Залежні й незалежні випадкові події, формули додавання ймовірностей

Класифікація подій,класичне означення ймовірності випадкової події,статистичне означення ймовірності;елементи комбінаторики;аксіоми теорії ймовірностей та їх наслідки.

Випробування — реальний або мислений експеримент (виконуваний за певної незмінної сукупності умов), результати якого піддаються спостереженню. Подія — результат випробування. Якщо в результаті випробування деяка подія неодмінно відбудеться, то вона називається достовірною і позначається літерою U. Подія, яка в даному випробуванні не може відбутись, називається неможливою і позначається літерою V. Якщо в результаті випробування деяка подія може відбутись, а може не відбутись, то вона називається випадковою. Випадкові події позначаються літерами A, B, C, D, …

Класичною імовірністю випадкової події А називається відношення кількості елементарних подій m, які сприяють появі цієї події (становлять множину її елементарних подій), до загальної кількості n рівноможливих елементарних подій, що утворюють простір елементарних подій W: P(A)= m /n.

Статистичною ймовірністю події А називається відношення кількості m випробувань, в яких подія А відбулась, до загальної кількості виконаних випробувань n: W(A)= m /n.

Переставленням із n елементів називають такі впорядковані множини з n елементів, які різняться між собою порядком їх розміщення. Кількість таких упорядкованих множин обчислюється за формулою: Pn = n!

Розміщенням із n елементів по m

(0 m n) називаються такі впорядковані множини, кожна із яких містить m елементів і які відрізняються між собою порядком розташування цих елементів або хоча б одним елементом: = n! /(n-m)!

Комбінаціями з n елементів по m

(0 m n) називаються такі множини з m елементів, які різняться між собою хоча б одним елементом: = n! / m!(n-m)!

Система подій називається алгеброю подій, якщо:

1.

2. із того, що , випливає, що: , ,

Числова функція P, що визначена на системі подій Q, називається ймовірністю, якщо:

1. Q є алгеброю подій;

2. для будь-якого A Ì Q існує P(A)³0;

3. P(W)= 1;

4. якщо А і В є несумісними (АÇВ)=Æ, то P(AÈB)=P(A)+P(B);

5. для будь-якої спадної послідовності подій із Q, такої, що

випливає рівність

Q,

 

Трійка (Q,W,R), де Q є алгеброю подій і Р задовольняє аксіоми 1-5, називається простором імовірностей.

Наслідки аксіом:

1. якщо випадкові події є несумісними попарно, то

2. якщо випадкові події утворюють повну групу, то

3. формула додавання для n сумісних

4. якщо випадкова подія А сприяє появі В(АÌВ), то P(A)£P(B)

Залежні й незалежні випадкові події, формули додавання ймовірностей.

Події В і С називаються залежними, якщо ймовірність однієї з них змінюється залежно від того, відбулась друга подія чи ні. У противному разі події називаються незалежними. Нехай подія А є сумою двох подій В і С. Тоді:

а) якщо події В і С несумісні, то P(A)=P(BÈC)=P(B)+P(C);

б) якщо події В і С сумісні, то P(A)=P(BÈC)=P(B)+P(C)-P(BÇC).