Приклад виконання завдання. До вантажу 1 (рис. 4.6) масою m1=20кг прив’язаний трос, який перекинутий через нерухомий блок 4 і другий кінець якого закріплений на поверхні шківа 2 радіусом

 

До вантажу 1 (рис. 4.6) масою m₁=20кг прив’язаний трос, який перекинутий через нерухомий блок 4 і другий кінець якого закріплений на поверхні шківа 2 радіусом r₂ (m₂ = 2кг). Механічна система приводиться до руху моментом , прикладеним до східчастого шківа 3 масою m₃=3кг.

Знайти закон руху вантажу 1, якщо на тіло 2 діє момент опору

М_ОП = 15 Н×м і при t = 0 кутова швидкість тіла . Більший радіус у шківа 2 - R₂=0,4м, менший – r₂ = 0,2м, радіус інерції – і₂ = 0,3м. Тіла 3 та 4 мають однакові маси m₃=m₄ і розміри R₃ = R₄ = 0,3м. Тіла 2,3 та 4 обертаються навколо горизонтальних нерухомих осей, а тіло 1 переміщується поступально.

Рисунок 4.6

 

Розв’язання. Розглянемо окремо рух тіл 2 і 3 та механізму наведеного на рис. 4.6

До тіла 3 (рис. 4.7) прикладені зовнішні сили: пара сил з моментом М, сила тяжіння P₃=m₃g, реакції циліндричного шарніра X₃ і Y₃, реакції тіла 2 – колове зусилля S₃ і сила нормального тиску N₃.

Запишемо диференціальне рівняння обертання тіла 3 навколо нерухомої осі враховуючи, що якщо момент зовнішніх сил діє у напрямку руху тіла, тоді записуємо його з додатним знаком.

,

де - момент інерції тіла відносно осі z;

- кутове прискорення тіла 3;

- момент зовнішніх сил, прикладених до тіла 3, відносно осі z.

Таблиця 4.2 - Осьові моменти інерції однорідних тіл

Форми тіла	Іх	Іу	Іz
Кільце
Кругла пластина
Стержень
Прямокутна пластина

 

Рисунок 4.7

. (4.1)

Початкові умови:

при t=0, , . (4.2)

На тіло 2 (рис. 4.8) діють такі зовнішні сили: сила тяжіння P₂=m₂g, реакції циліндричного шарніра X₂ та Y₂, натяг троса S₂ (трос працює тільки на розтяг), реакції тіла 3 – та , які за третім законом Ньютона направлені в протилежні сторони сил S₃ та N₃ (рис. 4.7).

Диференціальне рівняння обертання тіла 2 (рис. 4.8) навколо горизонтальної осі Z.

, (4.3)

де - момент інерції тіла 2 відносно осі Z.

Оскільки , то рівняння (4.3) запишеться у вигляді

. (4.4)

До тіл 1 та 4 (рис. 4.9) прикладені зовнішні сили: сили тяжіння P₁=m₁g та P₄=m₄g, реакція троса , реакції циліндричного шарніра X₄ та Y₄.

 

 

Рисунок 4.8

 

Теорема про зміну кінетичного моменту для тіл 1 та 4 (рис. 4.9) в проекціях на вісь Z запишеться:

, (4.5)

де L_Z – кінетичний момент системи тіл 1 та 4 відносно осі Z, - головний момент зовнішніх сил.

Рисунок 4.9

Кінетичний момент L_Z складається із моменту кількості руху L_Z1

тіла 1 та кінетичного моменту L_Z4 тіла 4 відносно осі Z

L_Z1 = m₁V₁R₄, (4.6)

L_Z4 = I_Z4ω₄. (4.7)

Враховуючи, що , а , кінетичний момент системи L_Z визначимо за формулою

Тепер диференціальне рівняння (4.5) набуває вигляду

. (4.8)

Якщо до диференціальних рівнянь (4.1), (4.4), (4.8) додати кінематичні співвідношення

(4.9)

тоді отримаємо систему шести рівнянь в які входять невідомі:

Розв’язуючи систему рівнянь (4.1), (4.4), (4.8), (4.9) маємо:

.

З урахуванням того, що m₁=20кг, m₂=2кг, m₃=m₄=3кг, r₂=0,2м, R₂=0,4м, і₂=0,3м, R₃=R₄=0,3м, М = (16+11t²) , M₀=15 , g=9,81 , отримаємо

. (4.10)

Для визначення закону руху тіла 1, інтегруємо двічі диференціальне рівняння (4.10), беручи до уваги початкові умови (4.2)

Перший інтеграл диференціального рівняння (4.10)

Закон руху тіла 1: м.

 

Відповідь: м.