Екстремуми функції двох змінних (необхідні умови екстремуму)

Функція z = f (x,y) має максимум (мінімум) в точці , якщо значення в цій точці більше (менше), ніж її значення в будь – якій іншій точці деякого околу точки , тобто (відповідно ) для всіх точок , що задовольняють умову , де - достатньо мале число.

Максимум або мінімум функції називається її екстремумом. Точка , в якій функція має екстремум, називається точкою екстремуму.

Якщо диференційована функція z = f (x,y) досягає екстремуму в точці , то її частинні похідні першого порядку в цій точці дорівнюють нулю, тобто ; .

Точки, в яких частинні похідні дорівнюють нулю, називаються стаціонарними точками функції. Не всі стаціонарні точки є точками екстремуму.

Нехай - стаціонарна точка функції z = f (x,y). Позначимо ; ; .Складемо дискримінант . Тоді:

якщо , то функція в точці має екстремум, а саме максимум при (або ) і мінімум при (або );

якщо , то в точці екстремуму немає (достатня умова існування або відсутності екстремуму);

якщо , то необхідно дослідити питання іншими методами (сумнівний випадок).

Схема дослідження функцій z = f (x,y) на екстремум

При дослідженні функцій z = f (x,y) на екстремум (при умові, що вона двічі диференційована) користуються правилом:

1.Знаходяться частинні похідні першого порядку функції z = f (x,y) і розв’язують систему рівнянь:

Точки, в яких частинні похідні дорівнюють нулю, називаються стаціонарними точками. Нехай одна з них

2. Знаходять частинні похідні другого порядку та мішані функції z = f (x,y) і обчислюють їх значення в точці

Позначимо ; ; .

3. Обчислюють визначник

.

Якщо виявляється, що то функція z = f (x,y) в точці має максимум при і мінімум при . Якщо ж то в точці екстремуму немає. Нарешті, якщо то питання про екстремум в цій точці залишається відкритим і вимагає додаткового дослідження.

Задача 2. Знайти екстремум заданої функції

а)

б)