Почему математика столь эффективна?

Существует вопрос, давно волнующий людей, задумывающихся об основаниях математики: почему математика столь эффективна при описании нашего мира и столь хорошо описывает его эволюцию?

Этот вопрос возникает, как только мы вводим числа и начинаем использовать их при счете. Похожий вопрос возникает, как только мы вводим дифференциальное исчисление и применяем его к описанию движения планет. Существуют некоторые правила, помогающие нам оперировать с математическими символами и связывать эти операции с результатами наблюдений. Почему эти правила так хорошо работают?

Конечно, всегда можно сказать, что это так, потому что так устроен мир. Однако вспомним о некоторых других вопросы похожего типа. Почему наша вселенная настолько велика? Почему параллельные линии не пересекаются? Почему различные части вселенной настолько похожи? Тридцать лет назад эти вопросы тоже казались слишком уж метафизическими и не рассматривались всерьез, теперь же мы знаем, что теория инфляционной вселенной может дать на них вполне разумные ответы. Попробуем воспользоваться ее помощью и в нашем случае.

Прежде чем продолжать, попытаемся построить хотя бы один пример вселенной, в которой математика была бы неэффективной. Предположим, что вселенная может существовать в стационарном или квазистационарном вакуумном состоянии с планковской плотностью . Согласно квантовой гравитации, квантовые флуктуации кривизны пространства-времени при этом должны быть порядка самой кривизны, другими словами, в такой вселенной эталон длины (к примеру, линейка) будет изгибаться, скручиваться и растягиваться хаотическим и непредсказуемым образом гораздо быстрее, чем можно было бы с его помощью измерить длину, часы будут разрушаться настолько быстро, что с их помощью нельзя будет измерять время, вся информация о прошлом будут разрушаться, так что невозможно будет вспомнить ничего из произошедшего, на основе этого сделать предсказание о будущем и сравнить его с экспериментальными данными.

Похожая ситуация имеет место и для типичной неинфляционной замкнутой вселенной. В квантовой гравитации есть лишь один естественный масштаб длины , и лишь один - плотности энергии . Легко показать, что для типичной замкнутой вселенной с типичными начальными размером и плотностью время жизни до коллапса составляет примерно секунды, и в течение всей своей недолгой жизни в такой вселенной сохраняется плотность энергии порядка планковской или выше. В такой вселенной может существовать лишь несколько элементарных частиц (Linde, 1990a), и потому в ней не может оказаться ни одного наблюдателя, некому в ней построить измерительные приборы, зафиксировать происходящие в ней события и описать их при помощи математики.

В этих примерах математика была бы достаточно неэффективной, так как она не могла бы помочь связать между собой различные явления и процессы. Более того, если законы физики в некоторой части вселенной не допускают формирования стабильных долгоживущих структур, математика там будет практически бесполезной, и там не будет наблюдателей (долгоживущих объектов, наделенных сознанием и памятью), которые могли бы нам об этой области вселенной рассказать.

К счастью, среди всех областей вселенной (или среди всех возможных вселенных) обязательно найдутся те, в которых возможна инфляция. Плотность энергии в таких областях со временем становится на много порядков меньше планковской , размеры их экспоненциально увеличиваются и существуют такие области экспоненциально долго. Наше существование возможно только в тех из данных областей, в которых законы физики допускают существование стабильных долгоживущих структур, что подразумевает возможность существования математики, которую можно использовать для долговременных предсказаний. Быстрое развитие человечества стало возможным лишь потому, что живем мы во вселенной, в которой такие долговременные предсказания достаточно эффективны для того, чтобы помочь выжить во враждебном окружении и победить в борьбе за существование все другие виды.

В результате, в рамках концепции Мультимира можно представить себе все возможные вселенные со всеми возможными законами физики и математики. Жить же мы можем лишь в тех из них, в которых математика достаточно эффективна.

Почему именно квантовая?

Обсудим теперь известный вопрос Уилера: Почему именно квантовая?

Однако сначала хотелось бы напомнить вопрос, который часто задавал Зельдович: Есть ли у нас хоть одно экспериментальное подтверждение нестабильности протона и несохранения барионов?

Согласно объединенным теориям слабого, сильного и электромагнитного взаимодействий, протоны и другие барионы могут быть нестабильны и распадаться на лептоны, однако предсказываемые характерные времена таких процессов настолько велики, что ни одного прямого указания на их возможность до сих пор не обнаружено. Ученые наблюдали за за протонами, содержащимися в сотнях тонн воды, и не обнаружили ни одного случая их распада. Так значит, на вопрос Зельдовича следует ответить " нет "?

Однако правильный ответ прямо противоположен. Чтобы придать ему более интригующий вид, я сформулирую его немного не так, как обычно делал это Зельдович, оставив неизменной основную идею.

Главным экспериментальным свидетельством несохранения барионов является то, что параллельные линии не пересекаются.

Что это, просто шутка? В чем тут связь?

То, что параллельные прямые не пересекаются и остаются параллельными, является следствием того, что наша вселенная - пространственно плоская. В закрытой вселенной параллельные прямые должны пересекаться, в открытой они, наоборот, разойдутся на бесконечное расстояние. Единственное известное объяснение плоскостности вселенной получается в рамках инфляционной космологии. Эта теория также утверждает, что по окончании экспоненциального расширения вселенной концентрации всех элементарных частиц становятся исчезающе малыми.

Вся окружающая нас материя образовалась в результате распада скалярного поля после инфляции (Dolgov and Linde, 1982; Abbott et al, 1982; Kofman et al, 1994,1997; Felder et al, 2001). Концентрация протонов в нашей части вселенной гораздо выше, чем антипротонов, откуда следует, что полное барионное число (число барионов минус число антибарионов) в настоящее время отлично от нуля, что было бы невозможным при его сохранении.

Потому наблюдаемая плоскостность и однородность вселенной требует несохранения барионного числа, и именно в этом смысле то, что параллельные прямые не пересекаются, свидетельствует о нестабильности протона.

Эта логика непривычна и парадоксальна, но именно ей мы должны пользоваться, если хотим понять свойства нашей вселенной.

Теперь давайте вернемся к вопросу Уилера. На первый взгляд он настолько глубок и метафизичен, что в обозримом будущем нам не найти на него ответ, однако, по моему мнению, ответ этот достаточно прост.

Единственной возможностью объяснить, почему наша вселенная настолько велика, плоска, однородна и изотропна, является инфляция. Как уже упоминалось, после инфляционной стадии вселенная пуста, а вся материя затем рождается в результате квантовых процессов. Все галактики образуются из квантовых флуктуаций, рождающихся на последних стадиях инфляции. И, не будь квантовых эффектов, во вселенной не было бы ни галактик, ни материи. Этот результат можно сформулировать так:

Без инфляции наша вселенная была бы уродлива, а без квантовых эффектов она была бы пустой.

Однако есть еще один момент. Как обсуждалось выше, квантовые флуктуации приводят к вечному процессу самовоспроизведения инфляционной вселенной.

Квантовые эффекты совместно с инфляцией делают вселенную бесконечно большой и бессмертной.

Отсюда следует возможный ответ на вопрос Уилера.

Не удивительно ли то, что различные, не связанные между собой вещи могут образовывать такую прекрасную и самосогласованную картину? Обнаружили ли мы вселенскую истину или нас просто вводит в заблуждение эта красота? Это один из вопросов, которые мы будем задавать себе еще некоторое время. Необходимо двигаться вперед медленно и осторожно, постоянно придерживаясь надежных и хорошо установленных фактов, однако изредка можно позволить себе и смелые предположения, как и поступал Джон Уилер.

 

Использованная литература

Abbott, L. F., Farhi, E. and Wise, M. B. (1982) ``Particle Production In The New Inflationary Cosmology,'' Phys. Lett. B 117, 29.

Albrecht, A. and Steinhardt, P. J. (1982) ``Cosmology For Grand Unified Theories With Radiatively Induced Symmetry Breaking,'' Phys. Rev. Lett. 48, 1220.

Antoniadis, I., Arkani-Hamed, N., Dimopoulos, S. and Dvali, G. R. (1998) ``New dimensions at a millimeter to a Fermi and superstrings at a TeV,'' Phys. Lett. B 436, 257 [arXiv:hep-ph/9804398].

Arkani-Hamed, N., Dimopoulos, S. and Dvali, G. R. (1998) ``The hierarchy problem and new dimensions at a millimeter,'' Phys. Lett. B 429, 263 [arXiv:hep-ph/9803315].

Arkani-Hamed, N., Dimopoulos, S., Dvali, G. R. and Kaloper, N. (2000) ``Manyfold universe,'' JHEP 0012, 010 [arXiv:hep-ph/9911386].

Banks, T. (1988) ``Prolegomena To A Theory Of Bifurcating Universes,'' Nucl. Phys. B 309, 493.

Banks, T., Dine, M., and Motl, L. (2001) ``On anthropic solutions of the cosmological constant problem,'' JHEP 0101, 031 [arXiv:hep-th/0007206].

Bardeen, J. M., Steinhardt, P. J. and Turner, M. S. (1983) ``Spontaneous Creation Of Almost Scale - Free Density Perturbations In An Inflationary Universe,'' Phys. Rev. D 28, 679.

Barrow,J. D. and Tipler, F. J. (1986) The Anthropic Cosmological Principle, Oxford University Press, New York.

Bludman, S. A. and Roos, M. (2002) ``Quintessence cosmology and the cosmic coincidence,'' Phys. Rev. D 65, 043503 [arXiv:astro-ph/0109551].

Borde, A., Guth, A. H. and Vilenkin, A. (2001) ``Inflation is not past-eternal,'' arXiv:gr-qc/0110012.

Bousso, R. and Polchinski, J. (2000) ``Quantization of four-form fluxes and dynamical neutralization of the cosmological constant,'' JHEP 0006, 006 [arXiv:hep-th/0004134].

Coleman, S. R. (1988a) ``Black Holes As Red Herrings: Topological Fluctuations And The Loss Of Quantum Coherence,'' Nucl. Phys. B 307, 867.

Coleman, S. R. (1988b) ``Why There Is Nothing Rather Than Something: A Theory Of The Cosmological Constant,'' Nucl. Phys. B 310, 643.

DeWitt, B. S. (1967) ``Quantum Theory Of Gravity. 1. The Canonical Theory,'' Phys. Rev. 160, 1113 (1967).

Dolgov, A. D. and Linde, A. D. (1982) ``Baryon Asymmetry In Inflationary Universe,'' Phys. Lett. B 116, 329.

Donoghue, J. F. (2000) ``Random values of the cosmological constant,'' JHEP 0008, 022 [arXiv:hep-ph/0006088].

Efstathiou, G. (1995) M.N.R.A.S. 274, L73.

Felder, G., Garcia-Bellido, J., P. B. Greene, Kofman, L., Linde, A. D. and Tkachev, I. (2001) ``Dynamics of symmetry breaking and tachyonic preheating,'' Phys. Rev. Lett. 87, 011601, hep-ph/0012142.

Feng, J. L., March-Russell, J., Sethi, S. and Wilczek, F. (2001) ``Saltatory relaxation of the cosmological constant,'' Nucl. Phys. B 602, 307 [arXiv:hep-th/0005276].

Garcia-Bellido, J., Linde, A. D. and Linde, D. A. (1994) ``Fluctuations of the gravitational constant in the inflationary Brans-Dicke cosmology,'' Phys. Rev. D 50, 730 [arXiv:astro-ph/9312039].

Garcia-Bellido, J. and Linde, A. D. (1995) ``Stationarity of inflation and predictions of quantum cosmology,'' Phys. Rev. D 51, 429 [arXiv:hep-th/9408023].

Garriga, J. and Vilenkin, A. (2000), ``On likely values of the cosmological constant,'' Phys. Rev. D 61, 083502 [arXiv:astro-ph/9908115].

Garriga, J. and Vilenkin, A. (2001a), ``A prescription for probabilities in eternal inflation,'' Phys. Rev. D 64, 023507 [arXiv:gr-qc/0102090].

Garriga, J. and Vilenkin, A. (2001b), ``Solutions to the cosmological constant problems,'' Phys. Rev. D 64, 023517 [arXiv:hep-th/0011262].

Garriga, J. and Vilenkin, A. (2002) ``Testable anthropic predictions for dark energy,'' arXiv:astro-ph/0210358.

Giddings, S. B. and Strominger, A. (1988) ``Loss Of Incoherence And Determination Of Coupling Constants In Quantum Gravity,'' Nucl. Phys. B 307, 854.

Giddings, S. B. and Strominger, A. (1989) ``Baby Universes, Third Quantization And The Cosmological Constant,'' Nucl. Phys. B 321, 481.

Guth, A. H. (1981) ``The Inflationary Universe: A Possible Solution To The Horizon And Flatness Problems,'' Phys. Rev. D 23, 347.

Guth, A. H. and S. Y. Pi (1982) ``Fluctuations In The New Inflationary Universe,'' Phys. Rev. Lett. 49, 1110.

Hawking, S. W. (1982) ``The Development Of Irregularities In A Single Bubble Inflationary Universe,'' Phys. Lett. B 115, 295.

Hawking, S. W. (1984) ``The Cosmological Constant Is Probably Zero,'' Phys. Lett. B 134, 403.

Hartle, J. B. and Hawking, S. W. (1983). ``Wave Function Of The Universe,'' Phys. Rev. D 28, 2960

Kallosh, R. and Linde, A. D. (2002) ``M-theory, cosmological constant and anthropic principle,'' arXiv:hep-th/0208157.

Kofman, L., Linde, A. D. and Starobinsky, A. A. (1994) ``Reheating after inflation,'' Phys. Rev. Lett. 73, 3195 [arXiv:hep-th/9405187].

Kofman, L., Linde, A. D. and Starobinsky, A. A. (1997) ``Towards the theory of reheating after inflation,'' Phys. Rev. D 56, 3258 [arXiv:hep-ph/9704452].

Kolb, E. W. and Turner, M. S. (1990) The Early Universe, Addison-Wesley, New York.

Linde, A. D. (1982a) ``A New Inflationary Universe Scenario: A Possible Solution Of The Horizon, Flatness, Homogeneity, Isotropy And Primordial Monopole Problems,'' Phys. Lett. B 108, 389.

Linde, A. D. (1982b) ``Nonsingular Regenerating Inflationary Universe,'' Print-82-0554 (Cambridge University).

Linde, A. D. (1982c) ``Scalar Field Fluctuations In Expanding Universe And The New Inflationary Universe Scenario,'' Phys. Lett. B 116, 335 (1982).

Linde, A. D. (1983a) ``The New Inflationary Universe Scenario,'' In: The Very Early Universe, ed. G.W. Gibbons, S.W. Hawking and S.Siklos, pp. 205-249 Cambridge University Press.

Linde, A. D. (1983b) ``Chaotic Inflation,'' Phys. Lett. 129B, 177.

Linde, A. D. (1983c) ``Inflation Can Break Symmetry In Susy,'' Phys. Lett. B 131, 330.

Linde, A. D. (1984a) ``Quantum Creation Of The Inflationary Universe,'' Lett. Nuovo Cim. 39, 401.

Linde, A. D. (1984b) ``The Inflationary Universe,'' Rep. Prog. Phys. 47, 925.

Linde, A. D. (1985) ``The New Mechanism Of Baryogenesis And The Inflationary Universe,'' Phys. Lett. B 160, 243.

Linde, A. D. (1986a) ``Eternally Existing Self-reproducing Chaotic Inflationary Universe,'' Phys. Lett. B 175, 395.

Linde, A. D. (1986b) ``Inflation And Quantum Cosmology,'' Print-86-0888 (June 1986), in: Three hundred years of gravitation, (Eds.: Hawking, S.W. and Israel, W., Cambridge Univ. Press, 1987), 604-630.

Linde, A. D. (1987a) ``Particle Physics and Inflationary Cosmology,'' Physics Today 40, 61.

Linde, A. D. (1987b) ``Inflation And Axion Cosmology,'' Phys. Lett. B 201, 437 (1988).

Linde, A. D. (1988) ``The Universe Multiplication And The Cosmological Constant Problem,'' Phys. Lett. B 200, 272.

Linde, A. D. (1989) ``Life After Inflation And The Cosmological Constant Problem,'' Phys. Lett. B 227, 352.

Linde, A. D. (1990a) Particle Physics and Inflationary Cosmology, Harwood Academic Publishers, Chur, Switzerland.

Linde, A. D. (1990b) ``Extended Chaotic Inflation And Spatial Variations Of The Gravitational Constant,'' Phys. Lett. B 238, 160.

Linde, A. D. (1991) ``Inflation And Quantum Cosmology,'' Phys. Scripta T36, 30.

Linde, A. D. (1998) ``Quantum creation of an open inflationary universe,'' Phys. Rev. D 58, 083514 [arXiv:gr-qc/9802038].

Linde, A. D., Linde, D. A. and Mezhlumian, A. (1994) ``From the Big Bang theory to the theory of a stationary universe,'' Phys. Rev. D 49, 1783 [arXiv:gr-qc/9306035].

Linde, A. D., Linde, D. A. and Mezhlumian, A. (1996) ``Nonperturbative Amplifications of Inhomogeneities in a Self-Reproducing Universe,'' Phys. Rev. D 54, 2504 [arXiv:gr-qc/9601005].

Linde, A. D. and Mezhlumian, A. (1996) ``On Regularization Scheme Dependence of Predictions in Inflationary Cosmology,'' Phys. Rev. D 53, 4267 [arXiv:gr-qc/9511058].

Linde, A. D. and Zelnikov, M. I. (1988) ``Inflationary Universe With Fluctuating Dimension,'' Phys. Lett. B 215, 59.

Martel, H., Shapiro P. R. and Weinberg, S. (1998) ``Likely Values of the Cosmological Constant,'' Astrophys. J. 492, 29. arXiv:astro-ph/9701099.

Mukhanov, V. F. (1985) ``Gravitational Instability Of The Universe Filled With A Scalar Field,'' JETP Lett. 41, 493.

Mukhanov, V. F. and G. V. Chibisov, ``Quantum Fluctuation And `Nonsingular' Universe,'' JETP Lett. 33, 532 (1981) [Pisma Zh. Eksp. Teor. Fiz. 33, 549 (1981)].

Page, D. N. (2002) ``Mindless Sensationalism: A Quantum Framework for Consciousness,'' in: Consciousness: New Philosophical Essays, Eds. Q. Smith and A. Jokic. Oxford, Oxford University Press. arXiv:quant-ph/0108039.

Randall, L, and Sundrum, R. (1999) ``A large mass hierarchy from a small extra dimension,'' Phys. Rev. Lett. 83, 3370 [arXiv:hep-ph/9905221].

Rees, M. (2000) Just Six Numbers: The Deep Forces that Shape the Universe, Basic Books, Perseus Group, New York.

Rozental, I.L. (1988) Big Bang, Big Bounce, Springer Verlag.

Starobinsky, A.A. (1980) ``A New Type Of Isotropic Cosmological Models Without Singularity,'' Phys. Lett. B 91, 99.

Starobinsky, A. A. (1982) ``Dynamics Of Phase Transition In The New Inflationary Universe Scenario And Generation Of Perturbations,'' Phys. Lett. B 117, 175.

Starobinsky, A. A. (1986) ``Stochastic De Sitter (Inflationary) Stage In The Early Universe,'' in: Current Topics in Field Theory, Quantum Gravity and Strings, Lecture Notes in Physics, eds. H.J. de Vega and N. Sanchez (Springer, Heidelberg) 206, p. 107.

Steinhardt, P. (1983) ``Natural Inflation,'' In: The Very Early Universe, ed. G.W. Gibbons, S.W. Hawking and S.Siklos, Cambridge University Press.

Tegmark, M. (1998) ``Is *the theory of everything* merely the ultimate ensemble theory?'' Annals Phys. 270, 1 [arXiv:gr-qc/9704009].

Turok, N. (2002) ``A Critical Review Of Inflation,'' Class. Quant. Grav. 19, 3449 (2002).

Vanchurin, V., Vilenkin, A. and Winitzki, S. (2000) ``Predictability crisis in inflationary cosmology and its resolution,'' Phys. Rev. D 61, 083507 [arXiv:gr-qc/9905097].

Vilenkin, A. (1983) ``The Birth Of Inflationary Universes,'' Phys. Rev. D 27, 2848.

Vilenkin, A. (1984) ``Quantum Creation Of Universes,'' Phys. Rev. D 30, 509.

Vilenkin, A. (1995) ``Predictions From Quantum Cosmology,'' Phys. Rev. Lett. 74, 846 [arXiv:gr-qc/9406010].

Vilenkin, A. and Ford, L. H. (1982) ``Gravitational Effects Upon Cosmological Phase Transitions,'' Phys. Rev. D 26, 1231.

Weinberg, S. (1987) ``Anthropic Bound On The Cosmological Constant,'' Phys. Rev. Lett. 59, 2607.

Wheeler, J A. (1990) ``Information, Physics, Quantum: The Search for Links,'' in: Complexity, Entropy and the Physics of Information, ed. W.H Zurek, Addison-Wesley, pp. 3-28.