Задачи для самостоятельного решения. 1. Дано уравнение прямой

1. Дано уравнение прямой .

Написать: а) общее уравнение этой прямой; б) уравнение с угловым коэффициентом; в) уравнение в отрезках; г) нормальное уравнение.

Ответ: а) ; б) ; в) ; г)

2. Прямая отсекает на осях координат равные положительные отрезки. Составить уравнение прямой, если площадь треугольника, образованного прямой с осями координат, равна 8.

Ответ. х + y - 4 = 0.

3. Даны вершины треугольника АВС:

Определить внутренний угол при вершине А.

Ответ. .

4. Даны стороны треугольника: ,

. Составить уравнения его высот.

Ответ. .

5. Даны вершины треугольника Составить уравнения медианы, проведенной из вершины В, и высоты, опущенной из вершины С. Вычислить площадь треугольника.

Ответ. , , кв.ед.

6. Даны вершины треугольника АВС: А (0;2), B (7;3) и С (1;6). Определить Ð ВАС=a.

Ответ.

7. Даны стороны треугольника x + y - 6=0, 3 x - 5 y +14=0 и 5 x -3 y -14=0. Составить уравнения высот треугольника.

Ответ. x-y = 0, 5 x +3 y -26 = 0, 3 x +5 y – 26 = 0.

8.. Составить уравнения биссектрис углов между прямыми 3 x +4 y – 20 = 0 и 8 x +6 y + 35 = 0.

Ответ. 14 x +14 y – 45 = 0, 2 x - 2 y + 35 = 0.

9. Даны вершины треугольника: А (0;0), В (-1;-3) и С (-5;-1). Составить уравнения прямых, проходящих через вершины треугольника и параллельных сторонам треугольника.

Ответ. 3 x – y +14 = 0, x - 5 y -14 = 0, x +2 y = 0

10. Определить расстояние от точки М (2;-1)до прямой, отсекающей на осях координат отрезки а =8, b =6.

Ответ. 4,4.

11. Найти длину высоты треугольника с вершинами A (3/2;1), B (1;5/3), С (3;3), проведенной из вершины С.

Ответ. 2,4.

12. Даны середины сторон треугольника: A ₁(-1;-1), B ₁(1;9), C ₁(9;1). Составить уравнения перпендикуляров к сторонам, проходящих через середины соответствующих сторон треугольника.

Ответ. х – y = 0, x + 5 y – 14 = 0, 5 x + y – 14 = 0.

13. Найти острый угол, образованный с осью ординат прямой, проходящей через точки:

А (2; ) и B (3; ).

Ответ.

14. Точки А (1;2) и С (3;6) являются противоположными вершинами квадрата. Определить координаты двух других вершин квадрата.

Ответ. (0;5) и (4;3).

15. Найти прямую, проходящую через точку пересечения прямых x +2 y +3 = 0, 2 x +3 y +4 = 0 и параллельную прямой

5 x +8 y = 0.

Ответ. 5 х +8 у +11 = 0.

16. Показать, что треугольник со сторонами х + y +1=0, x + y +1 = 0 и x – y -10 = 0 равнобедренный. Найти угол при вершине треугольника.

Ответ. 30°.

17. Дана вершина треугольника A (3;9) и уравнения медиан: у – 6 = 0 и 3 х - 4 y +9 = 0. Найти координаты двух других вершин.

Ответ. В (1;3), С (11;6).

18. Составить уравнения трех сторон квадрата, если известно, что четвертой стороной является отрезок прямой

4 x +3 y -12 = 0, концы которого лежат на осях координат.

Ответ. 3 х - 4 у -9 = 0, 3 х - 4 у +16 = 0, 4 x +3 y -37 = 0 или

4 х +3 у +13 = 0.

Занятие 15. Кривые второго порядка: окружность, эллипс

15.1. Окружность.

Окружность-это геометрическое место точек, равноудаленных от данной точки (центра). Если r -радиус окружности, а точка С (a; b)-ее центр то уравнение окружности имеет вид

(x - a)²+(y-b)²= r ². (15.1)

В частности, если центр окружности совпадает с началом координат, то последнее уравнение примет вид

x ² + y ² = r ².

Полезно помнить, что уравнение окружности содержит старшие члены x ² и y ² с равными коэффициентами и в нем отсутствует член с произведением x на y.

Пример 15.1. Найти координаты центра и радиус окружности 2 x ² + 2 y ² - 8 х - 5 у -4=0.

Решение. Разделив уравнение на 2 и сгруппировав члены уравнения, получим . Дополним x ² -4 х и y ²+ до полных квадратов, прибавив к первому двучлену 4 и ко второму (одновременно к правой части прибавляется сумма этих чисел):

или

Таким образом, координаты центра окружности а = 2,

b = -5/4 и радиус окружности r =11/4.

Пример 15.2. Составить уравнение окружности, описанной около треугольника, стороны которого заданны уравнениями.

9 х -2 у – 41 = 0, 7 х +4 у + 7 = 0, х -3 у +1= 0.

Решение. Найдём координаты вершин треугольника, решив совместно три системы уравнений:

1)

2)

3)

Получим А (3,-7), В (5,2), С (-1,0).

Пусть искомое уравнение окружности имеет вид

(x - а)²+(y - b)²= r ². Для нахождения a, b, r напишем три равенства, подставив в искомое уравнение вместо текущих координат координаты точек А, В, С:

Исключая r ², приходим к системе уравнений:

Или 4 а + 18 b = -29 и 8 а – 14 b =57. Отсюда, а =3,1, b = -2,3. Значение r ² находим из уравнения (-1 - а) ²+ b ² = r ², т.е. r ²=22,1; уравнение искомой окружности (х -3,1)² +(у +2,3) ² =22,1.

Пример 15.3. Составить уравнение окружности, проходящей через точки А (5,0) и В (1,4), если центр её лежит на прямой х + у – 3 = 0.

Решение. Найдём координаты точки М – середины хорды АВ:

, , т.е. середина хорды АВ – точка М (3,2). Центр окружности должен находиться на перпендикуляре, восстановленном из середины хорды, поэтому уравнение этого перпендикуляра можно записать в виде:

у – 2 = k (х -3), где угловой коэффициент k найдётся из условия перпендикулярности с прямой АВ, уравнение которой или х + у -5 = 0.

Следовательно, угловой коэффициент перпендикуляра k =1, а уравнение этого перпендикуляра у -2 = 1(х -3), или

х – у -1 = 0.

Центр окружности С лежит на пересечении данной прямой с перпендикуляром, т.е. координаты центра определяются из решения системы уравнений х + у – 3 = 0 и х – у -1 = 0. Отсюда х =2, у =1, т.е. С (2,1).

Радиус окружности равен длине отрезка СА, т.е. . Итак, уравнение окружности

(х -2) ²+ (у -1) ² = 10.

Эллипс.

Эллипсом называется геометрическое место точек плоскости, для которых суммы расстояний до двух фиксированных точек F ₁ и F ₂этой плоскости, называемых фокусами, есть величина постоянная, большая расстояния между фокусами.

Пусть постоянная, о которой говорилось в определении равна 2а, а расстояние между фокусами 2 с.

Выберем систему координат следующим образом. Пусть ось Ох проходит через фокусы, а ось Оу через середину отрезка F ₁ F ₂. Тогда

Рис. 19.

фокусы имеют координаты: F₁= (-c, 0); F₂= (c, 0). Из определения . И уравнение эллипса принимает простейший (канонический) вид

.

Здесь а – большая, b – малая полуоси эллипса, причем a,d,c связаны соотношением a ² = b ² + c ² ().

Форма эллипса (мера его сжатия) характеризуется его эксцентриситетом , (так как с < а, то ε < 1).

В частном случае, когда а = b (с =0, ε = 0, фокусы сливаются в одной точке—центре), эллипс превра­щается в окружность (с уравнением х ² + у ² = а ²).

Две прямые перпендикулярные большей оси эллипса, расположенные симметрично от начала координат на расстоянии , называются директрисами эллипса. Их уравнения можно записать

D₁: х = , D₂: х = .

Директрисы эллипса расположены вне эллипса, поскольку

> а (0< < 1).

Теорема. Отношение расстояния r_i от точки М эллипса до фокуса F_i к расстоянию d_i от этой точки до отвечающей этому фокусу директрисы равно эксцентриситету ε этого эллипса.

Пример 15.4. Составить каноническое уравнение эллипса, проходящего через точки и .

Решение. Пусть искомое уравнение эллипса будет . Этому уравнению должны удовлетворять коор­динаты данных точек. Следовательно,

и .

Отсюда а ² = 10, b ²= 1 и уравнение эллипса имеет вид .

Вопросы для самопроверки

1. Каковы канонические уравнения окружности и эллипса?

2. Что называется фокусами, директрисами и эксцентриситетом эллипса?

3. Каковы геометрические свойства эллипса?