Аналітичне вирівнювання рядів динаміки

Аналітичне вирівнювання є більш досконалим способом дослідження часових рядів, який дає можливість не тільки гарантовано (хоча інколи й не дуже надійно) виявляти вид і характер тенденції, але й робити прогноз розвитку явища на наступні часові моменти або інтервали. Метод застосовний для рівномірних інтервальних рядів і для моментних рядів з довільними проміжками δ_і часу між моментами.

Суть методу полягає в тому, що кожний фактичний рівень у_і ознаки Y розглядається як сума двох доданків: , де – систематична складова, яка відображає загальну тенденцію і виражається рівнянням = f(t); – випадкова складова, яка відображає флуктуації рівнів ряду і завуальовує загальну тенденцію.

Таким чином, аналітичне вирівнювання динамічного ряду означає побудову функції = f(t), яка аналітично виражає залежність систематичної складової значень ознаки Y від часу t. При цьому для інтервальних часових рядів аргумент t звичайно являє собою порядковий номер інтервалу. Нумерацію будемо починати з нуля.

Такі функції і їх графіки називають трендовими кривими. За допомогою трендової кривої завжди можна встановити вид і характер тенденції розвитку явища, а також зробити прогноз на наступні часові інтервали або моменти.

Процедура побудови трендової кривої складається з двох етапів: 1) вибір виду функції f(t); 2) обчислення параметрів вибраної функції.

З формально-математичної точки зору побудова трендової кривої цілком аналогічна побудові рівняння регресії, що детально розглядалось у п. 2.4 л. р. № 3, за винятком двох моментів:

1. Якщо ряд є рівномірним і неперервним, то системи лінійних алгебраїчних рівнянь (3.9), (3.10) можна суттєво спростити. Для цього необхідно: а) усі часові моменти t_i моментного ряду пронумерувати, починаючи з нуля, і надалі моменти t_i ототожнювати з їх номерами (як і часові інтервали для інтервального ряду): t_i = і, і = ; б) перейти до умовних номерів , перенумерувавши часові інтервали або моменти так, щоб точка відліку опинилась у середині часового ряду. Схематично це може виглядати, наприклад, так:

– для непарного числа (п +1) рівнів ряду: = t_i – п/ 2 (n= 2 l, ),

Фактичні номери ti
Умовні номери	–2	–1

– для парного числа (п +1) рівнів ряду: =2 t_i – п (n= 2 l +1, ),

Фактичні номери ti
Умовні номери	–5	–3	–1

Очевидно, що , за рахунок чого і спрощуються системи рівнянь. Зокрема, система (3.9) для умовних параметрів а ₁і b ₁ набуває вигляду

(4.19)

звідки

, . (4.20)

Система (3.10) для умовних параметрів p ₁, q ₁i r ₁ набуває вигляду

(4.21)

звідки , що збігається з відповідною формулою (4.20), а параметри p ₁ i r ₁ знаходяться як розв’язок системи двох лінійних рівнянь, що складається з першого і третього рівнянь системи (4.21).

Після розв’язання систем (4.19) і (4.21) одержуємо лінійну та квадратичну (або параболічну) моделі тренду відповідно

та , (4.22)

як функції умовного часу .

Для переходу до фактичного часу t необхідно в рівняннях (4.22) замість покласти: = t–l для непарного числа рівнів ряду, де l=n /2; =2 t–п для парного числа рівнів ряду. В результаті одержимо лінійну та квадратичну моделі тренду відповідно

та , (4.23)

де a=a ₁ – b ₁ · l, b=b ₁, p=p ₁ – q ₁ · l+r ₁· l², q=q ₁ – 2r ₁· l, r=r ₁ для непарного числа (n +1); a=a ₁ – b ₁ · п, b=2b ₁, p=p ₁ + q ₁ · п+r ₁ · n², q=2q ₁ – 4r ₁ · n, r=4r ₁ для парного числа (n +1).

2. Регресійна дисперсія обчислюється за формулою

, (4.24)

де – фактичні (вирівняні) значення рівнів ряду; (п +1) – число рівнів ряду; п – номер останнього рівня ряду, якщо нумерація починається з нуля; т – число параметрів трендової кривої.