Приклади розв’язування задач. Приклад 1.Відстань d між двома когерентними джерелами світла ( = 0,5 мкм) дорівнює 0,1 мм

Приклад 1. Відстань d між двома когерентними джерелами світла ( = 0,5 мкм) дорівнює 0,1 мм. Відстань b між сусідніми інтерференційними максимумами в середній частині екрана дорівнює 1 см. Визначити відстань L від джерела до екрана.

Дано:

d = 0,1 мм

= 0,5 мм

b = 1 cм

L -?

 

Рисунок 8

 

Розв’язування. З подібності трикутників S₁S₂C і О₁ОР знаходимо наближене відношення сторін (рис.8).

 

звідки

 

В точці P спостерігається k – й максимум інтерференції двох променів S₂k і S₁k, оптична різниця ходу між якими

 

.

 

З умови максимуму інтерференції двох променів маємо:

 

Тому

 

де у_k – відстань від 0 -го максимуму до k -го максимуму на екрані.

Для (k+1)- го максимуму

 

 

Ширина інтерференційної смуги

 

.

 

Звідки відстань від джерел світла до екрана

 

Підставимо числові значення

 

.

Відповідь: L = 2 м.

Приклад 2. На мильну плівку (n = 1,33), яка знаходиться у повітрі, падає перпендикулярно промінь білого світла. При якій найменшій товщині d плівки відбите світло з довжиною хвилі = 0,55 мкм виявиться максимально підсиленим в результаті інтерференції?

 

 

Дано:

n = 1,33

l = 0,55 мкм

____________

d_min –?

	Рисунок 9

Розв’язування. З рис.9 видно, що інтерферують промені 1 і 2, які відбиті від верхньої і нижньої поверхонь плівки. Оптична різниця ходу цих променів дорівнює

 

,

де – враховано повернення фази хвилі на протилежну при відбиванні від межі з оптично більш густим середовищем;

r₂ = 2dn – оптичний хід променя в тонкій плівці.

Тому

 

.

Для максимуму інтерференції виконується співвідношення:

 

.

Прирівняємо оптичні різниці ходу

 

Звідки

 

d = (2k+1) .

Якщо k = 0, то d = d_min

 

 

Підставимо числові значення

 

м.

Відповідь: d_min = 0,1 мкм

Приклад 3. Діаметри d_i i d_k двох світлих кілець Ньютона відповідно дорівнюють 4,0 і 4,8 мм. Порядкові номери кілець не визначались, але відомо, що між ними розміщені ще три світлих кільця. Кільця спостерігаються у відбитому світлі (l = 500 нм). Визначити радіус кривизни плоско-опуклої лінзи, взятої для досліду.

Дано:

d_i = 4,0 мм

d_k = 4,8мм

l = 500нм

k = i+3

___________

R –?

	Рисунок 10

 

Розв’язування.Співвідношення між радіусом сферичної поверхні плоско-опуклої лінзи R радіусом k- го кільця Ньютона і товщиною повітряного проміжку має такий вигляд:

 

R² = (R-d_k)² + r_k² або R² = R² - 2Rd_k + d_k² + r_k².

 

Нехтуючи за малістю d_k², знаходимо:

 

r_k² = 2R d_k. (1)

Аналогічно для і-го кільця:

 

r_i² = 2R d_i. (2)

 

Різниця ходу променів, які дають інтерференційну картину у випадку, коли промені падають перпендикулярно до системи, лінза – пластинка для максимумів інтерференції, виражається формулою:

2d_k + = kl.

Звідки

d_k = (2k - 1) . (3)

Для і-го світлого кільця

 

d_і = (2і – 1) . (4)

 

Підставимо (3) і (4) відповідно в (1) і (2)

 

r_k² = (2k – 1) .

r_i² = (2i – 1) . (5)

 

З урахуванням того, що k = і + 3, маємо

 

r_k² = (2і +5) . (6)

 

Від (6) віднімемо (5)

r_k² - r_i² = 3 Rl.

 

Звідки

.

 

Підставимо числові значення

 

R = м.

 

Відповідь: R = 1,17 м.

Приклад 4. Дві плоскопаралельні скляні пластинки утворюють клин з кутом a = . Простір між пластинками заповнено гліцерином (n = 1,47). На клин перпендикулярно до його поверхні падає промінь монохроматичного світла з довжиною хвилі l = 500 нм. В відбитому світлі спостерігається інтерференційна картина. Яке число N темних інтерференційних смуг вкладається на 1 см довжини клина?

Дано:

a =

n = 1,47

l = 500 нм

b = 1 см

___________

N –?

	Рисунок 11

 

 

Розв’язування. Оптичні різниці ходу променів в точках розміщення k- гоі (k + N) -го мінімумів (рис.11) дорівнюють:

 

D₁ = 2d_kn - ; D₂ = 2d_k+N n - .

 

Згідно з умовою мінімумів інтерференції запишемо

 

D₁ = (2k +1) ; D₂ = [2(k +N) +1] .

Або

(2k +1) = 2d_k n - звідки d_k = ;

 

= 2d_k+N n - звідки d_k+N = ;

 

З рисунка видно, що

tg a = ,

де Dd = d_k+N – d_k = _.

 

Тоді

tg a = .

Звідки

.

Для малих кутів tg a = a.

Тому

.

Підставимо числові значення

 

= 8,55 1/см.

Відповідь: N = 8,55 1/см.

 

Приклад 5. Визначити переміщення дзеркала в інтерферометрі Майкельсона, якщо інтерференційна картина зміcтилась на m = 100 смуг. Довжина хвилі світла 546 нм.

Дано:

m =100

l = 456 нм

___________

L –?

 

	Рисунок 12

Розв’язування. Переміщення дзеркала на відстань відповідає зміні різниці ходу променів на одну смугу (рис.12).

Таким чином, можна записати:

 

.

Підставимо числові значення

 

м.

 

Відповідь: L = 27,3 × 10^{-6 м.}

ДИФРАКЦІЯ СВІТЛА

Основні формули

1. Радіуси зон Френеля:

а) сферичний хвильовий фронт

 

;

б) плоский хвильовий фронт

 

,

де k – порядковий номер зони Френеля (k = 1, 2, 3,...);

l – довжина хвилі світла;

a – радіус хвильової поверхні;

b – відстань від вершини хвильової поверхні до екрана.

 

2. Умова максимумів дифракції на щілині

 

,

де b – ширина щілини;

j – кут дифракції;

k = 1, 2, 3,... – порядок максимуму або мінімуму дифракції.

 

3. Умова мінімумів дифракції на щілині

 

b sin j = k l.

 

4. Умова головних максимумів на дифракційній гратці

 

d sin j = k l,

 

де d – стала дифракційної гратки, яка дорівнює ширині однієї прозорої і однієї непрозорої смуг (d = b + a).

5. Кутова дисперсія гратки

 

,

 

де k – порядок спектра (k = 1, 2, 3,...);

j – кут дифракції.

6. Роздільна здатність дифракційної гратки:

 

,

де dl – найменший інтервал довжин хвиль, якi за умовою Релея можуть бути розділені;

k – порядок спектра (k = 1, 2, 3,...);

N – число всіх щілин в гратці.

 

7. Умова максимумів дифракції рентгенівських променів на просторовій гратці (формула Вульфа-Брегга)

 

2d sin j = ± k l,

 

де d – стала кристалічної структури;

j – кут між напрямком променя і поверхнею кристала;

k – порядок спектра (k = 1, 2, 3,...);

l – довжина хвилі.