Момент силы. Момент инерции и момент импульса АТТ

Момент силы - величина, характеризующая вращательный эффект силы. При вращении АТТ вокруг неподвижной оси Oz проекция момента силы относительно любой точки О, лежащей на этой оси, который определяется векторным произведением радиуса-вектора проведенного из точки О в точку приложения силы, на вектор силы :

, (32)

совпадает с моментом силы М_z относительно этой оси.

Если угловая скорость направлена по оси Oz и проекция момента силы на ось вращения положительна, то такой момент силы называют вращающим, иначе – тормозящим.

Момент инерции – величина, характеризующая распределение массы в теле и являющаяся мерой инертности тела при вращательном движении.

Моментом инерции тела относительно неподвижной оси Оz называется скалярная величина

(33)

где m_i - масса i -й частицы тела;

r_i - расстояние от i -й частицы тела до оси вращения Оz;

N - число частиц, из которых состоит тело.

Индекс «z» у момента инерции обозначает, что момент инерции определяется относительно оси Оz.

В случае непрерывного распределения массы тела сумма, стоящая в формуле (33), заменяется интегралом:

(34)

Определение интеграла (34) в общем случае представляет собой сложную задачу. Однако ситуация упрощается, когда нужно вычислить моменты инерции однородных симметричных тел относительно осей, проходящих через центры масс тел и являющихся осями симметрии.

Центр инерции (центр масс) АТТ (системы частиц) – это такая точка, координаты которой определяются из соотношений:

; (35) ; (36) . (37)

Скорость центра инерции (центра масс)АТТ (системы частиц)можно рассчитать по формуле:

. (38)

Результаты вычисления моментов инерции ряда тел правильной геометрической формы относительно оси Оz, проведенной через центр масс твердого тела, приведены в табл. 1.

Таблица 1

Моменты инерции некоторых тел правильной геометрической

формы относительно оси, проходящей через их центр масс

Обруч (полый цилиндр)	Диск (сплошной цилиндр)	Шар	Стержень

 

Если ось Оz не проходит через центр масс, то момент инерции определяется по теореме Гюйгенса-Штейнера:

(39)

где - момент инерции относительно оси вращения Оz;

- момент инерции относительно оси симметрии, параллельной оси Оz и проходящей через центр масс;

d – расстояние между осями;

m – масса тела.

Момент импульса (момент количества движения, кинетический момент) твердого тела - характеристика вращательного движения.

Момент импульса абсолютно твердого тела относительно неподвижного центра О равен геометрической сумме моментов импульсов всех точек тела относительно того же центра:

(40)

Если абсолютно твердое тело вращается вокруг неподвижной оси Оz, то

(41)

где - проекция момента импульса на ось Оz;

- момент инерции твердого тела относительно оси Оz.

Задачи

41.(1) В плоскости yОz на частицу, координаты которой y = 4,1 м, z = 2,8 м, действует cила 6,3 Н, направленная под прямым углом к радиус-вектору частицы (рис. 2). Чему равен момент этой силы относительно точки О?

42.(1) По окружности радиусом 5,5 м (центр окружности – точка О) в плоскости yОz со скоростью 0,98 м/с движется частица массой 12 кг (рис.3.). Чему равен момент импульса этой частицы относительно точки О?

43.(2) Определить момент инерции тонкого кольца радиусом 20 см и массой 100 г относительно оси, перпендикулярной плоскости кольца и проходящей через любую точку на кольце.

44.(2) Найти момент импульса Земли относительно собственной оси вращения.

45.(2) Механическая система состоит из двух частиц, массы которых равны соответственно 0,12 г и 0,24 г. Первая частица находится в точке с координатами (3; 5; 0), вторая – в точке (6; 2; 0) (координаты даны в сантиметрах). Вычислить: 1) координаты центра масс; 2) скорость центра масс, если частицы начнут движение вдоль оси х навстречу друг другу каждая со скоростью 11 см/с относительно этой оси. Показать на чертеже положение центра масс и вектор скорости центра масс.