Перпендикуляр к стороне угла

Для любого угла, образованного пересечением прямых ОА _¥ и ОВ _¥ (рис. 12), на любой из его сторон (например, на стороне ОА _¥) существует такая точка М, что перпендикуляр, восстановленный к ОА _¥ из точки М, будет параллелен второй стороне угла OB _¥ (рис. 12): MB _¥^ OA _¥, и MB _¥|| OB _¥. При этом всякий перпендикуляр, выходящий из точки М ’Î ОМ, пересекает противоположную сторону угла ОВ _¥, а всякий перпендикуляр, восстановленный из точки M "Î MA _¥, не имеет общих точек со стороной OB _¥.

Четвертый признак конгруэнтности треугольников

В абсолютной геометрии без привлечения аксиомы параллельности доказываются три признака конгруэнтности треугольников. В планиметрии Лобачевского справедлив еще один, четвертый признак. Если три угла одного треугольника конгруэнтны соответствующим трем углам второго треугольника, то эти треугольники конгруэнтны [7].

Вывод 2

Рассмотренные выше неевклидовы отношения 1–4 между прямыми на плоскости Лобачевского являются логическим следствием 15 аксиом планиметрии Лобачевского и реализуются в модели Пуанкаре L ₂.

О роли открытия неевклидовой геометрии

Открытие мыслимой неевклидовой геометрии задолго до построения ее реализаций и последовавшие затем открытия ее реализаций Гауссом, Клейном, Бельтрами и Пуанкаре явились прологом пересмотра многих устоявшихся фундаментальных понятий в теории познания. Вначале подверглись анализу идеи и методы доказательства в классической математике и математической логике. Это привело к рождению теории множеств и развитию дедуктивного формализма в математике на новом структурном уровне. Новые геометрические идеи математического формализма подняли научный уровень теоретической физики, а затем и всего естествознания.

В современной науке понятие реализации или модели некоторой системы аксиом используется для проверки основных требований, предъявляемых к аксиоматическому методу в моделировании вообще и в математическом моделировании в частности.

Вывод 3

Открытие и построение неевклидовой геометрии предшествовало, а затем и сопутствовало развитию современного математического формализма. Роль математического формализма в современной науке не сводится только к формированию математического аппарата. Многие законы, открытые в теории математического формализма, т.е. в математических языках, моделируют интеллектуальную деятельность вообще и исследовательскую деятельность в частности.

Формирование математических текстов на основе дедуктивного метода, т.е. построение теории на базе системы аксиом, должно удовлетворять некоторым законам – свойствам аксиоматических систем. К изучению этих законов мы приступаем в следующей главе.

Лучший метод для предвидения будущего развития математических наук заключается в изучении истории и нынешнего состояния этих наук

Анри Пуанкаре

ГЛАВА II