Задачи для самостоятельного решения. Задача 1. Найти маршрут минимальной длины от пункта 1 к пункту 1

Задача 1. Найти маршрут минимальной длины от пункта 1 к пункту 1.

 

7

2

7

7

2

5

5

5

5

2

3

3

3

4

4

4

4

7

6

6

6

8

8

8

9

10

11

 

Задача 2. Найти маршрут минимальной длины из вершины А в вершину В.

 

l di54bWxMj8FOwzAQRO9I/IO1SFwq6tQVaZTGqVAlLnAACh/gxG4SYa9D7Kbu37Oc6G1ndzT7ptol Z9lspjB4lLBaZsAMtl4P2En4+nx+KICFqFAr69FIuJgAu/r2plKl9mf8MPMhdoxCMJRKQh/jWHIe 2t44FZZ+NEi3o5+ciiSnjutJnSncWS6yLOdODUgfejWafW/a78PJSXh5e19cRMoXP5vHZp/mwqbX YKW8v0tPW2DRpPhvhj98QoeamBp/Qh2YJb0pCD3SsF4BI4PIcwGsoUUu1sDril9XqH8BAAD//wMA UEsBAi0AFAAGAAgAAAAhALaDOJL+AAAA4QEAABMAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAFtDb250ZW50X1R5 cGVzXS54bWxQSwECLQAUAAYACAAAACEAOP0h/9YAAACUAQAACwAAAAAAAAAAAAAAAAAvAQAAX3Jl bHMvLnJlbHNQSwECLQAUAAYACAAAACEAYkb2BvIBAADrAwAADgAAAAAAAAAAAAAAAAAuAgAAZHJz L2Uyb0RvYy54bWxQSwECLQAUAAYACAAAACEA6lmUQN8AAAAKAQAADwAAAAAAAAAAAAAAAABMBAAA ZHJzL2Rvd25yZXYueG1sUEsFBgAAAAAEAAQA8wAAAFgFAAAAAA== " strokecolor="black [3040]"/>2 LnhtbEyPzU6EQBCE7ya+w6RNvGx2B1EQkWZjNvGiB3X1AQZogTg/yMyys29ve9JjpSpVX1XbaLRY aPajswhXmwQE2dZ1o+0RPt4f1wUIH5TtlHaWEE7kYVufn1Wq7NzRvtGyD73gEutLhTCEMJVS+nYg o/zGTWTZ+3SzUYHl3MtuVkcuN1qmSZJLo0bLC4OaaDdQ+7U/GISnl9fVKY356vs2a3ZxKXR89hrx 8iI+3IMIFMNfGH7xGR1qZmrcwXZeaITsJk05irC+BsF+luX8rUEoijuQdSX/H6h/AAAA//8DAFBL AQItABQABgAIAAAAIQC2gziS/gAAAOEBAAATAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAABbQ29udGVudF9UeXBl c10ueG1sUEsBAi0AFAAGAAgAAAAhADj9If/WAAAAlAEAAAsAAAAAAAAAAAAAAAAALwEAAF9yZWxz Ly5yZWxzUEsBAi0AFAAGAAgAAAAhAOQ4LsnxAQAA6gMAAA4AAAAAAAAAAAAAAAAALgIAAGRycy9l Mm9Eb2MueG1sUEsBAi0AFAAGAAgAAAAhADMRRSTeAAAACAEAAA8AAAAAAAAAAAAAAAAASwQAAGRy cy9kb3ducmV2LnhtbFBLBQYAAAAABAAEAPMAAABWBQAAAAA= " strokecolor="black [3040]"/>

4

А

В

1

2

3

5

 

 

Задача 3. Найти маршрут минимальной длины от пункта 1 к пункту 10.

 

3

8

1

2

6

5

4

7

9

10

4

4

4

1

1

1

1

3

3

3

2

2

2

2

5

6

9

 

 

Задача 4. Найти кратчайший путь из вершины v₁ в вершину v₁₃.

v13

v12

v11

v10

v9

v8

v7

v5

v6

v4

v3

v2

v1

 

 

§4 Задача Эйлера. Плоские, планарные и не планарные графы.

Формула Эйлера

 

Теория графов берет свое начало в 1736г. с решения знаменитым математиком Эйлером задачи о кенигсбергских мостах. Жителей Кенигсберга заинтересовал вопрос, могут ли они, начав путь с одного участка суши, обойти все семь мостов Кенигсберга, посетив каждый из этих мостов однажды, и и вернуться в пункт старта, не переплыв реки.

Эйлер переформировал задачу, изобразив участки суши в виде вершин, а мосты сделала ребрами графа. Напомним, что цепь в графе называется Эйлерова, если она содержит все ребра ровно 1 раз.

В графе с более чем одной вершиной есть эйлеров цикл тогда и только тогда, когда этот цикл включает все вершины графа.

Задача Эйлера. Обладает ли данный граф эйлеровым циклом или цепью?

Теорема Эйлера 1. Связный граф обладает эйлеровым циклом тогда и только тогда, когда все его вершины имеют четную степень.

2. Связный граф обладает эйлеровой цепью тогда и только тогда, когда ровно две его вершины имеют нечетную степень.

Граф называется плоским, если он расположен на плоскости так, что его ребра не пересекаются, кроме как в вершинах.

Граф называется планарным, если его можно расположить на плоскости так, что ребра не будут пересекаться.

Гранью плоского графа называется часть плоскости, ограниченная ребрами и не содержащая в себе ни ребер, ни вершин.

Так как планарный граф можно превратить в плоский, то понятие грани имеет смысл и для него.

Пусть В – вершина графа, Г – грань, Р – ребро. Тогда справедлива следующая формула (формула Эйлера): Г+В-Р=2.

ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

Задача 1.

 

4 – бесконечная грань.

Проверим справедливость формулы на графе из примера 1. Так как В=4; Р=6, то граней должно быть Г=2+Р-В=2+6-4=4. Получили четыре грани, указанные на рис.

Задача 2. Определить наличие эйлерова цикла или эйлеровой цепи в графе:

 

v4

v1

v2

v3

v5

 

 

Решение. Определим степень каждой из вершин графа. degv₁=4; degv₂=2; degv₃=4; degv₅=4; degv₄=2. Так как все степени вершин графа четные, то по теореме Эйлера граф обладает эйлеровым циклом и как следствие не обладает эйлеровой цепью.

 

Задача 3. Выяснить, является ли граф плоским?

 

 

 

 

Решение. Так как этот граф можно распутать, т.е. преобразовать к виду

 

 

 

 

то он является планарным.