Властивості центральної симетрії

Симетрія відносно точки

Означення 1.1 Нехай т. О – деяка точка площини. Перетворення площини, при якому будь-якій т. Х площини ставиться у відповідність т. Х ', яка лежить на прямій ОХ на відстані ОХ', що дорівнює ОХ. Точки X і X' називаються симетричними відносно точки О, а точка О - центром симетрії.

Геометрична фігура F називається центральносиметричною, якщо існує точка О, відносно якої можна здійснити відображення кожної точки X фігури F на таку точку X' цієї самої фігури, яка розміщена на прямій ОХ на відстані ОХ', що дорівнює ОХ.

Знаючи, які дві точки називаються симетричними відносно даної точки О і як їх можна побудувати, ми можемо для будь-якої даної фігури F побудувати фігуру F',симетричну відносно даної точки О. Тоді фігура F', утворена з усіх точок, симетричних точкам фігури F відносно даної точки О, називається симетричною фігурі F відносно точки О, а перетворення фігури F у фігуру F', при якому довільна точка X фігури F переходить у симетричну відносно деякої точки О точку X' фігури F',називається перетворенням симетрії відносно точки О. Позначають це перетворення через Z₀ , причому, якщо точка X' є образом точки X, то це записують так: (Z₀Х) = X', або X' = Z₀(Х).

Властивості центральної симетрії

З означення симетрії відносно точки випливають такі властивості:

1. Для кожної точки О прямої, площини або простору існує центральна симетрія Z₀.

2. Для різних точок X і X' прямої, площини або простору існує така єдина симетрія Z₀,що Z₀(Х) = X'. Центр симетрії Z₀ - середина О відрізка XX'. Отже, центральна симетрія може бути задана або центром симетрії, або двома відповідними точками.

3. Центральна симетрія відображає фігуру F на фігуру F', причому різні точки першої фігури перетворюються в різні точки другої. Тому центральна симетрія Z₀ є взаємно однозначним відображенням відносно її центра О.

Звідси випливає, що перетворення , обернене до центральної симетрії, є також центральна симетрія, причому оскільки Z₀(Х) = X' і Z₀(Х')=Х, то = Z₀ .

Перетворення, яке відмінне від тотожного і збігається з оберненим до себе, називається інволютивним, або інволюцією. Отже, симетрія відносно точки є інволютивним перетворенням. Тому послідовне виконання перетворень Z₀ і – їх композиція відносно одного й того самого центра О – є тотожним перетворенням, тобто , звідки маємо – тотожне перетворення.

4. Якщо розглядати фігуру F і симетричну їй відносно точки О фігуру F' як одну фігуру, то в результаті центральної симетрії Z₀ її частини F і F' будуть відображатися одна на одну, а вся фігура відображатиметься сама на себе, тобто така фігура буде симетричною відносно точки О. Перетворення фігури F у фігуру F' називається рухом, якщо воно зберігає відстань між точками, тобто переводить будь-які дві точки X і Y фігури F у точки Х', Y' фігури F' так, що ХY = Х'Y'.

5. Перетворення симетрії відносно точки є рухом.

6. Точки, які лежать на прямій, переходять у результаті руху в точки, що також лежать на прямій, причому зберігається порядок їх взаємного розміщення.

Отже, центральна симетрія Z₀ перетворює:

а) відрізок у рівний і паралельний йому відрізок;

б) напрямлений відрізок – у рівний і протилежно напрямлений – антипара-лельний відрізок;

в) промінь – у паралельний і протилежно напрямлений промінь;

г) пряму – у паралельну пряму;

д) кут – у рівний йому кут;

є) площину – у паралельну площину.

7. Єдина нерухома точка перетворення симетрії відносно точки О - сама ця точка (центр симетрії). Нерухомою є також кожна пряма, що проходить через центр симетрії, причому кожна точка прямої, що лежить по один бік від точки О, переходить у точку, що лежить по другий бік від точки О. Нерухомою є й кожна площина простору, що проходить через центр симетрії, причому нерухомою точкою такої площини є тільки центр симетрії.

8. Якщо фігура має два центри симетрії О і O₁,то вона має нескінченну їх множину і необмежена.

Прикладами таких фігур є пряма, смуга, нескінченний в обидва боки круговий циліндр тощо.

9. Якщо фігура має три центри симетрії 0, 0₁, 0₂,що не лежать на одній прямій, то вона має в площині 00₁0₂ нескінченну множину центрів. Вони утворюють решітку паралелограмів.

10. Якщо фігура має чотири центри симетрії, які не лежать на одній площині, то вона має нескінченну множину центрів. Усі такі центри утворюють решітку паралелепіпедів.

11. Центральна симетрія на площині не змінює орієнтації трикутника (обхід трикутника за годинниковою стрілкою або проти годинникової стрілки), але сторони центрально-симетричних трикутників є антипаралельними (мал. 1.1).

Розглянемо многогранник, що має центр симетрії. Такою фігурою є, наприклад, паралелепіпед. Центр симетрії паралелепіпеда – точка перетину його діагоналей, бо відносно цієї точки кожна точка паралелепіпеда має симетричну, кожному ребру відповідає антипаралельне ребро. Так, антипаралельність відрізків, променів, прямих – одна з характерних властивостей фігур, що мають центр симетрії.

Візьмемо на одній з граней паралелепіпеда три довільні точки, які визначають деякий трикутник. Оскільки паралелепіпед має центр симетрії, то на протилежній грані існує центральносиметричний йому трикутник. Такі трикутники, за аналогією до відрізків, називають антипаралельними. Отже, має місце така властивість.

12. Грані многогранника, що має центр симетрії, перетворюються при симетрії відносно нього в рівні й антипаралельні грані протилежної орієнтації.

Центральна симетрія в просторі перетворює праву рукавичку в ліву і навпаки.

13. Відповідні пари граней, які самі мають центр симетрії, многогранника, що також має центр симетрії, є одночасно паралельними й антипаралельними. Ця властивість характерна, наприклад, для куба. Правильне й обернене твердження: фігури, що мають такі грані, - центрально-симетричні. Тетраедр не має центра симетрії, бо кожна грань не має паралельної грані.