Схема интегрирования рациональных дробей

1) Если дробь неправильная – выделить целую часть

2) Найти все корни знаменателя и его разложение на множители по формуле (1)

3) Разложить рациональную дробь на сумму простейших

4) Проинтегрировать каждую из простейших дробей согласно её типу, результаты просуммировать

 

Билет 33. Интегрирование тригонометрических выражений.

 

R(sinx, cosx)dx

Подстановка tg(x/2)=t, sinx = 2t/(1+t²), cosx = (1-t²)/(1+t²), dx = 2dt/(1+t²)

R(sinx, cosx)dx

Подстановка tgx=t, sinx = t/(корень из 1+t²), cosx = 1/(корень из 1+t²), dx = dt/(1+t²)

R(sinx)cosxdx

Подстановка sinx=t, cosxdx = dt

Sin2mxcos2nxdx

Подстановка cos²x = (1+cos2x)/2, sin²x = (1-cos2x)/2, sinxcosx = 1/2sin2x

Sinmxcosnxdx

n=2k+1, (cos2x)^k , затем подстановка sinx = t

6)∫sinαx sinβx = ½(cos(α-β)x – cos(α+β)x;

∫cosαx cosβx = ½(cos(α-β)x + cos(α+β)x;

∫ sinαx cosβx = ½(sin (α-β)x + cos(α+β)x

Билет 34. Интегрирование иррациональых функций.

1) ∫R(x, (ax+b/cx+d)^r1/s1)dx

Интеграл берётся с помощью замены ax+b/cx+d = t^N, где N – наименьший общий знаменатель дробей

2) ∫R(x, (корень из a²-x²)dx, a = sint

3) ∫R(x, (корень из a²+x²)dx, a = tgt

4) ∫R(x, (корень из x²-a²)dx, a = a/cost

5) Дифференциальный бином: x^m(axⁿ+b)^pdx

1) p – целое

2) m+1 – целое, подстановка axⁿ+b=t^s, где p=r/s

3) m+1/n+p – целое, подстановка axⁿ+b=t^sxⁿ,

6) Подстановки Эйлера R(x, (корень из ax²+bx+c)

1) Если а>0, то корень из ax²+bx+c = t+-кор. из ах

2) Если а<0, то корень из ax²+bx+c = xt+-кор. из c

3) Если ax²+bx+c имеет различные действительные корни х1 и х2, то корень из ax²+bx+c = t(x-x1)

 

Билет 35. Нахождение пути по скорости. Интеграл Римана. Алгебраические свойства интеграла. Свойства, связанные с отрезками интегрирования. Интегральные неравенства и оценки, 1-я теорема о среднем.

 

Определение пути по заданной скорости. S=Vt (равномерное прямолинейное движение). Рассмотрим движение материальной точки. ∆t – малый промежуток времени. V(t) ≈ V(t0).

∆S=S(t0+ ∆t)-S(t0). Разобьём промежуток [t0; t] на n частей: [t0; t1] итд. и обозначим

∆k = t_k-t_k-1. Тогда приближённый путь равен: S(t)-S(t0) = ∆S ≈ V(T1)(t1-t0) + V(T2)(t2-t1)

и т.д., если max ∆kà0, D и Eà∆S

 

Определение. Пусть f(x) задана на [a; b] и пусть существует конечное I такое, что для для любого ε>0 найдётся δ>0 такая, что |I- δ |< ε при условии, что параметр разбиения с отмеченными точками λ (P; ξ)< δ. Тогда функция называется интегрированной по Римену на [a;b], число I называют пределом инт.

Пределы интегрирования.

 

Свойства.

1) Пусть f(x) интегрируема на [a; b]. Тогда c f(x) также интегрируемана [a; b]: ∫Cf(x)dx = C∫f(x)dx

2) Пусть f(x) и g(x) интегрируемы на [a; b]. Тогда f(x)+g(x) также интегр. на [a; b]:

∫(f(x)+-g(x))dx = ∫f(x)dx +- ∫g(x)dx

3) ∫(С1f1(x)+C2f2(x)+c3f3(x))dx = C1∫f1(x) + C2∫f2(x) + C3∫f3(x)

4) ∫f(x)dx = -∫f(x)dx, пределы интегрирования меняем местами

5) ∫f(x)dx (a;b) = ∫f(x)dx (a; c) + ∫f(x)dx (c; b) – аддиктивность определённого интеграла

6) ∫|f(x)dx| <= ∫|f(x)|dx

7) Если f(x) <= g(x), и для всех х (- [a; b], f(x), g(x) – интегрируемы, то верно неравенство: ∫f(x)dx <= ∫g(x)dx – интегрирование неравенств

8) Пусть функция f(x) интегрируема на [a; b] и m <= f(x) <= M, x(-[a; b]. Тогда m(b-a) <= ∫f(x)dx <= M(b-a) – оценка интеграла

Теорема о среднем. Если функция f(x) непрерывна на [a; b], то для всех ξ (- [a; b] верно неравенство:

f(ξ) = ∫f(x)dx / (b-a)

 

Билет 36. Геометрический смысл. Основные классы интегрируемых функций.

Геометрический смысл. Для простоты возьмём f(x) > 0, непр. на [a; b]. Интеграл предста

вляет собой площадь криволинейной трапеции, ограниченной линиями

y = 0, x = a, x = b, y = f (x)

 

Отрезок AB разобьём на n частичных отрезков (точками x1, x2 итд). В каждом отрезке берём произвольную точку ξ. Сумма всех произведений f(ξ1)*∆x1 + итд. будет равна площади ступенчатой фигуры и приближённо равна S. С уменьшением всех величин х, точность полученной формулы увеличивается.

Sabcd = ∫f(x)dx, если интеграл определён.