Векторна похідна за часом від кількості руху матеріальної точки дорінює вектору сили, яка діє на матеріальну точку

Розділимо змінні в рівнянні (5.13) і зінтегруємо обидві його частини, після цього отримаємо:

або

. (5.14)

Рівняння (5.14) визначає теорему про зміну кількості руху матеріальної точки в інтегральній (скінченій) формі:

Зміна кількості руху матеріальної точки за деякий проміжок часу дорівнює імпульсу сили, що діє на точку, за той самий проміжок часу.

Проектуємо обидві частини рівняння (23.14) на координатні осі:

; ; . (5.15)

Отже, зміна проекції кількості руху матеріальної точки за деякий проміжок часу дорівнює проекції імпульсу сили, що діє на точку, за той самий проміжок часу і на ту саму вісь.

5.4 Теорема про зміну головного вектора кількості руху механічної системи

Головним вектором кількості руху механічної системи називається векторна величина, що дорівнює геометричній сумі кількості рухів матеріальних точок, які складають механічну систему:

.

Отже, головний вектор кількості руху механічної системи дорівнює добутку маси системи на вектор швидкості її центра мас і має напрям цього вектора:

. (5.16)

Розглянемо механічну систему, яка складається з n матеріальних точок. Нехай на точки цїєї системи діють зовнішні () та внутрішні () сили.

Тоді теорема про зміну кількості руху для j- ої точки цієї системи в диференціальній формі матиме вигляд:

. (5.17)

Запишемо таких рівнянь стільки, скільки точок має дана система та підсумуємо їх:

. (5.18)

Перетворимо ліву частину рівняння (23.18):

. (5.19)

Підставивши отримане значення (23.18) в (23.19) та враховуючи, що , остаточно маємо:

. (5.20)

Рівняння (5.20) визначає теорему про зміну головного вектора кількості руху механічноїсистеми в диференціальній формі.

Векторна похідна за часом від головного вектора кількості руху механічної системи дорівнює геометричній сумі всіх зовнішніх сил, прикладених до точок системи, або головному вектору всіх зовнішніх сил, які діють на точки механічної системи.

Проектуємо обидві частини рівняння (23.20) на осі декартової системи координат:

; ; . (5.21)

Отже, перша похідна за часом від проекції головного вектора кількості руху механічноїсистеми на будь-яку вісь дорівнює алгебраїчній сумі проекцій зовнішніх сил, які діють на точки механічної системи, або проекції головного вектора зовнішніх сил на ту саму вісь.

Для отримання теореми про зміну кількості руху механічної системи в інтегральній (скінченій) формі використаємо рівняння (5.21).

Домножимо обидві його частини на і зінтегруємо в межах від до :

.

Після інтегрування остаточно дістанемо:

. (5.22)

Рівняння (5.22) визначає теорему про зміну головного вектора кількості руху механічної системи:

Зміна головного вектора кількості руху механічної системи за деякий проміжок часу дорівнює геометричній сумі імпульсів зовнішніх сил, які діють на точки механічної системи за той самий проміжок часу, або повному імпульсу головного вектора зовнішніх сил.

Спроектувавши обидві частини рівняння (5.22) на координатні осі дістанемо:

; ; . (5.23)

Отже, зміна проекції головного вектора кількості руху механічної системи на будь яку вісь за деякий проміжок часу дорівнює алгебраїчній сумі проекцій імпульсів зовнішніх сил, що діють на точки механічної системи за той самий проміжок часу і на ту саму вісь, або проекції повного імпульсу головного вектора зовнішніх сил на цю вісь.

Наслідки з теореми:

1. Внутрішні сили безпосередньо не впливають на зміну головного вектора кількості руху механічної системи.

2. Якщо головний вектор усіх зовнішніх сил, які діють на точки механічної системи, дорівнює нулю, то головний вектор кількості руху цієї системи є векторною сталою величиною ; .

3. Якщо проекція головного вектора зовнішніх сил, що діють на точки механічної системи, на будь-яку вісь дорівнює нулю, то проекція головного вектора кількості руху механічної системи на ту саму вісь є сталою величиною(; .

 

Другий і третій наслідки називаються законами збереження кількості руху механічної системи.

 

5.5. Приклади розв’язання задач

Приклад 1. Людина вагою стоїть на кормі човна вагою і довжиною , що перебуває в стані спокою (рис. 5.3). Визначити відстань , на яку переміститься човен, якщо людина перейде на ніс човна. Опором води знехтувати.

Розв’язання. На човен діють зовнішні сили, до яких належать сили ваги човна і людини , а також архімедова сила , лінія дії якої проходить через центр мас механічної системи, що складається з човна та людини.

Оскільки зовнішні сили вертикальні, то проекція головного вектора зовнішніх сил на вісь дорівнює нулю. Отже, виконується закон збереження кількості руху центра мас, тобто швидкість руху центра мас є стала величина .

Оскільки система на початку руху перебувала в стані спокою , ), то координата центра мас протягом руху залишається незмінною , тобто

виконується умова .

Це можливо лише в тому випадку, якщо при русі людини праворуч, човен переміщується ліворуч.

Визначимо координату і центра мас системи в початковий і кінцевий моменти часу:

; .

Виразимо координати і через і :

; .

Тоді отримаємо:

.

Оскільки , то і тому:

.

Звідки, після нескладних перетворень дістанемо:

.

Остаточно

.

Приклад 2. Швидкість корабля тоннажністю за час після зупинення роботи турбіни зменшилась на 3,6 км/год, тобто на 1м/с (рис. 5.4). Визначити середню силу опору води, вважаючи рух корабля прямолінійним.

Розв’язання: Враховуючи, що корабель здійснює поступальний рух, приймемо його за матеріальну точку. Вага корабля врівноважується силою Архімеда . Сполучимо вісь з прямолінійною траєкторією руху корабля.

Скористаємось теоремою про зміну кількості руху матеріальної точки в проекції на вісь :

,

звідки

,

де ; тоді

Приклад 3. На нерухомій горизонтальній платформі вагою знаходиться людина вагою (рис. 5.5). В деякий момент часу людина почала рухатись вздовж платформи з відносною швидкістю . Нехтуючи тертям між рейками і колесами, а також опором повітря, визначити закон зміни швидкості руху платформи.

Розв’язання. Механічна система складається з платформи та людини. На систему діють активні зовнішні сили – сили ваги платформи та людини , а також реакції рейок і .

Сумістимо вісь з горизонтальною рейкою та застосуємо до розв’язування задачі теорему про зміну кількості руху механічної системи в проекції на цю вісь (в диференціальній формі).

, тоді .

Отже, виконується закон збереження проекції кількості руху механічної системи. В початковий момент часу швидкість руху платформи. і швидкість руху людини по платформі , тоді .

В момент , коли людина почала рухатись вздовж платформи з відносною швидкістю , абсолютна швидкість платформи дорівнює , а абсолютна швидкість людини , тоді проекція на вісь кількості руху механічної системи платформа – людина буде дорівнювати

,

оскільки .

Звідси

;

або .

Знак «мінус» показує на те, що платформа рухається в бік протилежний руху людини.