Свободные колебания материальной точки на пружине

 

Рассмотрим колебания тела на гладкой горизонтальной поверхности. Так как тело движется поступательно, то будем рассматривать его в качестве материальной точки. Точка О – положение равновесия (рис.3.6). В качестве восстанавливающей силы выступает сила упругости пружины.

Колебание точки только под действием восстанавливающей силы называются свободными или собственными колебаниями.

Рис.3.6

 

; Оx: ;

; ;

.

Введем новую величину: - циклическая (круговая) частота колебаний (число колебаний за 2рi секунд)

С учетом введенного понятия циклической частоты получим следующее дифференциальное уравнение свободных колебаний материальной точки:

.

Таким образом, движение материальной точки под действием восстанавливающей силы описывается линейным однородным дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами.

Как известно из теории дифференциальных уравнений, общее решение данного дифференциального уравнения имеет вид

,

где C ₁ и C ₂ – постоянные интегрирования.

Найдем скорость точки:

.

Постоянные интегрирования определим по начальным условиям: при , . ; ;

. (1)

Для придания данному решению более удобного вида введем обозначения: , . Тогда уравнение (1) можно также представить в следующем виде:

 

,

где – амплитуда колебаний, - фаза, ε ₀ – начальная фаза.

Уравнение свободных колебаний описывает синусоиду (рис.3.7). Колебания, совершаемые точкой по данному закону, называются гармоническими. При этом собственно частотой колебаний, измеряемая числом колебаний за одну минуту, называется величина, которая определяется по следующей формуле:

, мин^-1.

 

Рис.3.7

 

Величина, обратная циклической частоте, называется периодом колебаний:

, с.

 

Период колебаний – это время одного полного колебания.

Свободные колебания имеют круговую частоту и период, не зависящие от начальных условий и (начальная координата и начальная скорость точки). Такое свойство называется изохронностью колебаний.

Если точка взаимодействует с одной пружиной по схеме 3.8, отличной от ранее рассмотренной, или взаимодействует сразу с несколькими пружинами, то вводятся понятия эквивалентной пружины и эквивалентной жесткости.

Эквивалентной пружиной называется пружина, на которой точка будет колебаться точно так же, как на некоторой данной пружине или системе пружин.

Жесткость эквивалентной пружины называется эквивалентной жесткостью. Решение задач, где рассматриваются различные виды взаимодействия точки с пружинами, часто сводится к определению эквивалентной жесткости.

Существуют два основных типа соединения пружин: последовательный и параллельный. Последовательный способ соединения пружин представлен на рис.3.8.

Эквивалентная жесткость при последовательном способе определится

.

 

 

Рис.3.8

 

Параллельный способ соединения представлен на рис.3.9..

 

Рис.3.9.

В этом случае эквивалентная жесткость определяется по формуле

.