Доказать теорему о графиках взаимно-обратных функций. Отыскание обратных для алгебраических и трансцендентных. Привести примеры

Графики двух взаимообратных функций симметричны относительно биссектрисы первого и третьего координатных углов. (Доказывается через квадрат).

Трансцендентные функции - это функции образованные неалгебраическими действиями (sin, cos).

15) Чётные и нечётные функции. Доказать теоремы об их графиках. Доказать арифметические теоремы об указанных функциях. Привести примеры.

Функция называется четной, если её область определения симметрична относительно нуля и f(x)=f(-x).

Функция называется нечетно, если её область определения симметрична относительно нуля и f(x)=-f(-x).

Теоремы о сложении, вычитании, умножении чётных, нечётных функций. (Доказывается через определение)

График чётной функции симметричен относительно оси координат (оу). (Доказывается через определение)

График нечётной функции симметричен относительно начала координат. (Доказывается через определение)

16) Периодические функции. Основной период. Доказать теорему о связи периода функции у=f(kx) с периодом функции y=f(x). Привести примеры.

Функция f(x) называется периодической с периодом Т, если выполняется равенство f(x-t)=f(x+t).

Наименьший положительный период функции называется основным.

Если Т является основным периодом функции f(х), то Т\k, где k ú0, является периодом функции f(kх).

Док-во:

f(x)=f(x+t) (1)

F(kx)=f(k(x+P)) (2)

если х=kx, то (1): F(kx)=f(kx+t) левые части (1) и (2) равны, значит равны и правые:

f(kx+T)=F(k(x+P))

kx+T= k(x+P)

P=T/k

ч.т.д.

Периодические функции. Доказать арифметические теоремы о периодических функциях. Доказать теорему о периодичности сложной функции от периодической функции. Привести примеры.

Функция f(x) называется периодической с периодом Т, если выполняется равенство f(x-t)=f(x+t).

Если функции f(x) и g(x) периодические с периодами Т и Р соответственно, то периодом алгебраической суммы, разности, произведения и частного этих функций является общим кратным периодов Т и Р. (Доказывается банальной подстановкой, учитывая, что каждый период функции кратен её основному).

Периодом сложной функции от периодической является период функции-аргумента. (Доказывается подстановкой).

Числовые последовательности и пределы.

Модуль числа. Доказать неравенство о модуле суммы. Доказать неравенство о модуле разности. Доказать теорему о модуле произведения и частного двух чисел.

Модулем числа х называется такое число, которое равно х, если х больше или равно нуля, и равно –х, если х меньше нуля.

|

<= Доказывается это всё перебором

x|+|y|$|x+y|

|x|-|y|#|x+y|

|xy|=|x||y|

|1\x|=1\|x|

Арифметическая прогрессия, свойства. Вывести формулу общего члена и суммы первых n-членов прогрессии.

Арифметическая прогрессия – это такая числовая последовательность, для каждого члена которой справедливо равенство: a_n=a_n-1+d, где d это разность.

Любой элемент прогрессии равен среднему арифметическому двух своих равноудалённых соседей.