Приклади розв’язання задач

 

Приклад 1. Куля масою 1кг, рухаючись горизонтально, зіштовхується з нерухомою кулею масою 12 кг. Кулі абсолютно пружні, удар прямий, центральний. Яку частину своєї кінетичної енергії перша куля передала другій?

Дано:

m₁ = 1 кг

m₂ = 12 кг

₂ = 0

Удар пружний

____________

Е = –?

 

Розв’язання. При абсолютно пружному центральному зіткненні виконуються закони збереження імпульсу й енергії. Тому з урахуванням того, що друга куля до зіткнення була нерухома, одержуємо два рівняння

 

m_{1 1} = m₁ u₁ + m₂ u₂ ,

, (1)

 

де ₁ – швидкість першої кулі до удару;

u₁ й u₂ – швидкості першої й другої куль після удару.

При цьому із закону збереження імпульсу треба враховувати, що після удару перша й друга кулі рухаються уздовж прямої, по якій рухалася перша куля до удару.

Частина енергії, передана першою кулею другій, визначається співвідношенням

, (2)

де К_k1 – кінетична енергія першої кулі до удару;

К_k2 – кінетична енергія другої кулі після удару.

Розв’язавши систему (1), одержуємо

 

.

 

Підставивши u₂ у формулу (2) і скоротивши на ₁ і m₁, знаходимо

 

. (3)

 

Співвідношення (3) симетричне відносно мас куль m₁ і m₂, тому частина переданої енергії не зміниться, якщо маси куль поміняти місцями.

Підставляючи у вираз (3) числові значення m₁ і m₂, одержимо

 

.

 

Приклад 2. З похилої площини висотою 1м і довжиною 10 м зсувається тіло масою 1 кг (рис.1). Знайти:

а) кінетичну енергію тіла біля основи похилої площини;

б) швидкість тіла біля основи похилої площини. Коефіцієнт тертя на всьому шляху вважати постійним і рівним 0,05.

Дано:

h = 1 м

l = 10 м

m =1 кг

f = 0,05

_________

E _к –? –? Рисунок 1

 

Роз’язання. Потенціальна енергія тіла при зсуванні з похилої площини переходить у кінетичну енергію й роботу проти сили тертя

 

mgh = . (1)

Але h = l sin , де – кут нахилу похилої площини.

 

F_тр.= f mg cosa.

1. Кінетичну енергію тіла знайдемо з (1)

 

К_k= ,

 

де sin = h / l = 0,1 й cos = 0,995.

Підставляючи чисельні значення, одержуємо К_k = 4,9 Дж.

 

2. Швидкість тіла одержимо з формули кінетичної енергії

 

= .

 

Приклад 3. При вертикальному підніманні вантажу масою 4 кг на висоту 9 м постійною силою була виконана робота 80Дж. З яким прискоренням піднімали вантаж?

Дано:

m = 4 кг

h = 2 м

A = 80 Дж

_________

a –?

Розв’язання. Зовнішні сили виконують роботу, яка йде на збільшення потенціальної енергії вантажу й на надання йому прискорення

 

A = mgh + mah.

 

Звідси

a = .

 

Підставляючи чисельні значення, одержуємо

 

a = .

 

Приклад 4. Сталева пружина під дією сили 300 Н видовжується на 2 см. Яку потенціальну енергією буде мати ця пружина при її видовженні на 10 см?

Дано:

F₁ = 300 H

x₁ = 2 см = м

x₂ = 10 см = 10^{-1 м}

__________________

E_n –?

 

Розв’язання. Потенціальна енергія розтягнутої пружини дорівнює

П_n = . (1)

 

При цьому коефіцієнт жорсткості пружини можна визначити із закону Гука

F = kx,

 

де F – величина зовнішньої сили. Звідси одержуємо

 

k = F/x = F₁ / x_{1 .} (2)

 

Якщо вираз (2) підставити в (1), одержуємо

 

П_n = .

 

Підставляючи чисельні значення сили й деформацій, знаходимо

 

П _n = Дж.

 

Приклад 5. Стрижень довжиною 1,5 м і масою 10 кг може обертатися навколо нерухомої осі, яка проходить через верхній кінець стрижня (рис.2). У нижній кінець стрижня вдаряє куля масою 10 г, що летить у горизонтальному напрямі зі швидкістю 500 м/с, і застрягає в ньому. На який кут відхилиться стрижень після удару?

Дано:

l = 1,5 м Рисунок 2

M = 10 кг

m = 10 г = 10^.10^{-3 кг}

–?

Розв’язання. Оскільки удар кулі в нижній кінець стрижня непружний, то після удару точки нижнього кінця стрижня і кулі будуть рухатися з однаковими швидкостями.

Розглянемо детальніше явища, які відбуваються при ударі. Спочатку куля, вдарившись об стрижень, за достатньо малий проміжок часу приводить його в рух з кутовою швидкістю і надає йому кінетичну енергію К

К = , (1)

 

де I – момент інерції стрижня відносно осі обертання.

Потім стрижень повертається на кут , причому центр мас піднімається на висоту h = .

У відхиленому положенні стрижень буде мати потенціальну енергію

 

П _п = . (2)

 

Потенціальна енергія стрижня зростає за рахунок зменшення його початкової кінетичної енергії, а тому за законом збереження енергії вони рівні. Прирівнявши праві частини рівності (1) і (2), одержимо

 

= .

Звідки

(3)

Момент інерції стрижня відносно осі обертання, яка проходить через кінець стрижня, можна знайти за теоремою Штейнера

 

I = I₀ + M = M l² + M l² = M l² .

 

Значення моменту інерції підставимо в (3), одержимо

 

cos = 1 - . (4)

 

Щоб з виразу (4) знайти , необхідно попередньо визначити значення . У момент удару на кулю й на стрижень діють сили тяжіння, лінії дії яких проходять через вісь обертання й спрямовані вертикально вниз. Моменти цих сил відносно осі обертання дорівнюють нулю. Тому при ударі кулі об стрижень буде справедливо використати закон збереження моменту імпульсу.

У початковий момент часу кутова швидкість стрижня w₀ = 0, тому його момент імпульсу L₀₁ = Iw₀ = 0. Куля вдаряється в кінець стрижня й в міру заглиблення в стрижень, надає йому кутового прискорення та бере участь в обертанні стрижня навколо закріпленої осі. Момент імпульсу кулі перед початком удару

L₀₂ = m l,

 

де l – відстань точки влучення кулі від осі обертання стрижня.

У кінцевий момент удару стрижень мав кутову швидкість , а куля – лінійну швидкість , рівну лінійній швидкості точок стрижня, які перебувають на відстані l від осі обертання. Оскільки = l, то кінцевий момент імпульс кулі дорівнює

L₂ = m l = ml²w.

 

Застосувавши закон збереження моменту імпульсу, можна записати

 

L₀₁ + L₀₂ = L₁ + L₂ або mυ₀ l = Iw + ml² ,

звідки

 

(5)

 

Виконавши обчислення за формулою (5), а потім за формулою (4), знайдемо w = 0,99 рад/c; cosj = 0,95; j = 18,19^o.

 

Приклад 6. Диск діаметром 20 см і масою 2 кг обертається навколо осі, яка проходить через його центр. Кут повороту диска змінюється з часом за законом j = А + Вt + Ct², де C = -2 рад/c². Визначити величину гальмівної сили, прикладеної до обода диска.

Дано:

D = 20 см = 0,2 м

m = 2 кг

j = А + Вt + Ct²

C = -2 рад/с²

^{____________________}

F_г –?

Розв’язання. Плече гальмівної сили відоме. У цьому випадку воно дорівнює радіусу диска R. Тому гальмівну силу, прикладену до обода, можна знайти зі співвідношення

F_г = M / R.

Гальмівний момент М може бути розрахований з основного рівняння динаміки обертального руху М = І , якщо будуть визначені кутове прискорення (у цьому випадку сповільнення) і момент інерції диска I.

Для розрахунку цих двох величин є всі необхідні дані:

 

b = = 2 C; I = – момент інерції диска.

 

Таким чином результуюча формула має вигляд

 

F = = .

 

Провівши необхідні розрахунки, одержимо

 

F = -2(1/2) рад/c² × 2 кг × 0,2 м = - 0,4 Н.

 

Приклад 7. Вал у вигляді суцільного циліндра масою 10 кг насаджений на горизонтальну вісь. На вал намотаний шнур, до вільного кінця якого підвішена гиря масою 2 кг (рис.3). З яким прискоренням буде опускатися гиря, якщо її відпустити?

Дано:

m₁ = 10 кг

m₂ = 2 кг

__________

a –?

Розв’язання. Лінійне прискорення a гирі дорівнює тангенціальному прискоренню точок вала, які лежать на його циліндричній поверхні, і пов'язане з кутовим прискоренням вала співвідношенням

 

a = r, (1)

 

 

де r – радіус вала.

Кутове прискорення вала визначається з основного рівняння динаміки обертального руху тіла

Рисунок 3

 

= M / I, (2)

 

де M – обертальний момент, що діє на вал;

I – момент інерції вала.

Розглядаємо вал як однорідний циліндр (диск). Тоді його момент інерції відносно геометричної осі буде дорівнювати

 

I = m₁ r².

Обертальний момент M, який діє на вал, дорівнює добутку сили натягу шнура T на радіус вала

M = T r.

 

Силу натягу шнура знайдемо з таких міркувань. На гирю діють дві сили: сила тяжіння m₂g, спрямована вниз, і сила T натягу шнура, спрямована вверх. Рівнодіюча цих сил викликає рівноприскорений рух гирі. За другим законом Ньютона

 

m₂ g – T = m₂ a,

звідки

T= m₂ (g – a).

Таким чином обертальний момент сил дорівнює

 

M = m₂ (g – a) r.

 

Підставивши у формулу (2) отримані значення M і I, знайдемо кутове прискорення вала

 

.

 

Для визначення лінійного прискорення гирі підставимо цей вираз у формулу (1), одержимо

,

звідки

Гідростатика

Основні формули

1. Витрата рідини в трубці, через яку вона тече:

а) об’ємна витрата рідини Q_V = S;

б) масова витрата рідини Q_m = S,

де S – площа перерізу трубки;

– швидкість протікання рідини;

– густина рідини в трубці.

2. Рівняння нерозривності струменя

3. Рівняння Бернуллі для ідеальної нестисливої рідини в загальному випадку

,

 

де р₁ і р₂ – статичні тиски у двох умовно виділених перерізах трубки;

і – швидкості рідини в цих перерізах;

і – динамічні тиски рідини в цих самих перерізах;

h₁ і h₂ – їх висота над деяким рівнем, прийнятим умовно за нульовий;

gh₁ і gh₂ – гідростатичні тиски.

Якщо обидва перерізи розміщені на одній висоті, рівняння Бернуллі буде мати такий вигляд:

.

 

4. Швидкість витікання рідини з малого отвору у відкритій широкій посудині

,

де h – глибина, на якій міститься отвір відносно верхнього рівня рідини в посудині.

 

5. Формула Пуазейля. Об’єм рідини або газу, що протікає за час t через довгу трубку, дорівнює

,

де r– радіус трубки;

l – її довжина;

– різниця тисків на кінцях трубки;

– динамічна в’язкість (коефіцієнт внутрішнього тертя) рідини.

6. Число Рейнольдса для потоку рідини в довгих трубках

,

і для руху кульки в рідині

,

де < > – середня швидкість протікання рідини;

– швидкість кульки;

d – діаметр трубки або діаметр кульки.

 

Якщо Re<<Re _кр –течія рідини ламінарна; Re>>Re _кр –рух рідини переходить у турбулентний,

де Re _кр –критичне число Рейнольдса; (для руху кульки в рідині Re _кр = 0,5; для потоку рідини Re _кр = 2300).

7. Формула Стокса. Сила опору F, що діє з боку рідини на кульку, яка повільно рухається в ній, дорівнює

 

,

де r – радіус кульки;

υ – швидкість руху кульки.

Формула Стокса справедлива для швидкостей при яких Re<<1.

Задачі

1. Прямолінійний рух матеріальної точки описується рівнянням . Знайти екстремальне значення швидкості точки ₁ та момент часу t₁ від початку руху, коли ця швидкість стає екстремальною.У який момент часу t₂ швидкість ₂ = 0?

Відповідь: t₁ = 5,3 c; t₂ = 10,66 c.

 

2. Рівняння руху двох матеріальних точок вздовж прямої лінії, мають вигляд: , де B₁ = 12 м/с, і , де B₂ = 2 м/с, . У який момент часу швидкості цих точок будуть однаковими? Чому дорівнюють швидкості і прискорення точок у цей момент часу?

Відповідь: t = 1,1 c; = 3,11 м/с; а₁ = -8 м/с²; = 3,11 м/с; а₂ =1 м/с².

 

3. Рівняння руху точки вздовж прямої лінії має вигляд: , де А = 6 м/с і . Визначити силу, яка діє на точку в момент часу t = 2 с. Маса точки m = 0,2 кг.

Відповідь: F = 0,3 Н.

 

4. Визначити повне прискорення точки на ободі колеса радіусом 0,5 м, в момент часу t = 3с. Рівняння обертання колеса: де А = 2 рад/c, B = 0,2 рад/c³.

Відповідь: а = 27,44 м/с².

 

5. Точка рухається по колу радіусом 8 м. У деякий момент часу нормальне прискорення точки дорівнює 4м/c², вектор повного прискорення утворює у цей момент із вектором нормального прискорення кут 60^o. Знайти швидкість і тангенціальне прискорення a_τ точки.

Відповідь: = 5,65 м/с; .

 

6. Матеріальна точка рухається прямолінійно. Рівняння руху має вигляд: , де А = 3 м/с, B = 0,06 м/c³. Знайти швидкість і прискорення точки в моменти часу t₁ = 0 і t₂ = 3с. Яке середнє значення швидкості за перші 3 с?

Відповідь: = 3м/с; а₁ = 0; а = 1,08 м/с²; .

 

7. Швидкість частинки, яка рухається прямолінійно, змінюється за законом , де А=12м/с і B=2м/c². Знайти: а) екстремальне значення швидкості частинки; б) координату х частинки для цього ж моменту часу, якщо в момент t = 0, х₀ = 0.

Відповідь: υ_е = 18м/с; х = 36.

 

8. Рівняння руху матеріальної точки вздовж прямої має вигляд: , де А = 4 м, В = 2 м/с, С = - 5 м/c². Знайти момент часу, в який швидкість точки = 0. Чому дорівнює координата х і прискорення а точки в цей момент часу?

Відповідь: t = 0,2 c; x = 4,2 м; a = -10 м/с².

 

9. Частинка рухається по прямій за законом , де А = 3м, В = 2,5 м/с, С = 0,25 м/c³. Знайти середні значення швидкості і прискорення в інтервалі часу від t₁ = 1c до t₂ = 6c.

Відповідь: ; а_{ср .} = 5,25 м/с².

 

10. Частинка рухається прямолінійно з прискоренням а = 2В, де B = - 0,5 м/c². У момент часу t = 0 координата частинки x₀ = 0, швидкість ₀ = A, де А = 2 м/с. Знайти: а) швидкість частинки в кінці третьої секунди; б) координату частинки через 3с після початку руху; в) шлях, пройдений частинкою за цей час.

Відповідь: υ = -1 м/с; х = 1,5 м; S = 1,5м.

 

11. Точка рухалася впродовж t₁=15c зі швидкістю υ₁ = 5м/с, t₂ = 10c зі швидкістю υ₂ = 8м/с і t₃ = 6 с зі швидкістю υ₃ =20м/c. Яка середня шляхова швидкість точки?

Відповідь: = 8,87 м/с.

 

12. Рівняння прямолінійного руху має вигляд x = At + Вt², де А = 4 м/с; В = -0,05м/с². Побудувати графіки залежності координати й шляху від часу для даного руху.

 

13. Камінь падає з висоти h = 1200 м. Який шлях s пройде камінь за останню секунду свого падіння?

Відповідь: s = 150 м.

 

14. Тіло зсувається з похилої площини, яка утворює кут 45^o з горизонтом. Пройшовши шлях 36,4 см, тіло набуває швидкості 2 м/с. Чому дорівнює коефіцієнт тертя тіла об площину.

Відповідь: μ = 0,2.

 

15. Тіло зсувається з похилої площини, яка утворює кут 45^o з горизонтом. Залежність пройденого тілом шляху від часу задається рівнянням: . Знайти коефіцієнт тертя тіла об площину.

Відповідь: μ = 0,51.

 

16. Похила площина довжиною 2м утворює кут 25^o з площиною горизонту. Тіло, рухаючись рівноприскорено, зсувається з цієї площини за час 2 с. Визначити коефіцієнт тертя тіла об площину.

Відповідь: μ = 0,35.

 

17. Схил крижаної гори направлений під кутом 30^o до горизонту. Рухаючись по схилу знизу вверх, тіло в деякій точці має швидкість 10 м/с. Коефіцієнт тертя ковзання 0,1. Яку швидкість буде мати це тіло після його повернення в початкове положення?

Відповідь: υ = 8,4 м/с.

 

18. У вагоні, що рухається горизонтально та прямолінійно з прискоренням a = 2 м/c², висить на шнурі вантаж масою m = 0,2 кг. Знайти силу натягу шнура і кут відхилення шнура від вертикалі.

Відповідь: F_н = 2,04 Н; φ = 11,3^о.

 

19. Під час руху автомобіля масою 10³ кг на нього діє сила тертя, яка дорівнює 0,1 його сили тяжіння. Яку силу тяги має розвивати двигун автомобіля, увипадках: а) рівномірного руху; б) руху з прискоренням а = 2,4 м/c²?

Відповідь: F₁ = 1000 H; F₂ = 3400 H.

 

20. Тіло зсуваєтся з похилої площини, кут нахилу якої α = 30^o. У деякій точці В швидкість тіла ₁ = 0,14 м/c, а в точці С, що знаходиться нижче точки В, швидкість тіла ₂ = 2,57 м/c. Коефіцієнт тертя тіла об площину μ = 0,1. Скільки часу тіло рухається від точки В в точку С.

Відповідь: t = 0,59 c.

 

21. Диск обертається з кутовим прискоренням ε = -2 рад/с². Скільки оборотів N виконає диск при зміні частоти обертання від n₁ = 240 хв^-1 до n₂ = 90 хв^-1? Визначити також час , протягом якого це відбудеться.

Відповідь: 7,85 с.

 

22. До пружинних терезів підвішений блок. Через блок перекинутий шнур, до кінців якого прив'язані тягарці масами m₁ = 1,5 кг і m₂ = 3 кг. Які будуть покази терезів під час руху тягарців? Масою блока та шнура знехтувати.

Відповідь: F = 39,2 Н.

 

23. Кулька масою т = 300 г ударяється об стіну й відскакує від неї. Визначити імпульс р₁, отриманий стіною, якщо в останній момент перед ударом кулька мала швидкість υ_про = 10 м/с, спрямовану під кутом а = 30° до поверхні стіни. Удар вважати абсолютно пружним.

Відповідь: р₁ = 3 Н^.с.

 

24. Катер масою т = 2 т із двигуном потужністю N = 50 кВт розвиває максимальну швидкість υ_тах = 25 м/с. Визначити час t, впродовж якого катер після вимикання двигуна втратить половину своєї швидкості.

Відповідь: t = 25 с.

 

25. Снаряд масою т = 10кг, випущений із зенітної гармати вертикально вгору зі швидкістю υ_о= 800 м/с. Вважаючи силу опору повітря пропорційною швидкості, визначити час t піднімання снаряда до найвищої точки. Коефіцієнт опору k = 0,25 кг/с.

Відповідь: t = 44,5 с.

 

26. З гелікоптера, що нерухомо висить на деякій висоті над поверхнею Землі, скинутий вантаж масою т = 100 кг. Вважаючи, що сила опору повітря змінюється пропорційно швидкості, визначити, через який проміжок часу t прискорення а вантажу буде дорівнювати половині прискорення вільного падіння. Коефіцієнт опору k = 10 кг/с.

Відповідь: t = 6,93 с.

 

27. Катер масою т = 400 кг починає рухатися по озеру. Сила тяги F двигуна катера дорівнює 0,2 кН. Вважаючи силу опору F_о пропорційною швидкості, визначити швидкість катера через t = 20 с після початку його руху. Коефіцієнт опору k = 20 кг/с.

Відповідь: = 6,3 м/с.

 

28. Катер масою т = 2 т починає рухатися з місця й протягом часу t = 10 с розвиває при русі по спокійній воді швидкість = 4 м/с. Визначити силу тяги F двигуна катера, вважаючи її постійною. Прийняти силу опору F_о руху пропорційною швидкості тіла. Коефіцієнт опору k = 100 кг /с.

Відповідь: F = 1,03 кН.

 

29. Парашутист, маса якого т = 80 кг, здійснює затяжний стрибок. Вважаючи, що сила опору повітря пропорційна швидкості, визначити, через який проміжок часу t швидкість руху парашутиста буде дорівнювати 0,9 від швидкості усталеного руху. Коефіцієнт опору k = 10 кг/с. Початкова швидкість парашутиста дорівнює нулю.

Відповідь: t = 18,4 с.

 

30. З якої найменшої висоти h повинен почати їхати акробат на велосипеді (не працюючи ногами), щоб проїхати по доріжці, яка має форму «мертвої петлі» радіусом R = 4 м, і не відірватися від доріжки у верхній її точці? Тертям знехтувати.

Відповідь: h = 10 м.

 

31. Куля масою т = 10 г, яка летіла зі швидкістю = 600 м/с, потрапила в балістичний маятник (рис. 4) масою М = 5 кг і застрягла в ньому. На яку висоту h, відхилившись після удару, підніметься маятник?

Відповідь: h = 7,34 см.

 

32. У балістичний маятник масою М = 5 кг потрапила куля масою т = 10 г і застрягла в ньому. Знайти швидкість кулі, якщо маятник, відхилившись після удару, піднявся на висоту h = 10 см.

Відповідь: = 701 м/с.

 

33. Бойок пальового молота масою т₁ = 500 кг падає з деякої висоти на палю, масою т₂ = 100 кг. Знайти к.к.д. η удару бойка, вважаючи удар непружним. Зміною потенціальної енергії палі при її заглибленні знехтувати.

Відповідь: η = 0,167.

 

34. Чому дорівнює імпульс сили, який отримує стінка при ударі об неї кульки масою 300 г, якщо кулька рухалася зі швидкістю 8 м/с під кутом 60^o до площини стінки? Удар об стінку вважати пружним.

Відповідь: .

 

35. Снаряд, який летить зі швидкістю 400 м/с, розривається на два осколки. Менший осколок, маса якого складає 40% від маси снаряда, полетів у протилежному напрямку зі швидкістю 150 м/с. Визначити величину і напрям вектора швидкості великого осколка.

Відповідь: υ = 763 м/с.

 

36. М’яч масою 100 г вільно падає з висоти 1 м на сталеву плиту і після зіткнення, підстрибує на висоту 0,5 м. Який імпульс за величиною і напрямком одержує плита в цьому випадку?

Відповідь: = 0,756 Н^.с.

 

37. Ракета, маса якої разом із зарядом 250 г, злітає вертикально вгору і досягає висоти 150 м. Визначити швидкість виходу газів з ракети, вважаючи, що згоряння заряду відбувається миттєво. Маса заряду - 50 г.

Відповідь: υ = 217 м/с.

 

38. Гармата, що стоїть на дуже гладкій горизонтальній поверхні, стріляє під кутом 30^o до горизонту. Маса снаряда 20 кг, а його початкова швидкість 200 м/с. Якої швидкості набуває гармата після пострілу, якщо її маса 500 кг.

Відповідь: υ = 6,92 м/с.

 

39. У човні масою 240 кг стоїть людина масою 60 кг. Човен пливе зі швидкістю 2 м/с. Людина стрибає з човна в горизонтальному напрямі зі швидкістю 4 м/с (відносно човна). Знайти швидкість руху човна після стрибка людини, якщо: а) стрибок відбувається в напрямі руху човна;

б) стрибок відбувається в протилежному напряму до руху човна.

Відповідь: ₂ = 3,5 м/с.

 

40. Людина масою 60 кг, яка біжить зі швидкістю 8 км / год, наздоганяє візок масою 80 кг, що рухається зі швидкістю 2,9 км/год і застрибує на нього. З якою швидкістю буде рухатися візок разом з людиною? З якою швидкістю буде рухатися візок, якщо людина бігла йому назустріч?

Відповідь: = 1,41 м/с.

 

41. Снаряд масою 100 кг, що летить горизонтально вздовж залізничної колії зі швидкістю 500 м/с, попадає у вагон з піском масою 10⁴ кг і застрягає в ньому. Яку швидкість буде мати вагон, якщо він рухався зі швидкістю 36 км/год у напрямі, протилежному до напряму руху снаряда?

Відповідь: = 14,85 м/с.

 

42. У скільки разів зменшиться швидкість атома гелію після пружної взаємодії з нерухомим атомом водню, маса якого в 4 рази менша маси атома гелію?

Відповідь:

43. Назустріч одна одній рухаються дві кулі масами m₁ і m₂. Кінетична енергія другої кулі в 20 разів більша кінетичної енергії першої кулі. Між кулями відбувається абсолютно непружний удар. Яке має бути відношення мас цих куль m₁ / m₂, щоб після взаємодії вони рухалися в сторону руху першої кулі?

Відповідь: m₁ / m₂ > 20.

 

44. Частинка масою m₁ = 10^{-24 г} має кінетичну енергію T₁ = 9 нДж. У результаті пружного зіткнення з частинкою, яка перебуває в спокої масою т₂ = 4 ∙ 10^{‑ 24 г}, її кінетична енергія дорівнює Т₂ = 5 нДж. Визначити кут, на який відхилиться частинка від свого початкового напрямку.

Відповідь: 126^о.

 

45. Знайти момент інерції тонкого однорідного кільця радіусом R = 20 см і масою т = 100 г відносно осі, яка лежить у площині кільця та проходить через його центр.

Відповідь: ½^.mR².

 

46. Через нерухомий блок масою т = 0,2 кг перекинутий шнур, до кінців якого підвісили тягарці масами т₁ = 0,3 кг і т₂ = 0,5 кг. Визначити сили Т₁ і Т₂ натягу шнура з обох боків блока під час руху тягарців, якщо маса у блоці рівномірно розподілена по ободу.

Відповідь: 3,53 Н; 3,92 Н.

 

47. Маховик обертається за законом, що виражається рівнянням ,де А = 2 рад; В = 32 рад/с; С = - 4 рад/с². Знайти середню потужність < N >, яка розвивається діючими на маховик силами при його обертанні до зупинки, якщо момент інерції маховика J = 100 кг∙ м².

Відповідь: 12,8 кВт.

 

48. Кінетична енергія Т обертання маховика дорівнює 1 кДж. Під дією постійного гальмівного моментумаховик почав обертатися рівносповільнено й, виконавши N = 80 обертів, зупинився. Визначити момент М сили гальмування.

Відповідь: 1,99 Н^.м.

 

49. На столі стоїть візок масою m₁ = 4 кг. До візка прив'язаний один кінець шнура, перекинутого через блок. З яким прискоренням а буде рухатися візок, якщо до іншого кінця шнура прив'язати гирю масою m₂ = 1 кг. Блок невагомий. Тертя в блоці відсутнє.

Відповідь: а = 1,96 м/с².

 

50. Похила площина, що утворює кут a = 25° із горизонтом, має довжину l = 2 м. Тіло, рухаючись рівноприскорено, зісковзнуло з цієї площини за час t = 2 с. Знайти коефіцієнт тертя f тіла об площину.

Відповідь: f = 0,35.

 

51. Матеріальна точка масою m = 2 кг рухається під дією деякої сили F відповідно до рівняння х = A + Bt + Ct² + Dt³, де C = 1 м/с², D = - 0,2 м/с³. Знайти значення цієї сили в моменти часу t₁ = 2с і t₂ = 5с. У який момент часу сила дорівнює нулю?

Відповідь: F₁ = -0,8 Н; F₂ = -8 Н; F = 0 при t =1,67 с.

 

52. Парашутист масою 70 кг, здійснюючи затяжний стрибок, через 14 с досягає швидкості 60 м/с. Чому дорівнює робота з подолання опору повітря, якщо рух парашутиста є рівноприскореним?

Відповідь: A_on = 0,533 МДж.

 

53. Яку роботу слід виконати, щоб підняти вантаж масою 10 кг вздовж похилої площини з кутом нахилу 45^o на відстань 2 м, якщо час підняття 2с, а коефіцієнт тертя μ = 0,1?

Відповідь: А = 175,54 Дж.

 

54. Пружина жорсткістю 500 Н/м стиснута силою F = 100 Н. Яку роботу зовнішньої сили слід виконати, щоб додатково стиснути цю пружину ще на 2 см?

Відповідь: А = 2,1 Дж.

55. Яку роботу слід виконати, щоб на шляху 10 м збільшити швидкість руху тіла масою 10 кг від 2 м/с до 6 м/с? Сила тертя постійна F = 20Н.

Відповідь: А = 360 Дж.

 

56. Тіло масою 5 кг вдаряється об нерухоме тіло масою 2,5 кг, яке після удару починає рухатися з кінетичною енергією 5 Дж. Вважаючи удар центральним і пружним, визначити кінетичну енергію першого тіла до і після удару.

Відповідь: К₁ = 5,625 Дж; К₂ = 0,625 Дж.

 

57. Дві кулі підвішені на рівнобіжних нитках однакової довжини так, що вони дотикаються. Маса першої кулі – 0,2 кг, маса другої – 100 г. Першу кулю відхиляють так, що її центр мас піднімається на висоту 4,5 см, і відпускають. На яку висоту піднімуться кулі після зіткнення, якщо удар непружний.

Відповідь: h₂ = 2,24 см.

 

58. Вантаж, який покладений на чашку терезів, стискає пружину на x₁ = 5 см. Знайти величину стиснення пружини для випадку, коли цей же вантаж падає на чашку терезів з висоти h = 10 см.

Відповідь: х₂ = 0,16 м.

 

59. Тіло масою m = 2 кг під дією постійної сили рухається прямолінійно, причому залежність координати х тіла від часу визначається рівністю x = B + Ct + Dt², де В = 1 м, С = 2 м/c, D = 3 м/c². Знайти роботу, яку виконує ця сила в інтервалі часу від 0 до t = 3 с.

Відповідь: А =396 Дж.

 

60. Тіло масою m = 2 кг рухається вгору по похилій площині, яка складає кут α = 30^o з горизонтом. Початкова швидкість тіла = 10 м/c, коефіцієнт тертя μ = 0,1. Знайти: а) шлях, який пройде це тіло до зупинки; б) роботу сили тертя на цьому шляху.

Відповідь: s = 8,7 м; А_тр.= -14,75 Дж.

 

61. У балістичний маятник масою М = 4 кг попадає куля масою m = 10 г, яка летить горизонтально зі швидкістю = 400 м/с і застрягає в ньому. Знайти висоту, на яку підніметься маятник з кулею після удару.

Відповідь: h = 4,97с м.

62. Диск радіусом R = 40 см обертається навколо вертикальної осі. На краю диска лежить деяке тіло. Приймаючи коефіцієнт тертя f = 0,4, знайти частоту п обертання, при якій тіло зісковзне з диска.

Відповідь: п = 0,5 с^-1.

 

63. До шнура підвішена гиря. Гирю відвели від положення рівноваги так, що шнур набув горизонтального положення, і відпустили. Чому дорівнює сила Т натягу шнура в момент, коли гиря проходить положення рівноваги? Який кут φ з вертикаллю утворює шнур у момент, коли сила натягу шнура дорівнює силі тяжіння гирі?

Відповідь: Т = 3mg; φ = 70,50 ^о.

 

64. Яку найбільшу швидкість υ_mах може розвинути велосипедист, проїжджаючи заокруглення радіусом R = 50 м, якщо коефіцієнт тертя ковзання між шинами і асфальтом дорівнює 0,3? Який кут φ відхилення велосипеда від вертикалі, коли велосипедист рухається по заокругленню?

Відповідь: υ_mах = 12,1м/с; φ =16,7 ^о.

 

65. Вал обертається з частотою п = 2400 хв^-1. До вала перпендикулярно до його довжини прикріплений стрижень дуже малої маси, що має на кінцях два тягарці масою m = 1 кг кожний, які розміщені на відстані r = 0,2 м від осі вала. Знайти силу F, яка розтягує стрижень при обертанні вала.

Відповідь: F =12,7 кН.

 

66. На гладенькому столі лежить брусок масою m = 4 кг. До бруска прив'язані два шнури, перекинуті через нерухомі блоки, прикріплені до протилежних країв столу. До кінців шнурів підвішені гирі, маса яких m₁ =1 кг і m₂ = 2 кг. Знайти прискорення a, з яким рухається брусок, і силу T натягу кожного зі шнурів. Масою блоків і тертям в них знехтувати.

Відповідь: а = 1,4 м/с²; Т₁ = 11,2 Н; Т₂ = 16,8 Н.

 

67. Шайба, пущена по поверхні льоду з початковою швидкістю υ₀ = 20 м/с, зупинилася через t = 40 с. Знайти коефіцієнт тертя f шайби об лід.

Відповідь: f = 0,051.

 

68. На горизонтальній поверхні розміщений брусок масою m₁ = 2 кг. Коефіцієнт тертя f₁ бруска об поверхню дорівнює 0,2. На бруску лежить інший брусок масою m₂ = 8 кг. Коефіцієнт тертя f₂ верхнього бруска об нижній дорівнює 0,3. До верхнього бруска прикладена сила F. Визначити: а) значення сили F₁, при якій почнеться спільне ковзання брусків по поверхні; б) значення сили F₂, при якій верхній брусок почне проковзувати відносно нижнього.

Відповідь: F₁ = 19,6 Н; F₂ = 39,2 Н.

 

69. Початкова швидкість υ₀ кулі дорівнює 800 м/с. При русі в повітрі за час t = 0,8 с її швидкість зменшилася до υ = 200 м/с. Маса m кулі дорівнює 10 г. Вважаючи силу опору повітря пропорційною квадрату швидкості, визначити коефіцієнт опору к. Дією сили тяжіння знехтувати.

Відповідь: к = 4,7 · 10^-5 кг/м.

 

70. Акробат на мотоциклі описує «мертву петлю» радіусом r = 4 м. З якою найменшою швидкістю υ_min повинен проїжджати акробат верхню точку петлі, щоб не зірватися?

Відповідь: υ_min = 6,26 м/с.

 

71. Тягарець, прив'язаний до нитки довжиною l = 1 м, описує коло у горизонтальній площині. Визначити період Т обертання, якщо нитка відхилена на кут φ = 60 ° від вертикалі.

Відповідь: Т = 2,47 с.

 

72. При насадці маховика на вісь центр тяжіння виявився на відстані r = 0,1 мм від осі обертання. У яких межах змінюється сила F тиску осі на підшипники, якщо частота обертання маховика п = 10с^-1? Маса m маховика дорівнює 100 кг.

Відповідь: F_max = 1,02 кH; F_min = 942 H.

 

73. Літак масою m = 2,5 т летить зі швидкістю υ = 400 км/год. Він виконує у горизонтальній площині віраж (віраж – політ літака по дузі кола з деяким кутом нахилу). Радіус R траєкторії літака дорівнює 500 м. Знайти поперечний кут φ нахилу літака і піднімальну силу F крил під час польоту.

Відповідь: φ = 68 °; F = 65,4 кН.

 

74. Куля масою m₁ = 10 кг, що рухається зі швидкістю υ₁ = 4 м/с, зіштовхується з кулею масою m₂ = 4 кг, швидкість υ₂ якої дорівнює 12 м/с. Вважаючи удар прямим, непружним, знайти швидкість u куль після удару в двох випадках: а) менша куля наздоганяє більшу кулю, що рухається в тому самому напрямі; б) кулі рухаються назустріч одна одній.

Відповідь: u₁ = 6,3 м/с; u₂ = -0,57 м/с.

 

75. На підлозі стоїть візок у вигляді довгої дошки з легкими колесами. На одному кінці дошки стоїть людина. Маса людини М = 60 кг, маса дошки m = 20 кг. З якою швидкістю u (відносно підлоги) буде рухатися візок, якщо людина піде вздовж дошки зі швидкістю (відносно дошки) υ = 1 м/с? Масою коліс знехтувати. Тертя у втулках коліс не враховувати.

Відповідь: u = 0,75 м/с.

 

76. Снаряд масою m = 10 кг мав швидкість υ = 200 м/с у верхній точці траєкторії. У цій точці він розірвався на дві частини. Менша частина снаряда масою m₁ = 3 кг полетіла вперед під кутом φ₁ = 60° до горизонту із швидкістю u₁ = 400 м/с. Знайти, з якою швидкістю u₂ і під яким кутом φ₂ до горизонту полетить велика частина снаряда.

Відповідь: u₂ = 249 м/с; φ₂ = 36,6^о.

 

77. Обчислити роботу А, яка виконується при рівноприскореному підніманні вантажу масою m = 100 кг на висоту h = 4 м за час t = 2 с.

Відповідь: А = 4,72 кДж.

 

78. Тіло масою m = 1 кг кинуте з вежі в горизонтальному напрямі зі швидкістю υ_o = 20 м/с через t = 3 с упало на землю. Визначити кінетичну енергію К, що мало тіло в момент удару об землю. Опором повітря знехтувати.

Відповідь: К = 663 Дж.

 

79. Два вантажі масами m₁ = 10 кг і m₂ = 15 кг підвішені на нитках довжиною l = 2 м так, що вантажі дотикаються між собою. Менший вантаж був відхилений на кут φ = 60° і відпущений. Визначити висоту h, на яку піднімуться обидва вантажі після удару. Удар вантажів вважати абсолютно непружним.

Відповідь: h = 16 см.

 

80. Куля масою m ₁, яка летить зі швидкістю υ₁ = 5 м/с, ударяє нерухому кулю масою m₂. Удар прямий, непружний. Визначити швидкість u куль після удару, а також частину w кінетичної енергії кулі, що перебуває в русі, яка витрачається на збільшення їх внутрішньої енергії. Розглянути два випадки: а) m₁ = 2 кг, m₂ = 8 кг; б) m₁ = 8 кг, m₂ = 2 кг.

Відповідь: а) u = 1 м/с, w = 0,8; б) u = 4 м/с, w = 0,2.

 

81. Куля масою m₁ = 200 г, що рухається зі швидкістю υ₁ = 10м/с, ударяє нерухому кулю масою m₂ = 800 г. Удар прямий, абсолютно пружний. Які будуть швидкості u₁ і u₂ куль після удару?

Відповідь: -6 м/с; 4 м/с.

 

82. У човні масою m₁ = 200 кг стоїть людина масою m₂ = 65 кг. Човен пливе зі швидкістю υ₁ = 3 м/с. Людина стрибає з човна в горизонтальному напрямку зі швидкістю u₂ = 4 м/с (відносно човна). Знайти швидкість руху човна після стрибка людини у бік, протилежний руху човна.

Відповідь: 5,78 м/с.

 

83. На підлозі стоїть візок у вигляді довгої дошки з легкими колесами. На одному кінці дошки стоїть людина. Маса людини М = 60 кг, маса дошки m = 20 кг. Знайти, на яку відстань d: а) переміститься візок, якщо людина перейде з швидкістю 1 м/с відносно дошки на інший кінець дошки; б) переміститься людина відносно підлоги; в) переміститься центр мас системи візок – людина відносно дошки і відносно підлоги. Довжина дошки дорівнює 2 м. Масою коліс знехтувати. Тертя у втулках коліс не враховувати.

Відповідь: а) 1,5м; б) 0,5 м; в) 0.

 

84. На залізничній платформі встановлена гармата. Маса платформи із гарматою М = 15 т. Гармата стріляє вгору під кутом α = 60° до горизонту в напрямі рейок. З якою швидкістю υ₁ покотиться платформа внаслідок віддачі, якщо маса снаряда m = 20 кг і він вилітає зі швидкістю υ₂ = 600 м/с?

Відповідь: 0,4 м/с.

 

85. Обчислити роботу А, що виконується на шляху S = 12 м силою, яка рівномірно зростає, якщо на початку шляху сила F₁ = 10 Н, наприкінці шляху F₂ = 46 Н.

Відповідь: 336 Дж.

 

86. Камінь кинуто вгору під кутом φ = 60° до горизонту. Кінетична енергія К₀ каменя в початковий момент часу дорівнює 20 Дж. Визначити кінетичну К і потенціальну П енергії каменя у найвищій точці його траєкторії. Опором повітря знехтувати.

Відповідь: 5 Дж; 15 Дж.

 

87. В балістичний маятник масою М = 5 кг потрапила куля масою m = 10 г і застрягла в ньому. Знайти швидкість υ кулі, якщо маятник, відхилившись після удару, піднявся на висоту h = 10 см.

Відповідь: υ = 701 м/с.

 

88. Молот масою m₁ = 5 кг ударяє невеликий шматок заліза, що лежить на ковадлі. Маса m₂ ковадла дорівнює 100 кг. Масою шматка заліза знехтувати. Удар непружний. Визначити ККД η удару молота за даних умо.

Відповідь: η = 0,952.

 

89. З двох абсолютно пружних куль, які співударяються, більша куля нерухома. У результаті прямого удару менша куля втратила w = 3/4 своєї кінетичної енергії К₁. Визначити співвідношення М/m мас куль.

Відповідь: М/m = 3.

 

90. Суцільний циліндр масою m = 2 кг котиться без ковзання по горизонтальній поверхні. Лінійна швидкість осі циліндра 1 м/с. Визначити повну кінетичну енергію цього циліндра.

Відповідь: К = 1,5 Дж.

 

91. На барабан радіусом 20 см з моментом інерції 0,1 кг·м² намотана мотузка, до якої прив'язаний вантаж масою 0,5 кг. До початку обертання барабана висота вантажу над підлогою дорівнює 1 м. Знайти: а) через який час вантаж опуститься до підлоги; б) кінетичну енергію вантажу в момент удару об підлогу. Тертям знехтувати.

Відповідь: t = 1,095 c; K =0,825 Дж.

 

92. Диск масою 1 кг і діаметром 60 см обертається з частотою 20 об/с навколо осі, яка проходить через центр, перпендикулярно до площини диска. Яку роботу треба виконати, щоб зупинити диск?

Відповідь: А = 1,42 кДж.

 

93. На барабан радіусом 0,5м намотана мотузка, до кінця якої прив'язаний вантаж масою 10 кг. Знайти момент інерції барабана, якщо відомо, що вантаж опускається з прискоренням 2,04 м/c²?

Відповідь: І = 9,51 кг^.м².

 

94. Махове колесо з моментом інерції 245 кг·м², яке здійснює обертальний рух з частотою n = 20 об./с, під дією гальмівного моменту сил тертя зупинилося через час t = 1 хв. Знайти: а) момент сил тертя; б) число обертів, які здійснило це колесо до повної зупинки.

Відповідь: М = 512,8 Н ^. м; N = 3768 об.

 

95. Маховик, момент інерції якого дорівнює 53,6 кг·м², обертається з постійною кутовою швидкістю 31,4 рад/с. Знайти гальмівний момент, під дією якого маховик зупиняється через 20 с і роботу сил гальмування.

Відповідь: М = 84,15 Н^.м; А = 2,64^.10⁴ Дж.

 

96. Блок, що має форму диска масою 0,4 кг, обертається під дією сили натягу мотузки, до кінців якої підвішені тягарці масами 0,3 кг і 0,7 кг. Визначити сили натягу мотузки з обох боків блока.

Відповідь: N₁ = 4 H; N₂ = 9,66 H.

 

97. Визначити момент сили, який необхідно прикласти до блока, що обертається з частотою 12 c^-1, щоб він зупинився впродовж 8 с. Діаметр блока 30 см. Масу блока 6 кг вважати рівномірно розподіленою по ободу.

Відповідь: M = 1,27 H^.м.

 

98. Нитка, з прив'язаними до її кінців тягарцями масою 50 г і 60 г, перекинута через блок діаметром 4 см. Визначити момент інерції блока, якщо під дією сил натягу ниток він одержав кутове прискорення 1,5 рад/c²?

Відповідь: І = 2,43^.10^{-3 кг.}м².

 

99. На обід маховика діаметром 60 см намотана мотузка, до кінця якої прив'язаний вантаж масою 2 к г. Визначити момент інерції маховика, якщо він, обертаючись рівноприскорено, за час 3 с набув кутової швидкості 9 рад/с.

Відповідь: І = 1,78 кг · м².

 

100. Обчислити момент інерції J прямокутника з дроту із сторонами а = 12 см і b = 16 см відносно осі, що лежить у площині прямокутника і проходить через середини малих сторін. Маса рівномірно розподілена за довжиною дроту з лінійною густиною τ = 0,1 кг/м.

Відповідь: J = 1,44^.10^{-4 кг.}м².

 

101. Знайти момент інерції J тонкого однорідного кільця радіусом R = 20 см і масою m = 100 г відносно осі, що лежить у площині кільця і проходить через його центр.

Відповідь: J = 2^.10^{-3 кг.}м².

 

 

102. Однорідний диск радіусом R = 10 см (рис. 5) може вільно обертатися навколо горизонтальної осі, перпендикулярної до площини диска, що проходить через точку О на рисунку. Диск відхилили на кут α і відпустили. Визначити для початкового моменту часу кутове і тангенціальне а_τ прискорення точки В, що міститься на диску. Обчислення виконати для таких випадків: а) а = R, b = R/2, α = π/2; б) a = R/2, b= R, α= π/6; в) а =2/3R, Рисунок 5

b = 2/3R, а= 2/3 π.

Відповідь: а)65,3рад/с², 9,8м/с²; б)32,7рад/с², 4,9 м/с²;в) 59,9 рад/с², 7,99 м/с².

103. Через блок, що має форму диска, перекинутий шнур. До кінців шнура прив'язали тягарці масами m₁ = 100 г і m₂ = 110 г. З яким прискоренням а будуть рухатися тягарці, якщо маса m блока дорівнює 400 г? Тертям при обертанні блока знехтувати.

Відповідь: а = 0,24 м/с².

 

104. Платформа, що має форму диска, може обертатися навколо вертикальної осі. На краю платформи стоїть людина масою m₁ = 60 кг. На який кут φ повернеться платформа, якщо людина піде вздовж краю платформи і, обійшовши її, повернеться у вихідну точку на платформі? Маса m₂ платформи дорівнює 240 кг. Момент інерції J людини розраховувати як для матеріальної точки.

Відповідь: φ = 120^о.

 

105. На краю платформи у формі диска, яка обертається за інерцією навколо вертикальної осі з частотою 8 хв<