Методические указания к решению задачи

Постановка задачи

Одной из главных целей фирмы, имеющей для неё стратегическое значение, является максимизация прибыли. Определить объемы производства продуктов, входящих в продуктовый портфель производственного предприятия, оптимальные с точки зрения максимизации прибыли.

Исходные данные

На предприятии планируются к производству два продукта А и В. В процессе производства задействованы три станка: Т – токарный, Ф – фрезерный и Ш – шлифовальный. Технологический процесс изготовления продукта А состоит из трех операций обработки, а продукта В – из двух операций. Действительный фонд времени работы оборудования, , измеренный в часах, оказался следующим: для токарной операции Т , для фрезерной операции Ф , для шлифовальной Ш операции .

Состав операций и трудоемкость их выполнения для продуктов А и В представлены в табл.7.

Единичная прибыль по продукту А равна 1200 руб/шт, а по продукту В – 800 руб/шт.

Определить графически и аналитически объемы производства продуктов А и В, дающих максимальную прибыль предприятию при его ограниченных возможностях.

Таблица 7

Исходные данные для расчетов

Продукт

Трудоемкость операции, час

0 вариант

1 вариант

2 вариант

3 вариант

4 вариант

5 вариант

Т

Ф

Ш

Т

Ф

Ш

Т

Ф

Ш

Т

Ф

Ш

Т

Ф

Ш

Т

Ф

Ш

А

В

-

-

-

 

Продолжение табл. 7

Продукт

Трудоемкость операции, час

6 вариант

7 вариант

8 вариант

9 вариант

Т

Ф

Ш

Т

Ф

Ш

Т

Ф

Ш

Т

Ф

Ш

А

В

-

9,6

-

-

Методические указания к решению задачи

1. Сформировать целевую функцию предприятия, обобщенный вид которой сводится к следующей записи

Где - прибыль предприятия, руб;

, - единичная прибыль по продукты А и В соответственно, руб/шт;

- объемы производства продуктов А и В соответственно, обеспечивающих максимальный уровень прибыли при заданных условиях работы предприятия, шт.

2. Составить систему ограничений работы предприятия. В данном случае, ограничения имеются по действительному фонду времени работы оборудования на предприятии.

3. Построить по системе ограничений графическое поле решений поставленной задачи.

4. По узловым точкам определенного поля решений рассчитать объем получаемой прибыли. При этом, рассчитывая объемы производства продуктов, следует воздерживаться от округлений полученных результатов. Округления надо произвести после завершения расчетов по всем продуктам. Проводя округления, необходимо проверять соблюдение имеющихся ограничений в работе производственной системы.

5. Сделать обоснованный вывод об оптимальной величине объемов производства и реализации, которые приведут к максимизации прибыли предприятия.

Решение задачи

1. Сформируем целевую функцию, подставив численные значения известной единичной прибыли по продуктам А и В.

2. Составим систему ограничений работы производственной системы

По токарному станку ;

По фрезерному станку ;

По шлифовальному станку

3. Для определения области решений поставленной задачи проведем графическое построение по составленной системе ограничений (см. рис. 8). Решение задачи может находиться в узловых точках области решений. Если считать, что оба продукта обязательно должны быть произведены и варьируется только их количество, то таких точек всего две:

- точка (1), полученная пересечением линий ограничений (решением системы из двух уравнений)

- точка (2), полученная пересечением двух других линий ограничений

Определим координаты этих точек аналитически, т.е решив полученные системы уравнений.

Решение первой системы уравнений.

Из второго уравнения системы выразим , т.е.

,

Тогда, после подстановки в первое уравнение системы, получим

или

Подставим значения и в уравнение целевой функции. Величина прибыли, соответствующая точке (1) графика (рис.8) окажется равной

.

 

Рис. 8. Графическое определение области решений задачи

Координаты точки (2) определим, решив вторую систему уравнений.

Выразим из второго уравнения системы

Подставим полученное значение в первое уравнение системы

Получим значение

Определим .

Округлим полученные цифры до целых значений. Возможны два варианта округлений (см. рис.8):

а) ;

б) .

Проверим выполнение ограничений для варианта а), подставив полученные значения в неравенства ограничений (см. п.2).

По токарному станку ; - ограничение выполняется.

По фрезерному станку ; - ограничение выполняется.

По шлифовальному станку ; - ограничение выполняется.

Проверим выполнение ограничений для варианта б), подставив значения и в неравенства.

; , ограничение по токарному станку выполняется.

; , ограничение по фрезерному станку выполняется.

; , ограничение по шлифовальному станку выполняется.

Рассчитаем прибыль, которую предприятие получит, работая с объемами, соответствующими варианту а), т.е.

Прибыль, соответствующая варианту б) составит

Как видим, наибольшая прибыль будет получена предприятием при производстве изделия А в количестве 3 штук, а изделия В в количестве 10 штук, она составит 11600 руб. При этом токарная и фрезерная операции окажутся загруженными полностью (), а шлифовальная лишь на 50% ().