Преобразование чисел из одной системы счисления в другую

При помощи 3-х разрядов десятичной с/с можно представить чисел от 0 до 999.

При помощи 2-х разрядов двоичной с/с можно представить чисел: 00, 01, 10, 11.

Преобразование из десятичной в прочие системы счисления проводится с помощью правил умножения и деления. При этом целая и дробная части переводятся отдельно.

Рассмотрим алгоритм на примере перевода десятичного числа 231 в двоичную систему (совершенно аналогичен перевод из десятичной системы в любую -ичную). Разделим число на два (основание системы): нацело 231: 2 = 115 и остаток 1, т.е. можно записать

Число 115 (такой двоичной цифры нет) тоже может быть разделено нацело на 2, т.е. 115: 2 = 57 и остаток 1. И так далее. Запишем процесс деления следующим образом:

Читая частное и остатки от деления в порядке, обратном получению, получим двоичную запись числа. Такой способ перевода чисел называется правилом (алгоритмом) последовательного деления, очевидно, что он применим для любого основания.

Для дробных чисел правило последовательного деления заменяется правилом последовательного умножения, которое также рассмотрим на примере. Переведем 0,8125 из десятичной системы в двоичную систему счисления. Умножим его на 2, т.е. или

Аналогично или

или , но и так далее получим правило (алгоритм) последовательного умножения:

В десятичной системе счисления правильная дробь переводится в десятичную дробь в конечном виде только в том случае, если ее знаменатель в качестве множителей имеет только степени двоек и пятерок, т.е. дробь имеет вид . Все же остальные дроби переводятся в бесконечные периодические дроби. Аналогично в двоичной системе счисления конечный вид получают дроби, где в знаменателе только степени двойки, т.е. большинство десятичных конечных дробей в двоичной системе счисления будут бесконечными периодическими дробями.

Если ведутся приближенные вычисления, то последний разряд является сомнительным, и для обеспечения в приближенных вычислениях одинаковой точности в двоичной и десятичной записях числа без бесконечных дробей, достаточно взять число двоичных разрядов в 4 раза больше, чем десятичных.

Между двоичной системой счисления, с одной стороны, и восьмеричной и шестнадцатеричной (заметим, 8 и 16 — есть третья и четвертая степени двойки) — с другой, существует связь, позволяющая легко переводить числа из одной системы в другую.

Переход от двоичного числа к восьмеричному и шестнадцатеричному производится путем разбиения двоичного числа на триады (три разряда) и тетрады (четыре разряда) соответственно влево и вправо от запятой с последующей заменой триад и тетрад на их символьные эквиваленты в соответствии с табл.3.1. Недостающие позиции в триадах и тетрадах заполняются нулями.

Таблица 3.1. Представление чисел.

Переведем число в восьмеричную систему счисления. Для этого разобьем двоичное число на триады, начиная слева направо . В случае, если в крайней левой триаде не достаточно разрядов, допишем слева недостающие нули . Далее при помощи таблицы 3.1 заменим двоичные триады на их символьные эквиваленты из колонки восьмеричной системы счисления .

Переведем число в шестнадцатеричную систему счисления. Для этого разобьем двоичное число на титрады, начиная слева направо . В случае, если в крайней левой титраде не достаточно разрядов, допишем слева недостающие нули . Далее при помощи таблицы 3.1 заменим двоичные титрады на их символьные эквиваленты из колонки шестнадцатеричной системы счисления .