Нормальный закон распределения результатов измерений

Многие ряды распределения, встречающиеся в статистических наблюдениях, можно охарактеризовать формулами разных математических функций. Функции или законы распределения случайных величин бывают: биноминальное, геометрическое, равномерное, нормальное и др. Самым важным в статистике является нормальное распределение.

Нормальное распределение – это совокупность объектов, в которой крайние значения некоторого признака – наименьшее и наибольшее – появляются редко; чем ближе значение признака к среднему значению, тем чаще оно встречается. Например, распределение студентов по их весу приближается к нормальному.

Нормальный закон (закон Гаусса) распределения результатов измерений непрерывных величин наиболее часто встречается и в спортивной практике.

Нормальное распределение описывается формулой, впервые предложенной английским математиком Муавром в 1733 году:

(5.1)

где p и e – математические константы (p = 3,141; e = 2,718); и s – соответственно, среднее арифметическое и среднее квадратическое отклонение результатов измерений; x_i – результаты измерений; f(x) – так называемая функция плотности распределения.

Плотность распределения – это количество признака в единице интервала.

Формула (5.1) позволяет получить в виде графика кривую нормального распределения (рисунок 5.1), которая симметрична относительно центра группирования (как правило, это значение среднего арифметического ).

 

Рисунок 5.1 – Кривая нормального распределения

Эта кривая может быть получена из полигона распределения при бесконечно большом числе наблюдений и интервалов (см. рисунок 2.1 II этапа игры).

Чтобы избежать неудобств, связанных с расчётами для каждого конкретного случая по достаточно сложной формуле (5.1), используют так называемое нормированное (или стандартное) нормальное распределение, для которого составлены подробные таблицы.

Нормированное нормальное распределение имеет параметры = 0 и σ = 1. Это распределение получается, если пронормировать нормально распределённую величину x по формуле:

.

Плотность распределения вероятностей нормированного нормального распределения записывается в виде:

.

На кривой нормированного нормального распределения (рисунок 5.2) указаны в процентах доли площадей, соответствующих отмеченным значениям нормированного отклонения u, по отношению к общей площади под кривой, равной 1 (100 %). Эти площади определяют вероятности попадания случайной величины в соответствующие интервалы.

 

Рисунок 5.2 – Кривая нормированного распределения

 

4. Основные свойства кривой нормального распределения (рисунок 5.1)

1. Кривая симметрична относительно среднего арифметического (моды, медианы).

2. При x = .

3. При .

4. Площадь, заключенная между кривой f(x) и осью x, равна единице.

5. Кривая имеет две точки перегиба при .

 

5. Влияние и σ на вид кривой нормального распределения

1. Изменение среднего арифметического значения не меняет форму кривой, а приводит лишь к сдвигу кривой вдоль оси X: при s = const.

 

 

Рисунок 5.3 – Влияние на вид кривой нормального распределения

2. С увеличением s максимальная ордината кривой убывает, а сама кривая становится более пологой, при уменьшении s кривая становится более островершинной. При любых значениях и s площадь, ограниченная кривой и осью X, одинакова и равна единице.

В результате спортивной тренировки средняя арифметическая должна улучшаться (в зависимости от вида спорта или увеличиваться, или уменьшаться), а стандартное отклонение s должно уменьшаться. С увеличением стабильности и устойчивости спортивных результатов, составляющих нормально распределенные выборки, кривая распределения становится более островершинной.

 

 

 

Рисунок 5.4 – Влияние s на вид кривой нормального распределения

6. Вероятности попадания в области , , . Правило трёх сигм

 

 

 

Рисунок 5.5 – Вероятность попадания результатов, составляющих нормально распределенную выборку, на заданный участок кривой:

68,27 % всех результатов попадает на участок от до ;

95,45 % всех результатов попадает на участок от до ;

99,73 % всех результатов попадает на участок от до

Правило трех сигм заключается в том, что практически все результаты, составляющие нормально распределенную выборку, находятся в пределах .

Это правило можно использовать при решении следующих важных задач:

1. Оценки нормальности распределения выборочных данных. Если результаты находятся примерно в пределах и в области среднего арифметического результаты встречаются чаще, а вправо и влево от него – реже, то можно предположить, что результаты распределены нормально.

2. Выявление ошибочно полученных результатов. Если отдельные результаты отклоняются от среднего арифметического значения на величины, значительно превосходящие 3 s, нужно проверить правильность полученных величин. Часто такие «выскакивающие» результаты могут появиться в результате неисправности прибора, ошибки в измерении и расчетах.

3. Оценка величины s. Если размах варьирования R = X_max – X_min, разделить на 6, то мы получим грубо приближенное значение s.

Задавшись процентом попаданий P%, можно найти область
X ± u×s, где u – число сигм, согласно таблице 5.1:

Таблица 5.1 – Процентные точки нормированного нормального распределения

P%				99,9
u	1,64	1,96	2,58	3,29