Если оптическая разность хода когерентных волн, пришедших от таких источников, равна нечетному числу длин полуволн

D_мин = (2 k + 1) , k – целое число, (4.3.5)

то волны приходят в противофазе и гасят друг друга, т.е. получается интерференционный минимум интенсивности света.

 

Пример 1. В точку пространства приходят световые когерентные волны, от источников, испускающих волны в одинаковой фазе, с оптической разностью хода 3 мкм. Длина волны света равна 500 нм. Чему равна соответствующая разность фаз? Каков результат интерференции света в этой точке?

Дано: l = 500 нм = 500×10^{-9 м,}

D = 3 мкм = 3×10^{-6 м.}

Найти: Dj, k.

Решение. Запишем условие максимума интерференции (4.3.4) и подставим в него числовые данные:

D_макс = 2 k Þ 3×10^-6 = 2 k (500×10^-9/2), откуда

k = 6, то есть, в данной точке пространства мы будем наблюдать максимум интенсивности света.

Для того чтобы найти разность фаз, запишем условие (4.3.2) и подставим в него полученное значение k:

Dj = j₂ – j₁ = 2 kp = 2×6 p = 12 p.

Ответ: Dj = 12 p, максимум интерференции.

 

Пример 2. Разность фаз двух интерферирующих волн, от двух когерентных источников, испускающих волны в одинаковой фазе, в точке наблюдения равна 5p. Длина волны света 600 нм. Чему равна соответствующая разность хода? Каков результат интерференции света?

Дано: Dj = 5p,

l = 600 нм = 600×10^-9м,

Найти: D, k.

Решение. По условию задачи разность фаз Dj составляет 5p, то есть у нас нечетное число p. Таким образом, в точке интерференции двух волн будет наблюдаться минимум интенсивности света, поэтому необходимо записать условие минимума интерференции (4.3.1):

Dj = j₂ – j₁ = (2 k + 1) p = 5 p,

откуда выразить порядок интерференции k: k = 2.

Для того чтобы найти оптическую разность хода, запишем условие минимума интерференции (4.3.5) и подставим соответствующие числовые данные:

D_мин = (2 k + 1) = (2×2 +1)×(600×10^-9/2) = 3×10^-6м = 3 мкм.

Ответ: k = 2, наблюдаем минимум интерференции, D_мин = 3 мкм.

 

Дифракция

Каждый участок волнового фронта электромагнитной волны – это быстропеременные колебания электрических и магнитных полей, которые, согласно уравнениям Максвелла, снова порождают электромагнитную волну. Иначе говоря,

Любой участок волнового фронта является источником вторичных электромагнитных волн, имеющих ту же частоту и распространяющихся во все стороны с такой же фазовой скоростью и складывающихся в точке наблюдения дифракции.

Это утверждение называется принципом Гюйгенса-Френеля.

Дифракция электромагнитных волн – это явления, возникающие при сложении бесконечного числа вторичных электромагнитных волн, испущенных каждой точкой волнового фронта. При этом появляются отклонения от законов геометрической оптики.

В частности, в результате дифракции происходит огибание волнами препятствий, а также образование картины чередующихся максимумов и минимумов освещенности, аналогичной интерференционной картине.

При падении плоской волны на узкую щель шириной а, условие максимума дифракции будет иметь вид:

tg (j /2) = j / 2, j ¹ 0 (4.3.6)

Первыми тремя корнями этого уравнения будут соответственно:

j ₁ = 8,99 рад, j ₂ = 15,45 рад, j ₃ = 21,81 рад.

 

Условие минимума дифракции при этом будет иметь вид:

asinj = 2 k , (4.3.7)

Дифракционная решетка – это система из N одинаковых щелей, расположенных на равном расстоянии d (постоянная решетки) друг от друга.

Условие главных интерференционных максимумов интенсивности света, прошедшего через дифракционную решетку:

dsinj = kl. (4.3.8)

Здесь j – угол дифракции, k – порядок интерференционного максимума.

Если ширина дифракционной решетки l, и число щелей N, то постоянная решетки вычисляется по формуле

d = l / N. (4.3.9)

Пример 3. Во сколько раз различаются ширины двух щелей, если при нормальном падении на них одного и того же монохроматического света третий дифракционный минимум от первой щели наблюдается под тем же углом, что и второй дифракционный минимум от второй щели.

Дано: k ₁ = 3,

k ₂ = 2,

j ₁ = j ₂,

Найти: а ₂/ а ₁.

Решение. Запишем условие минимума (4.3.7) для первой и второй щели:

a ₁ sin j = 2 k ₁ , k ₁ = 3, откуда a ₁ sin j = 6 ,

a ₂ sinj = 2 k ₂ , k ₂ = 2, откуда a ₂ sinj = 4 .

Получаем:

а ₂/ а ₁ = 1/3.

Ответ: 1/3.

 

Пример 4. Какой наивысший порядок спектра можно наблюдать при нормальном падении на щель монохроматического света, если длина волны укладывается в ширине щели 7 раз?

Дано: а = 7 l,

Найти: k_макс.

Решение. Необходимо записать условие максимума дифракции на щели:

asinj = (2 k + 1)

и учесть, что в условии задачи надо найти максимальный порядок спектра k_макс. Поскольку ширина щели а и длина волны света, падающего на щель, остаются постоянными, то наивысший порядок спектра будет наблюдаться при условии максимума синуса угла дифракции ((sinj) _макс = 1):

a (sinj) _макс = (2 k_макс + 1) Þ 7 l = (2 k_макс + 1) ,

14 = 2 k_макс + 1 Þ k_макс = 13/2 = 6 (ответ округляем до целых).

Ответ: k_макс = 6.

 

Пример 5. Дифракционная решетка имеет 2500 штрихов на 1 см, при этом максимум четвертого порядка наблюдается под углом 30°. Найти длину волны падающего света. Какой наивысший порядок спектра можно наблюдать с помощью этой дифракционной решетки, если на нее нормально падает свет с длиной волны 670 нм?

Дано: N = 2500,

l = 1 см = 0,01 м,

k = 4,

j = 30°,

l = 670 нм = 670×10^-9м.

Найти:l, k_макс.

Решение. а) Найдем длину волны света, падающего на дифракционную решетку. Для этого запишем условие главных интерференционных максимумов (4.3.8) при падении света на решетку, а также формулу (4.3.9) для расчета постоянной решетки:

dsinj = kl, d = l / N, Þ (l / N) sinj = kl.

Выразим из последней формулы длину волны l:

l = (l sinj)/(N k) = 5×10^-7м = 500 нм.

б) Найдем теперь наивысший порядок спектра, который можно наблюдать помощью этой дифракционной решетки, если на нее нормально падает свет с длиной волны 670 нм. Для этого запишем условие дифракционных максимумов (4.3.8) с учетом (4.3.9), а также с учетом того факта, что наивысший порядок спектра будет наблюдаться при условии максимума угла дифракции (см. пример 4):

d (sinj) _макс = k_максl, (sinj) _макс = 1, d = l / N,

имеем:

k_макс = l /(Nl) = 5,9 = 5.

Ответ: l = 500 нм, k_макс = 5.