Механічною системою матеріальних точок називається така їх сукупність, у якій положення або рух кожної матеріальної точки залежить від положення і руху всіх інших точок системи

. (4.2)

4.2. Центр мас механічної системи і його положення.

Маса системи дорівнює сумі мас її матеріальних точок:

Рух механічної системи залежить не лише від маси системи і прикладених до її точок сил, а й від розподілу мас у цій системі.

Розподіл мас у механічній системі при її поступальному русі повністю характеризується положенням центра мас.

У розділі «Статика» виведені формули для визначення положення центра ваги тіла, яке характеризує розподіл сил ваги окремих частин тіла.

Якщо врахувати, що сили ваги пропорційні їх масі, то положення центра мас механічної системи можна знайти за формулою, аналогічною формулі для визначення центра ваги, тобто

. (4.3)

Якщо спроектуємо обидві частини векторного рівняння (4.3) на осі декартової системи координат, то отримаємо формули координат центра мас системи:

Моментом інерції твердого тіла відносно деякої осі називається скалярна величина, яка дорівнює сумі добутків маси кожної з точок тіла на квадрат відстані від точки до даної осі (рис. 4.2):

; . (4.5)

При неперервному розподілі мас суми у формулах (4.5) переходять в інтеграли по всій масі тіла:

; ;

. (4.6)

Тут – елементарний об’єм, координати якого x, y, z і маса ; – густина матеріалу об’єму.

Іноді зручно виразити момент інерції тіла відносно осі за допомогою радіуса інерції.

Радіусом інерції тіла називається відстань від осі до деякої уявної точки, в якій необхідно зосередити масу даного тіла, щоб момент інерції цієї точки відносно заданої осі дорівнював моменту інерції тіла відносно тієї самої осі:

, (4.7)

де – маса тіла; – радіус інерції тіла відносно осі Ох:

. (4.8)

4.4. Теорема про моменти інерції тіла відносно паралельних осей:

Момент інерції тіла відносно довільної осі дорівнює моменту інерції відносно осі, яка паралельна їй і проходить через центр мас тіла, плюс добуток маси тіла на квадрат відстані між осями ().

Доведення. Центр мас тіла обираємо за початок відліку системи координат (рис. 4.3). Візьмемо на осі довільну точку за початок нової системи координат , осі якої паралельні до осей вибраної системи відліку . При цьому осі і збігаються.

Позначимо через відстань між осями і .

Визначимо моменти інерції даного тіла відносно осей і :

,

.

Встановимо залежність між координатами і ; і . З рис.4.3 видно, що = , звідки .

Тоді .

Крім того .

Підставивши ці значення в вираз для , отримаємо:

.

Тут перший доданок – момент інерції тіла відносно осі . Третій доданок дорівнює добутку маси тіла на квадрат відстані між осями і , тобто

.

Для визначення другого доданку скористаємось першою з формул координати центра мас системи (22.4). Звідки

.

Тоді

,

оскільки за вибором системи відліку.

Остаточно маємо

. (4.9)

Теорему доведено.

4.5. Моменти інерції тіл канонічної форми

1. Моменти інерції тонкого однорідного стержня.

Визначимо моменти інерції однорідного стержня масою і довжиною відносно осі , перпендикулярної до стержня. Вісь спрямуємо уздовж стержня (рис.4.4).

Маса цієї ділянки стержня на початку відліку

де – густина матеріалу, S – площа поперечного перерізу стержня.

Тоді момент інерції стержня відносно осі дорівнює:

.

Оскільки маса всього стержня

,

то

. (4.10)

Для визначення моменту інерції стержня відносно осі , яка проходить через центр мас стержня, скористаємось теоремою про моменти інерції тіла відносно паралельних осей:

,

звідки

,

тобто

. (4.11)

2. Моменти інерції однорідного кільця або порожнистого циліндра.

Кільце радіуса має площу поперечного перерізу і густину матеріалу . Тоді маса кільця дорівнює:

.

Спрямуємо вісь перпендикулярно до площини рисунка та визначимо відносно неї момент інерції кільця (рис. 4.5).

Якщо виділити елементарну ділянку кільця довжиною з центральним кутом , то маса цієї ділянки кільця дорівнює:

Тоді для моменту інерції кільця відносно осі маємо:

,

або . (4.12)

3. Момент інерції кругової однорідної пластини, диска або циліндра.