что в ходе оперативной игры проверяется целесообразность и правильность принятия решений на отдельных ее этапах. С этой точки зрения желательно участие в игре не только экспертов, но и лиц, ответственных за принятие решений.

Опыт работы с имитационными моделями показывает, что они являются хорошим средством, которое побуждает участников исследований к эффективной взаимной связи, к более глубокому изучению существа проблемы путем использования точек зрения других людей, имеющих различные знания и опыт, и, кроме того, позволяют получить обобщенные взгляды на проблему в целом.

В игре могут быть представлены две или более сторон, интересы которых сталкиваются хотя бы частично. Решения принимаются по определенным правилам или по усмотрению участников игры. Формализованная структура оперативных игр построена так, что любое понятие или теория автоматически подвергается критическому разбору: игроки вынуждены активно играть свои роли, осуществлять специфические и конкретные действия в складывающихся ситуациях. При использовании игр необходимо учитывать их ограниченность, свойственную любым методам искусственного воспроизведения реальной обстановки.

Для проведения оперативных игр создается группа экспертов; каждый эксперт «играет» за одну из сторон и формулирует свои цели и задачи, не зная заранее решений своих «противников». Его решения вводятся в ЭВМ, которая и выдает результаты. Каждый из экспертов анализирует их с учетом действий другой стороны и формирует свою политику. Эти результаты снова вводятся в ЭВМ, которая рассчитывает результат, и т.д. При многократном «проигрывании» подобных ситуаций становится более или менее очевидным возможное развитие событий и может быть получена реалистическая оценка своих возможностей.

Перечисленные, эвристические методы при решении определенных задач целесообразно применять в совокупности. Например, для реализации какой-то проблемы в будущем методом «развертки» проблем следует рассматривать различные варианты ее решения. Метод сценариев позволяет из «развертки» проблем выбрать некоторые ветви как наиболее целесообразные, приводящие наилучшим образом к решению проблем, т.е. разрабатывается определенный сценарий. Правильность выбранного «сценария», очевидно, наиболее успешно может быть проверена методом оперативной игры.

Метод эвристических сетей. Данный метод основан на последовательном применении метода «развертки» («свертки») проблем с последующей оценкой элементов «развертки» методом экспертных оценок. В результате последовательного применения указанных методов формируется эвристическая сеть. Эта сеть характеризуется наличием критических и подкритических ветвей, а также, возможно, и наличием в ней незаконченных (тупиковых) ветвей, для которых не удалось сформулировать конечные проблемы (решение конечных проблем должно привести к решению основной проблемы). Эти обстоятельства требуют последующего анализа сети, как на содержательном уровне, так и с применением известного математического аппарата сетевого планирования и управления.

Метод «экспертная оценка - точный метод» является смешанным методом, когда вся информация или часть ее на входе математической модели определена методом экспертных оценок и дальнейшее решение задачи допускает применение точного метода.

Метод экспертной оценки количественных параметров применим к широкому классу задач, где параметры могут иметь количественную оценку.

Метод экспертной оценки качественных параметров заключается в том, что различные варианты качественных параметров не могут быть измерены, но можно измерить различие между ними. Отсюда вытекает возможность сопоставить с этими вариантами числа при условии, что парам различных вариантов будут соответствовать пары различных чисел. Это обстоятельство дает серьезное основание для того, чтобы применять некоторые методы исчисления, пригодные в случае количественных, а также качественных параметров.

Метод анкетирования и его разновидности. В настоящее время разработано много конкретных методик проведения экспертных оценок. К одной из методик, использующих коллектив компетентных специалистов, относится широко применяемый «метод комиссий». Его успех во многом зависит от подбора состава соответствующей комиссии и уровня организации её работы.

К числу подобных подходов относится и специальный метод организации творческой работы коллектива экспертов, называемый методом отнесенной оценки («мозговой атаки»). Сущность принятой здесь процедуры обсуждения состоит в том, что в ней периоды свободной творческой дискуссии отделены от этапа критической оценки полученной информации, а сама оценка производится в такой форме, что не связывает, а стимулирует дальнейшее творческое обсуждение вопросов.

Данный метод несколько устраняет недостатки «метода комиссий», но также имеет слабые стороны. Так, например, на мнение большинства специалистов могут оказать решающее влияние высказывания наиболее авторитетных или активных специалистов, что в значительной степени обесценивает проводимое мероприятие. С другой стороны, иногда сказывается психологическая черта: эксперт не стремится выделяться из среды большинства или, высказав свою точку зрения, старается отстаивать ее.

Одной из попыток разрешить эти проблемы является процедура заочного опроса экспертов с помощью специально разработанных анкет-вопросников.

Метод анкетирования можно считать одним из наиболее перспективных разрабатываемых подходов к решению проблем с социальным, политическим и военным содержанием. Данный метод можно применить для непосредственного использования суждений и интуиции экспертов в некоторой формализованной структуре. В этих случаях в зависимости от сложности, степени неопределенности, конкретных аспектов и динамики проблемы используют соответствующие методы или их сочетания.

Основное содержание метода анкетирования состоит в том, что эксперту предлагается анкета, в которой в виде вопросов ставятся прогнозируемые события (альтернативы, варианты) и условия, их характеризующие. Эксперт заполняет анкету лично, основываясь на своих знаниях, опыте, интуиции и приведенных в анкете условиях. Прогнозируемые события рассматриваются как случайные величины, отражением закона распределения которых являются индивидуальные мнения (оценки) экспертов. При этом считается, что эксперт способен дать количественную оценку некоторым характерным точкам распределения, исходя из которых строится математическая модель этой величины. Обработка экспертных данных ведется различными способами, в результате которых можно получить обобщенные мнения (оценки) и определить степень согласованности экспертных заключений.

Эксперты, входящие в состав различных организаций, объединяются в несколько групп, что позволяет упростить административное руководство работой. В каждой группе назначается исполнитель, несущий ответственность за организацию работы своей группы. Работу исполнителей можно организовать и иначе, т.е. разбить весь состав экспертов на функциональные группы по специальностям.

Метод анкетирования как упорядоченный и систематизированный процесс выявления в определенной последовательности мнений специалистов открывает реальные возможности для углубленного изучения тех проблем, к которым неприменимы другие методы исследования. Как источник получения информации, данный метод достаточно объективен, надежен и вполне пригоден, особенно в совокупности с другими методами.

Однако прежде чем приступить к проведению процедуры экспертного опроса, необходимо решить ряд важных задач, связанных с организацией и проведением коллективных экспертных оценок. Прежде всего, требуется разработать систематизированные методы непосредственного привлечения специалистов для решения поставленных задач. Эффективное использование группы экспертов связано, в частности, с постановкой и решением таких вопросов, как определение необходимого количества и состава экспертов, выбор рациональной схемы организации работы экспертов, оценка правильности решения поставленной перед ними задачи и т.д. Все эти вопросы должны решаться на этапе подготовки эксперимента, который предполагает использование группы экспертов.

Сложность проблемы, для которой осуществляется эмпирическое исследование, требует создания междисциплинной группы, в состав которой должны входить специалисты из различных областей. Это связано не только с тем, что учитываются самые различные факторы, не укладывающиеся в рамки одной дисциплины. Более важным является тот факт, что эти проблемы должны рассматриваться с различных точек зрения, например экономистом, социологом, политиком, математиком и др. Такой разносторонний подход к проблеме позволяет найти более качественное ее решение, так как в этом случае особое внимание будет уделено одновременному рассмотрению всех факторов, имеющих отношение к данному явлению.

При составлении анкеты исследователь должен четко представлять себе цель опроса, а также провести необходимую предварительную работу, включающую ознакомление с относящейся к проблеме литературой и сбором необходимой информации.

При наличии многоплановых вопросов, на которые необходимо получить ответы, целесообразно использовать поэтапный подход к решению задачи. Сущность его заключается в том, что все оцениваемые вопросы разбиваются на ряд специфических групп, объединяющихся в этапы. Эксперимент проводится по этапам в очередности, обеспечивающей использование результатов предыдущих этапов.

Под этапом понимается совокупность операций по сбору и обработке экспертных заключений (мнений и оценок), заканчивающаяся получением окончательного результата по определенной части проводимого эксперимента. Каждый этап проводится в несколько туров. Количество туров на каждом этапе определяется сложностью и количеством взаимосвязанных вопросов, а также необходимой степенью сходства экспертных заключений при получении окончательного результата по оцениваемому вопросу.

Под туром понимается цикл работ с экспертами, включающий постановку задачи экспертам, сбор и обработку мнений (оценок) экспертов. При анкетировании можно достигнуть непосредственного использования суждений и интуиции экспертов в некоторой формализованной структуре, что облегчает машинную обработку анкет и получение согласованного мнения по различным вопросам проводимой экспертизы. Для этого необходимо чтобы разрабатываемая форма анкет обеспечивала удобство ручной обработки информации и ввода ее в ЭВМ.

Предлагаемая схема проведения экспертной оценки делает возможным использование различных подходов к организации оценок на каждом этапе и позволяет организаторам эксперимента целенаправленно управлять процессом сбора экспертных данных.

В анкетах следует предусмотреть стандартный перечень вопросов или событий, на которые эксперты должны дать свои заключения. Вопросы в анкетах необходимо составлять таким образом, чтобы наряду с качественной можно было дать количественную характеристику ответам экспертов. Поскольку опрос экспертов может проводиться в несколько туров, то анкеты должны предусматривать возможность уточнения вопросов и ответов, т.е. используется серия анкет, где в каждой последующей анкете содержатся информация и мнения, полученные их предыдущей анкеты.

Одно из основных требований, предъявляемое к составлению анкеты, заключается в установлении общности языка, терминологии, общих исходных понятий. Возникает трудность в четкой формулировке вопросников, т.е. стремление к максимальной точности приводит к усложнению фразеологии, вызывающей отрицательную реакцию у отвечающих на анкету. Здесь необходимо найти оптимум между четкостью и лаконичностью вопроса, чтобы все участники эксперимента одинаково интерпретировали поставленные перед ними вопросы. В связи с этим процессу анкетирования должна предшествовать постановочная часть, где кратко излагаются цель эксперимента, методика опроса, основные определения для достижения общности понятий и некоторые возможные способы ответов на поставленные вопросы. Постановка задачи на эксперимент или его часть доводится до эксперта заранее, чтобы каждый из участников эксперимента мог подготовиться к его проведению.

Чтобы экспертные заключения обеспечивали объективность информации, при составлении анкет необходимо предусмотреть включение ряда показателей компетентности экспертов в отношении каждой из произведенной ими оценок.

В зависимости от цели тура и содержания, поставленных в анкете вопросов ответы экспертов могут строиться исходя из следующих методов.

Логический метод - эксперт на основе логических рассуждений, синтезируя имеющиеся в его распоряжении материалы, определяет ответ на поставленный вопрос.

Качественный метод - эксперт, выделяя наиболее важные признаки и исследуя уже существующую их градуировку, строит обобщенный ответ на основе нескольких признаков.

Комплексный метод является синтезом двух предыдущих методов и заключается в том, что помимо качественной одновременно производится и логическая градация.

Катализационный метод предусматривает наличие исходной информации, которую эксперт должен оценить и дополнить. Исходная информация формируется рабочей группой исследователей на основе анализа существующих материалов в исследуемой области. Данная исходная информация выступает в этом случае в качестве катализатора при сборе мнений экспертов.

Эксперты свободны в выборе метода для выдачи заключений по тому или иному вопросу анкеты, но должны руководствоваться основными положениями и определениями, изложенными в постановке задачи на эксперимент.