Точность результатов многократных измерений одной и той же величины оценивают в такой последовательности.
1. Находят вероятнейшее (наиболее точное для данных условий) значение измеренной величины по формуле арифметической средины х= [ l ]/п.
2. Вычисляют отклонения δi = l i – x каждого значения измеренной величины l 1, l 2, … l n от значения арифметической средины. Контроль вычислений: [δ] = 0.
3. По формуле Бесселя (19.2) вычисляют среднюю квадратическую погрешность одного измерения.
4. По формуле (19.3) вычисляют среднюю квадратическую погрешность арифметической середины.
5. Если измеряют линейную величину, то подсчитывают относительную среднюю квадратичную погрешность каждого измерения и арифметической средины.
6. При необходимости подсчитывают предельную погрешность одного измерения, которая может служить допустимым значением погрешностей аналогичных измерений.
Таблица 20.1
| № п\п | l, м | δ, см | δ2, см2 | Вычисления |
| 121,75 | -1 |  см
M = 4,0/  = 1,6см
ml / l = 1/3000
M/ l = 1/7600
∆пр. = 12см
| ||
| 121,81 | +5 | |||
| 121,77 | +1 | |||
| 121,70 | -6 | |||
| 121,73 | -3 | |||
| 121,79 | +3 | |||
| Среднее | 121,76 | ∑ =- 1 | ∑ = 81 |
Таблица 20.2
| № п/п | Время измерения, ч | t1, Cº | t2 Cº | tср= (t1+t2)/2 | d= (t1-t2) | d2 | Вычисления |
| 12,4 | 12,6 | 12,5 | -0,2 | 0,04 | m =  = 0,17 Сº
Mtср= 0,5  = 0,12 Cº
| ||
| 11,7 | 12,0 | 11,8 | -0,3 | 0,09 | |||
| 12,0 | 12,0 | 12,0 | |||||
| 15,1 | 14,7 | 14,9 | +0,4 | 0,16 | |||
| 16,0 | 15,8 | 15,9 | +0,2 | 0,04 | |||
| 20,5 | 20,6 | 20,6 | -0,1 | 0,01 | |||
| 24,9 | 25,2 | 25,0 | -0,3 | 0,09 | |||
| 25,2 | 25,2 | 25,2 | |||||
| 24,4 | 24,2 | 24,3 | +0,2 | 0,04 | |||
| 20,1 | 20,0 | 20,0 | +0,1 | 0,01 | |||
| II | 16,1 | 16,4 | 16,2 | -0,3 | 0,09 | ||
| 13,5 | 13,4 | 13,4 | +0,1 | 0,01 | |||
| ∑= =-0,2 | ∑= =0,58 |
Примечание. Если в округляемом числе последняя цифра 5, то ее округляют до четной цифры, например: 10,375 - до 10,38; 0,245 - до 0,24.
Пример20.1. Длина линии местности измерена шесть раз. Требуется определить вероятнейшее значение длины линии и оценить точность выполненных измерений. Результаты измерений и вычислений записывают по форме, приведенной в табл.20.1.
Пример20.2. На метеостанции температура воздуха измерялась в разное время суток двумя одинаковыми термометрами.
Требуется определить среднюю квадратичную погрешность измерения температуры воздуха одним термометром и среднего значения из одновременных измерений двумя термометрами. Значения измеренных температур воздуха и оценку точности измерений записывают по форме, приведенной в табл. 20.2.
Оценку точности по разностям двукратных измерений производят в такой последовательности. 1. Вычисляют среднее значение из двукратных измерений. 2. Вычисляют разности d двукратных измерений. 3. По формуле (19.4) вычисляют среднюю квадратичную погрешность одного измерения 4,0см. По формуле (19.5) вычисляют среднюю квадратичную погрешность среднего результата из двух измерений.
Назад
СРЕДНЯЯ КВАДРАТИЧЕСКАЯ ОШИБКА ФУНКЦИИ
ИЗМЕРЕННЫХ ВЕЛИЧИН
В тех случаях, когда пользуются косвенными методами измерений, ошибка результата зависит как от ошибок измеренных величин, так и действий, с помощью которых вычислен искомый результат. Поэтому определение ошибок функций измеренных величин mf имеет большое практическое значение.
Рассмотрим функцию z самого общего вида от многих независимых величин l 1, l 2,…, l n:
z = f (l 1, l 2… l n). (21.1)
С учетом ошибок измерений, можно записать
z +Δz = f (l 1 + Δ l 1, l 2 + Δ l 2, … l n + Δ l n).
Поскольку Δ l 1, Δ l 2, …, Δ l n малы, то функцию можно разложить в ряд Тейлора, ограничиваясь членами, содержащими только первые степени ошибок Δ l 1, Δ l 2, … Δ l n. При разложении в ряд применяются частные производные, так как в уравнении имеются несколько переменных аргументов.
z + Δz = f (l 1, l 2, … l n) + (
),
откуда
Δz = 
. (21.2)
Для удобства записи примем, что
(i = 1, 2, …, n),
тогда уравнение (21.2) примет вид
Δz = K 1Δ l 1 + K 2Δ l 2 +… + K nΔ l n, (21.3)
где K 1, K 2, … K n – постоянные числа.
Возведем уравнение (21.3) в квадрат и разделим на n
Если выполнен ряд измерений, то можно получить n аналогичных равенств, просуммировав которые можно получить уравнение
(21.4)
но так как
[Δ li Δ li+ 1] = 0,
то
,
и учитывая, что
а
то
(21.5)
т.е. квадрат средней квадратической ошибки функции общего вида равен сумме квадратов произведений частных производных по каждому аргументу на среднюю квадратическую ошибку соответствующего аргумента.Назад
РАЗДЕЛ 2
ГЕОДЕЗИЧЕСКИЕ ИЗМЕРЕНИЯ
ГЛАВА 5
ИЗМЕРЕНИЕ ДЛИНЫ ЛИНИЙ
ВВОДНЫЕ СВЕДЕНИЯ
Измерения – процесс сравнения какой-либо величины с другой одноименной величиной, принимаемой за единицу.
Геодезические измерения позволяют определять относительное взаимное расположение отдельных точек земной поверхности. Геодезические измерения бывают: 1) линейными, в результате которых на местности определяются расстояния между заданными точками; 2) угловыми, определяющими значения горизонтальных и вертикальных углов на земной поверхности в данных вершинах между направлениями на некоторые заданные точки; 3) высотными (нивелирование), в результате которых определяются разности высот отдельных точек, т. е. разности расстояний по нормали от принятой отсчетной поверхности до данных точек.
В России для перечисленных видов геодезических измерений используются следующие единицы:
а) в линейных измерениях (горизонтальных и вертикальных) – метр. Эталон длины метра физически реализован в виде однометрового платино-иридиевого жезла № 28, хранящегося во Всероссийском научно-исследовательском институте метрологии;
б) в угловых измерениях – окружность и ее доли – градус, равный 1/360 окружности; минута, равная 1/60 градуса; секунда, равная 1/60 минуты. В некоторых странах, например в ФРГ, применяется градовая (метрическая) система: 1 град, равный 1/400 окружности; 1 минута, равная 1/100 града; 1 секунда, равная 1/100 минуты.
Измерение расстояний производят непосредственным или косвенным методами. При непосредственном методе мерный прибор (измерительную рулетку, землемерную ленту и т. п.) последовательно укладывают в створе измеряемого отрезка. При косвенном методе измеряют вспомогательные параметры (углы, базисы, физические параметры и т. п.), а длину отрезка вычисляют по формуле, отображающей зависимость между измеренными величинами и длиной отрезка. Непосредственно длины отрезков измеряются с помощью механических мерных приборов – мерных лент, рулеток, длинномеров и т. д. Косвенные методы реализуются с использованием различных видов дальномеров – оптических, радиофизических, лазерных и т. д.
Точность определения расстояний зависит от метода измерений, применяемого прибора, условий измерений и колеблется от 1:200 до 1:1000 000 измеряемого расстояния. Назад
