Деякі властивості інтегральних перетворень Гільберта

ЛАБОРАТОРНА РОБОТА № 3

Тема: аналітичний сигнал. Кореляційні функції сигналів.

Мета: вивчити особливості аналітичного сигналу, співвідношення початкового сигналу та сигналу, спряженого до нього, ознайомитися з властивостями перетворення Гільберта, набути навиків розрахунку енергетичних параметрів сигналу та кореляційних функцій.

 

ТЕОРЕТИЧНІ ВІДОМОСТІ

Формула Ейлера

,

що представляє гармонічне коливання у вигляді суми двох комплексно-спряжених функцій, наводить на думку, що довільний сигнал , з відомою спектральною щільністю , може бути однозначно записаний як сума двох компонент, кожна з яких містить тільки додатні або тільки від’ємні частоти.

(1)

Назвемо функцію

(2)

аналітичним сигналом, що відповідає дійсному коливанню . Перший з інтегралів у правій частині (1) шляхом заміни змінної перетворюється таким чином:

.

Тому формула (1) встановлює такий зв'язок між сигналами та :

.

Уявна частина аналітичного сигналу

називається спряженим сигналом у відношенні до початкового сигналу .

Проекція аналітичного сигналу на дійсну вісь у будь-який момент часу дорівнює початковому сигналу :

(3)

Спектральна щільність аналітичного сигналу

Знайдемо спектральну щільність аналітичного сигналу , яка дозволяє знаходити , використовуючи зворотне перетворення Фур'є.

На основі (2) можна стверджувати, що ця функція відмінна від нуля лише в області додатних частот:

(4)

Якщо - спектральна щільність спряженого сигналу, то,внаслідок лінійності перетворення Фур’є,

(5)

Тому рівність (4) буде виконуватись тільки в тому випадку, коли спектральна щільність початкового і спряженого сигналів зв’язані між собою наступним чином:

(6)

Абстрактно можна уявити такий спосіб одержання спряженого сигналу: початкове коливання подається на вхід деякої системи, яка здійснює поворот фаз усіх спектральних компонент на кут в області додатних частот і на кут в області від’ємних частот, не змінюючи їх за амплітудою. Система, яка має такі властивості, називається квадратурним фільтром.

Перетворення Гільберта

Формула (6) показує, що спектральна щільність сигналу є добутком спектру початкового сигналу та функції , тому спряжений сигнал є згорткою двох функцій та , яка є зворотнім перетворенням Фур’є у відношенні до .

Для зручності обчислень представимо функцію у вигляді

.

Тоді

Тоді спряжений сигнал буде зв’язаний з початковим сигналом співвідношенням:

. (7)

Можна поступити інакше: виразити сигнал через , який вважається відомим. Для цього достатньо помітити, що з (6) випливає таке співвідношення між спектральними щільностями:

.

Тому відповідна формула буде відрізнятися від (7) лише знаком.

(8)

Формули (7) і (8) відомі в математиці під назвою прямого та зворотного перетворення Гільберта.

Символічний запис їх такий:

, (9)

Функція - ядро перетворень Гільберта. Оскільки функція має розрив при , то інтеграли у (7) та (8) слід брати до уваги у розумінні головного значення. Наприклад,

Деякі властивості інтегральних перетворень Гільберта

Найпростіша властивість інтегральних перетворень –лінійність.

при будь-яких постійних і , у чому можна переконатися безпосередньо.

Оскільки ядро перетворення Гілберта є непарною функцією аргументу відносно точки , то сигнал, спряжений до константи, тотожно дорівнює нулю.

.

Дуже важлива властивість перетворення Гілберта полягає ось у чому. Якщо при якому-небудь сигнал досягає екстремуму, то в околі цієї точки спряжений сигнал проходить через нуль.

Щоб переконатися в цьому, слід на одному кресленні сумістити графіки та ядра .

Припустимо, що близьке до тієї величини , при якій екстремальна. При цьому внаслідок парності сигналу та непарності ядра буде спостерігатися компенсація площ фігур, обмежених горизонтальною віссю та кривою, що описує підінтегральну функцію перетворення Гільберта. Образно кажучи, це означає, що, якщо початковий сигнал змінюється у часі “подібно косинусу”, то спряжений до нього сигнал буде змінюватись “подібно синусу”.

Слід відзначити, що перетворення Гільберта мають нелокальний характер: поведінка спряженого сигналу в околі якої-небудь точки залежить від властивостей початкового сигналу на всій осі часу. Хоча найбільший вклад дає, звичайно ж, досить близький окіл розглянутої точки.