Средняя арифметическая, ее свойства и техника исчисления

 

Средняя арифметическая – самый распространенный вид средней величины. Когда речь идет о средней величине без указания ее вида, подразумевается именно средняя арифметическая. Она исчисляется в тех случаях, когда объем усредняемого признака образуется как сумма его значений у отдельных единиц изучаемой статистической совокупности. Например, общий фонд заработной платы – это сумма заработных плат отдельных работников, общее число рабочих в промышленности – это сумма их численностей на отдельных промышленных предприятиях, общий сбор урожая – сумма урожаев с каждого гектара площади и т.д.

При исчислении средней арифметической выполняют две операции:

· суммируют индивидуальные значения признаков

· полученную сумму делят на число значений

В зависимости от характера исходных данных средняя арифметическая может быть рассчитана по формуле простой или взвешенной средней.

Если исходные данные не систематизированы, то применяется формула простой средней арифметической.

 

 

Если исходные данные сгруппированы и представлены весами (частотами), т.е. с числом единиц, имеющих одинаковые значения признака, то среднюю арифметическую исчисляют по формуле взвешенной средней

.

 

При расчете средней арифметической взвешенной:

· необходимо умножить варианты на все ;

· сложить полученные произведения;

· сложить веса (частоты);

· сумму произведений вариант на веса разделить на сумму весов.

Обычно средняя арифметическая исчисляется по формуле взвешенной средней. Простую среднюю используют только в тех случаях, когда у каждой варианты частота равна единице или если частоты у всех вариант равны друг другу.

Принято различать три основных приема расчета средней арифметической:

· если статистические данные по индивидуальным значениям признака, полученные из наблюдения не упорядочены, то техника вычисления средней арифметической сводится к суммированию варианта и делению полученной суммы на число вариант варьирующего признака. Используется формула средней арифметической простой. В тех случаях, когда варианта повторяется и это выражено частотами, применяют формулу средней арифметической взвешенной.

· Если исходные данные представлены общей суммой значений варьирующего признака и численностью единиц совокупности то общий объем признака делится на число единиц совокупности. Такого рода данные имеются в периодической статистической отчетности.

В этом случае необходимо проверить, соответствует ли объем признака численности единиц совокупности. Ведь объем осредняемых признаков часто являются самостоятельными категориями и показателями (например, фонд заработной платы), которые подсчитываются независимо от расчета средних величин. Поэтому прежде чем исчислить среднюю, необходимо проверить выполнение вышеуказанного требования.

Более того можно привести немало примеров, когда каждое отдельное значение признака вовсе не фиксируется по тем или иным причинам. Так, иногда не подсчитывается урожайность на каждом отдельном гектаре площади, занятой той или иной культурой, но средняя для всей площади урожайность является одним из важных показателей продуктивности земледелия; никогда не подсчитывается, сколько валовой продукции произвел тот или иной рабочий.

Такие средние по способу расчета и по своему аналитическому значению мало отличаются от относительных величин интенсивности.

По-видимому, хотя выше говорили о том, что между средними и относительными величинами есть разница, но в то же время средняя – это отношение двух абсолютных величин, т.е. по сути относительная величина. Только средняя эта должна иметь отношение к любой единице совокупности. Относительная величина этим свойством не обладает.

· Среднюю арифметическую вычисляют на основе вариационных рядов. Для расчета средней в дискретных рядах варианты (значения которых известно) нужно умножить на частоту и сумму произведений разделить на сумму частот.

Вариационные ряды могут быть и интервальными. В этом случае для расчета средней полезно вспомнить, что арифметическая средняя как бы распределяет поровну между отдельными единицами совокупности общую величину признака, в действительности варьирующую у каждой из них.

Исходя из этого для расчета средней арифметической по интервальному вариационному ряду надо в каждом интервале определить серединное значение [X’], после чего произвести взвешивание обычным порядком, т.е. [X’f]. Среднее значение интервала находится как полусумма нижней границы данного интервала и нижней границы следующего интервала.

Если имеются интервалы с так называемыми открытыми границами, то для расчета средней условно определяют неизвестные границы. Обычно в этих случаях берут значение последующего интервала для первого интервала и предыдущего – для последнего.

После того как найдены средние значения интервалов, расчет средней арифметической делают так же, как и в дискретном ряду: варианты (средние значения интервалов) умножаются на частоты (веса), и сумму произведений делят на сумму частот (весов).

Частоты при расчете средних арифметических могут быть выражены не только абсолютными величинами, но и относительными величинами – частостями (W).

Результаты применительно к одинаковым вариантам будут совпадать.

Необходимо небольшое пояснение применительно к расчету средней в интервальных рядах распределения. В действительности распределение отдельных вариантов в пределах интервала может оказаться неравномерным. В этом случае середина интервала будет в той или иной степени отличаться от фактической средней по интервалу. Это в свою очередь может повлиять на правильность общей средней, исчисленной по данным интервального ряда.

Степень расхождения зависит от ряда причин. Во-первых, от числа вариант, чем больше число вариант, тем вероятнее, что середина интервала будет мало отличаться от групповой средней. Во-вторых, от величины интервала. Если интервал невелик, то ошибка будет незначительной, т.к. групповая средняя будет мало отличаться от середины интервала. В-третьих, от характера распределения. Чем симметричнее распределение, тем ошибка меньше. В-четвертых, размер ошибки зависит от принципа построения интервального ряда. При равных интервалах середина интервала будет ближе к средней по данной группе. При наличии открытых интервалов расхождение, как правило, взрастает из-за условного обозначения неизвестных границ.

Рассматривая общие и групповые средние можно вывести следующее соотношение:

.

 

Обозначим групповые средние как , и т.д.

Тогда имеем .

Общая средняя равна средней из частных (групповых) средних, взвешенных по численности соответствующих частей совокупности.

Это правило имеет большое значение для всей статистики – организации сбора и обработки данных, их анализа.

Теперь рассмотрим важнейшие свойства средней арифметической:

1. Произведение средней на сумму частот всегда равно сумме произведений вариант на частоты:

.

 

Другими словами, постоянный множитель может быть вынесен за знак средней

.

 

2. Если от каждой варианты отнять (прибавить) какое-либо произвольное число, то новая средняя уменьшится (увеличится) на то же число:

 

.

Отсюда .

3. Если каждую варианту умножить (разделить) на какое-то произвольное число, то средняя арифметическая увеличится (уменьшится) во столько раз

 

. Откуда .

. Откуда

 

4. Если все частоты (веса) разделить или умножить на какое-либо число, то средняя арифметическая от этого не изменится.

Дело в том, что веса при исчислении средней арифметической выполняют роль удельного веса (соотношений между группами по количеству единиц). Поэтому замена частот частостями не меняет средней.

5. Сумма отклонений отдельных вариантов от средней арифметической всегда равняется нулю:

.

 

Перечисленные свойства могут быть использованы для того, чтобы облегчить технику исчисления средней арифметической.

Например. Можно из всех значений признака вычесть произвольную постоянную величину (лучше значение серединной варианты или варианты с наибольшей частотой), полученные разности сократить на общий множитель (лучше на величину интервала), а частоты выразить частостями (в процентах) и исчисленную среднюю умножить на общий множитель и прибавить произвольную постоянную величину. Получится искомая средняя с использованием способа моментов по формуле

 

, где .

 

Средняя [ ] из значений называется моментом первого порядка.

Иногда этот способ расчета средней арифметической также называется способом расчета от условного нуля.

Широкое применение для обработки статистических материалов современных ЭВМ сужает необходимость исчисления средних по упрощенным схемам.

 

 

Средняя гармоническая

 

Рассмотрим следующий пример. Требуется рассчитать среднюю зарплату по 3 предприятиям на основании данных о средней зарплате по каждому предприятию и фонде зарплаты по этим предприятиям:

 

Предприятие	№1	№2	№3	Итого
Средняя зарплата, тыс. руб.				?
Фонд заработной платы, млн. руб.

 

Для расчета средней зарплаты по предприятию по формуле средней арифметической не известна численность совокупности (в данном примере численность работников неизвестна). Обычно ее можно определить поделив ФЗП каждого предприятия на его среднюю зарплату.

Отсюда имеем:

тыс. руб.

Нетрудно заметить, что в данном расчете в качестве весов применяются не единицы совокупности, а произведения этих единиц на значения признака ( - объем признака). Отсюда приходится варианты взвешивать по объемам признака.

Такой расчет средней в статистике называется средней гармонической взвешенной и выражается формулой

 

.

 

(Известны индивидуальные значения признака и объемы признака по группам).

Следовательно, средняя гармоническая это величина, равная средней арифметической, из обратных значений признака.

В зависимости от характера имеющегося материала ее применяют тогда, когда веса приходится не умножать, а делить на варианты или, что то же самое, умножать на обратное их значение.

С применением формулы средней арифметической взвешенной расчет в рассмотренном примере имел бы следующий вид:

тыс. руб.

Рассмотрим второй пример. Три партии материала А куплены по разным ценам (50, 100 и 150 тыс. руб.). Требуется определить среднюю покупную цену материала А. В первой партии куплено 100 кг за 5 млн. руб., во второй 200 кг за 20 млн. руб., и в третьей 300 кг за 45 млн. руб.

Если при исчислении средней цены за веса принять количество товаров, то верный результат дает формула средней арифметической взвешенной:

 

 

Если же в качестве весов будем применять стоимость партий, то верный результат дает средняя гармоническая:

Расчет средней может производиться как по формуле средней арифметической, так и средней гармонической. Преобразуем формулы этих средних, учитывая, что

 

; .

 

Получим, что формула средней гармонической переходит в среднюю арифметическую и обратно.

Учитывая, что средняя гармоническая является средней из обратных величин признака по сравнению к средней арифметической, формулы для ее расчета нередко записываются так:

Средняя гармоническая простая ;

Средняя гармоническая взвешенная: .

Только надо помнить, что в качестве весов (n и ) принимаются объемы признаков ().

Можно из сказанного выше сделать вывод, что строго говоря, средняя гармоническая является не особым видом средней, а скорее особым методом расчета средней арифметической. В статистике же принято выделять среднюю гармоническую как отдельный вид средней; т.к. с ее помощью может быть упрощена техника расчета средней арифметической и, что более важно, учтен характер имеющегося статистического материала.

Правильность выбора формы средней (арифметической или гармонической) может быть проверена также дополнительным критерием: если в качестве весов выступают абсолютные величины, всякие промежуточные действия при расчете средней должны давать значимые показатели. Например, для расчета средней цены умножением цены на количество товаров получается их стоимость. А деление стоимости товаров на их цены дает количество товаров.

С помощью гармонической средней в статистике определяется средний процент выполнения плана (по данным фактического выполнения плана), средние затраты времени на выполнение операций (по данным о средних затратах времени на одну операцию и общее время работы по отдельным работникам) и т.д.