Задачи для самостоятельного решения. Основные теоретические положения

Основные теоретические положения.

Прямая может лежать в плоскости, пересекаться о плоско­стью и быть параллельной плоскости.

Если прямая параллельна проецирующей плоскости, то на эпюре будут параллельны одноименные проекции прямой и следа плоскости.

Если прямая параллельна плоскости общего положения, то она должна быть параллельна какой-либо прямой вэтой плоско­сти.

Точка пересечения прямой и проецирующей плоскости на эпюре определяетсякак точка пересечения одноименных проек­ций и следа плоскости.

Точка пересечения прямой и плоскости общего положения определяется с помощью метода вспомогательных секущих плоскостей в следующем порядке:

а) через прямую нужно провести вспомогательную проеци­рующую плоскость;

б) построить линию пересечения вспомогательной плоско­сти с заданной;

в) точка пересечения заданной прямой и построенной ли­нии и будет искомой.

Если прямая перпендикулярна плоскости, то она должна быть перпендикулярна двум пересекающимся прямым плоскости, например, главным линиям плоскости, горизонтали h и фронтали f. Тогда проекции прямой l(l₁,l₂), перпендикулярной плоскости, будут перпендикулярны соответствующим проекциям главных ли­ний плоскости: l₁^h₁, l₂^f_2.

Две плоскости взаимно перпендикулярны, если в одной из них можно провести прямую, перпендикулярную другой плоскости.

Две прямые взаимно перпендикулярны, если одна из них лежит в плоскости, перпендикулярной второй прямой.

Примеры решения задач.

Пример 1. Найти точку пересечения прямой m(rn₁, m₂) с плоскостью треугольника АВС {рис.51). Определить види­мость, прямой относительно заданной плоскости.

Дано: Решение:

Рис.51.

Через прямую m строится вспомогатель­ная фронтально-проецирующая плоскость b(b₂) (можно взять и горизонтально-проецирующую плоскость). В этом случае следна эпюребудет совмещен с проекцией прямой m₂. Далее строится линия пересечения 1 2=bÇa, положениекоторой опре­делится точками 1 и 2, полученными от пересечения следа b₂, со сто­ронами треугольника. Точка пересе­чения построенной линии с задан­ной прямой К=12Çm и будетискомой точкой встречи. Для определе­ния видимости выбирается по паре конкурирующих точек на каждой про­екции чертежа, например, точки 1, 3 конкурируют относительно p₂. Точка 1 (точка, принадлежащая плоскости) ближе к нам, так как даль­ше удалена от p₂ , поэтому она и с ней отрезок АС (1ÎАС) зак­рывают прямую m, часть которой 3 К будет невидима на фронтальной проекции. В точке пересечения прямой и плоскости видимость сменится и после точки К₂ на фронтальной проекции прямая будет видима. Аналогично определяют видимость прямой и плоскости относительно p₁, используя, например, конку­рирующие точки 4-5.

Пример 2. Построить перпендикуляр к плоскости a(с||d) длиной 30мм (рис.52).

Дано: Решение:

Рис.52

Для восстановления перпендикуляра к плоскости нужно построить главныелинии плоскости - горизонталь h(h₁,h₂) и фронталь f(f₁,f₂).

Перпендикуляр l к пло­скостиможно восстанавливатьиз лю­бойее точки, например, из точки К(К₁К₂) - точки пересечения горизонтали и фронтали К=hÇf при этом, l₁^h₁ и l₂^h₂.

Для того, чтобы отложить на отрезке l заданную длину 30 мм, первоначально задаются произвольной отрезком К5 (точка 5 выбирается произвольно на перпендикуляре l), определяют его натуральную величину помощью треугольника K₁5₁5₀. После этого от точки К₁ вдоль К₁5₀ откладывают заданную длину перпендикуляра и отыскивают проекцию L₁. С помощью линий проекционной связи отыскивают вторую проекцию точки L₂: l(K₁L₁, K₂L₂) ^a.

Пример 3. Определить расстояние от точки А до плоскости a(a||b) (рис.53).

Дано: Решение:

Рис.53.

Задача решается в три этапа:

1) из точки А задать направление перпендикуляра к плоскости с помощью главных линий плоскости;

 

2) найти точку пересечения перпендикуляра и плоскости (пример 1).

 

3) с помощью прямоугольного треугольника определяем истинную величину отрезка перпендикуляра между заданной плоскостью и точкой встречи перпендикуляра и плоскости. Истинная величина этого отрезка – искомое расстояние между точкой и плоскостью.

 

Пример 4. Через точку р(р₁Р₂) Îm(m₁,m₂) построить плоскость, перпендикулярную прямой m (рис.54).

 

 

Дано: Решение:

 

Рис.54.

Через точку Р нуж­ но провести фронталь f и горизонталь h так, чтобы h₁^m₁, h₂^m₂. В этом случае прямая m будет перпендикулярна плоскости, заданной пересекающимися главными линиями m ^b(hÇf).

Задачи для самостоятельного решения.

Задача 1. По данной фронтальной проекции прямой а, параллельной плоскости треугольника АВС, построить ее горизонтальную проекцию (рис.55).

Рис.55.

Задача 2. Через точку С построить плоскость, параллельную заданной прямой a. Плоскость задать треугольником (рис.56).

 

Рис.56

 

Задача 3. Провести прямую АВ, параллельную прямой a и пересекающуюся с прямыми m и n (рис.57).

Рис.57.

Задача 4.Через точку А провести прямую, параллельную плоскости треугольника и профильной плоскости проекций p₃ (рис.58).

Рис.58.

Задача 5. Через точку Е построить плоскость, параллельную прямым АВ и CD(рис.59).

Рис.59.

Задача 6. Найти точку пересечения прямой АВ и плоскости, заданной различными способами. Для варианта а) рис.60 определить видимость прямой относительно плоскости.

а) б) с)

Рис.60.

Задача 7. Через точку А провести прямую, пересекающую данные прямые

ВС и DE (рис.61).

 

Рис.61

 

Задача 8. Построить геометрическое место точек, равноудаленных от двух заданных точек плоскости (рис.62).

Рис.62.

Задача 9. Через точку А провести прямую, перпендикулярную a и пересекающую прямую b (рис.63).

Рис.63.

Задача 10. Построить прямую АВ, удаленную от плоскости b(aÇb) на 45 мм (рис.64).

 

Рис.64

Задача 11. Определить расстояние между двумя параллельными плоскостями (рис.65).

Рис.65.

Задача 12. Определить расстояние между двумя параллельными прямыми (рис.66).

Рис.66.

Задача 13. На прямой АВ найти точку равноудаленную от концов отрезка DE (рис.67).

 

Рис.67.

Задача 14. Достроить прямую АВ, перпендикулярную прямой CD(рис.68).

Рис.68.

Задача 15. Построить точку В, симметричную точке А относительно плоскости, заданной треугольником CDE(рис.69).

 

 

Рис.69.

 

Задача 16. Построить точку В, симметричную точке А относительно прямой m(m₁,m₂)(рис.70).

Рис.70.