Тема: Распределения Максвелла и Больцмана

1. Зависимость давления от высоты для изотермической атмосферы описывается барометрической формулой . Для этой зависимости справедливы следующие утверждения …

			зависимость давления одного и того же газа при двух разных температурах представлена на рисунке:
			зависимость определяется не только температурой газа, но и массой его молекул
			зависимость давления одного и того же газа при двух разных температурах представлена на рисунке:
			с понижением температуры давление газа на высоте стремится к давлению на высоте

 

Решение:
Из барометрической формулы следует, что зависимость давления от высоты определяется как температурой газа, так и массой его молекул. Для одного и того же газа с повышением температуры зависимость становится все более слабо выраженной, так что молекулы оказываются распределенными по высоте почти равномерно. При понижении температуры давление на высотах, отличных от нуля, убывает, обращаясь в нуль при . При этом давление определяется весом всего газа и не меняется при изменении температуры. Для разных газов при одинаковой температуре давление газа с более тяжелыми молекулами убывает с высотой быстрее, чем для газа с легкими молекулами.

 

2. Зависимости давления идеального газа во внешнем однородном поле силы тяжести от высоты для двух разных температур представлены на рисунке.

Для этих функцийверными являются утверждения, что …

			температура ниже температуры
			зависимость давления идеального газа от высоты определяется не только температурой газа, но и массой молекул
			температура выше температуры
			давление газа на высоте равно давлению на «нулевом уровне» , если температура газа стремится к абсолютному нулю

 

Решение:
Зависимость давления идеального газа от высоты для некоторой температуры определяется барометрической формулой: , где давление на высоте , масса молекулы, ускорение свободного падения, постоянная Больцмана. Из формулы следует, что при постоянной температуре давление газа уменьшается с высотой по экспоненциальному закону тем медленнее, чем больше температура . Давление определяется весом всего газа и не меняется при изменении температуры.

 

3. Формула описывает распределение одинаковых молекул массой по высоте в изотермической атмосфере; здесь – концентрация молекул при , – их концентрация на высоте . Для этой зависимости справедливы следующие утверждения …

			приведенные на рисунке кривые соответствуют распределениям для одного и того же газа при разных температурах, причем :
			приведенные на рисунке кривые соответствуют распределениям для двух разных газов при одинаковой температуре, причем массы молекул удовлетворяют соотношению :
			приведенные на рисунке кривые соответствуют распределениям для одного и того же газа при разных температурах, причем :
			приведенные на рисунке кривые соответствуют распределениям для двух разных газов при одинаковой температуре, причем массы молекул удовлетворяют соотношению

 

Решение:
Зависимость концентрации молекул идеального газа от высоты для некоторой температуры определяется распределением Больцмана: , где концентрация молекул на высоте , масса молекулы, ускорение свободного падения, постоянная Больцмана. Из формулы следует, что концентрация газа уменьшается с высотой по экспоненциальному закону. При одной и той же температуре молекулы, имеющие меньшую массу, вследствие теплового движения более равномерно распределяются по высоте, и поэтому концентрация молекул газа на «нулевом уровне» меньше, чем для более тяжелых молекул (при одинаковом общем количестве молекул). Для молекул, имеющих бόльшую массу, скорость изменения концентрации выше. С другой стороны для одного и того же газа чем выше температура, тем выше интенсивность хаотического теплового движения, и концентрация молекул газа на «нулевом уровне» меньше концентрации тех же молекул при более низкой температуре. При этом скорость уменьшения концентрации при увеличении высоты при боле высокой температуре ниже, то есть экспоненциальный спад более пологий.

 

4. На рисунке представлены графики функций распределения молекул идеального газа во внешнем однородном поле силы тяжести от высоты для двух разных газов, где массы молекул газа (распределение Больцмана).

Для этих функций верными являются утверждения, что …

			масса больше массы
			концентрация молекул газа с меньшей массой на «нулевом уровне» меньше
			масса меньше массы
			концентрация молекул газа с меньшей массой на «нулевом уровне» больше

 

Решение:
Зависимость концентрации молекул идеального газа от высоты для некоторой температуры определяется распределением Больцмана: , где концентрация молекул на высоте , масса молекулы, ускорение свободного падения, постоянная Больцмана. Из формулы следует, что при постоянной температуре концентрация газа больше там, где меньше потенциальная энергия его молекул , и уменьшается с высотой по экспоненциальному закону. При одной и той же температуре молекулы, имеющие меньшую массу, более равномерно распределяются по высоте, и поэтому концентрация молекул газа на «нулевом уровне» уменьшается, а на высоте увеличивается.

 

5. В трех одинаковых сосудах при равных условиях находится одинаковое количество водорода, гелия и азота

На рисунке представлены графики функций распределения молекул идеального газа по скоростям (распределение Максвелла), где – доля молекул, скорости которых заключены в интервале скоростей от до в расчете на единицу этого интервала.

Для этих функций верными являются утверждения, что …

			кривая 1 соответствует распределению по скоростям молекул азота
			кривая 3 соответствует распределению по скоростям молекул водорода
			кривая 1 соответствует распределению по скоростям молекул гелия
			кривая 2 соответствует распределению по скоростям молекул азота

Решение:
Функция Максвелла имеет вид .
Полная вероятность равна: , то есть площадь, ограниченная кривой распределения Максвелла, равна единице и при изменении температуры не изменяется. Из формулы наиболее вероятной скорости , при которой функция максимальна, следует, что при повышении температуры максимум функции сместится вправо, следовательно, высота максимума уменьшится. Если сравнивать распределения Максвелла по скоростям различных газов при одной и той же температуре, то при увеличении массы молекулы газа максимум функции сместится влево, следовательно, высота максимума увеличится. Наибольшая масса молекул у азота, меньше у гелия и еще меньше у водорода.

 

6. В трех сосудах находятся газы, причем для температур и масс молекул газов имеют место следующие соотношения: , На рисунке схематически представлены графики функций распределения молекул идеального газа по скоростям (распределение Максвелла) для этих газов, где – доля молекул, скорости которых заключены в интервале скоростей от до в расчете на единицу этого интервала:

Для графиков этих функций верными являются утверждения, что …

			кривая 1 соответствует распределению по скоростям молекул газа в сосуде 2
			кривая 3 соответствует распределению по скоростям молекул газа в сосуде 1
			кривая 2 соответствует распределению по скоростям молекул газа в сосуде 2
			кривая 3 соответствует распределению по скоростям молекул газа в сосуде 3

Решение:
имеет смысл площади, ограниченной кривой распределения и осью абсцисс, и численно равен доле молекул, скорости которых имеют всевозможные значения от 0 до . Так как этому условию удовлетворяют все молекул, то и при изменении температуры не изменяется. Из формулы наиболее вероятной скорости , при которой функция максимальна, следует, что при повышении температуры максимум функции сместится вправо, следовательно, высота максимума уменьшится. При увеличении массы молекул значение наиболее вероятной скорости уменьшается, следовательно, максимум функции сместится влево и высота максимума увеличится.

 

7. В трех одинаковых сосудах находится одинаковое количество газа, причем

На рисунке представлены графики функций распределения молекул идеального газа по скоростям (распределение Максвелла), где – доля молекул, скорости которых заключены в интервале скоростей от до в расчете на единицу этого интервала.

Для этих функций верными являются утверждения, что …

			кривая 1 соответствует распределению по скоростям молекул газа при температуре
			кривая 3 соответствует распределению по скоростям молекул газа при температуре
			кривая 2 соответствует распределению по скоростям молекул газа при температуре
			кривая 3 соответствует распределению по скоростям молекул газа при температуре

Решение:
Полная вероятность равна: , то есть площадь, ограниченная кривой распределения Максвелла, равна единице и при изменении температуры не изменяется. Из формулы наиболее вероятной скорости , при которой функция максимальна, следует, что при повышении температуры максимум функции сместится вправо, следовательно, высота максимума уменьшится.

 

8. На рисунке представлен график функции распределения молекул идеального газа по скоростям (распределение Максвелла), где – доля молекул, скорости которых заключены в интервале скоростей от до в расчете на единицу этого интервала.

Если, не меняя температуры взять другой газ с меньшей молярной массой и таким же числом молекул, то …

			максимум кривой сместится вправо в сторону больших скоростей
			площадь под кривой не изменится
			высота максимума увеличится
			площадь под кривой уменьшится

 

Решение:
Функция Максвелла имеет вид .
Полная вероятность равна: , то есть площадь, ограниченная кривой распределения Максвелла, равна единице и при изменении температуры или массы молекул не изменяется. Из формулы наиболее вероятной скорости , при которой функция максимальна, следует, что при повышении температуры максимум функции сместится вправо, следовательно, высота максимума уменьшится. Если сравнивать распределения Максвелла по скоростям различных газов при одной и той же температуре, то при уменьшении массы молекул газа максимум функции сместится вправо, следовательно, высота максимума уменьшится.

 

9. На рисунке представлен график функции распределения молекул идеального газа по скоростям (распределение Максвелла), где – доля молекул, скорости которых заключены в интервале скоростей от до в расчете на единицу этого интервала:

Для этой функции верными являются утверждения …

			положение максимума кривой зависит не только от температуры, но и от природы газа (его молярной массы)
			при увеличении числа молекул площадь под кривой не изменяется
			с ростом температуры газа значение максимума функции увеличивается
			для газа с бόльшей молярной массой (при той же температуре) максимум функции расположен в области бόльших скоростей

Решение:
Из определения функции распределения Максвелла следует, что выражение определяет долю молекул, скорости которых заключены в интервале скоростей от до (на графике это – площадь заштрихованной полоски). Тогда площадь под кривой равна и не изменяется при изменении температуры и числа молекул газа. Из формулы наиболее вероятной скорости (при которой функция максимальна) следует, что прямо пропорциональна и обратно пропорциональна , где и – температура и молярная масса газа соответственно.

 

10. На рисунке представлен график функции распределения молекул идеального газа по скоростям (распределение Максвелла), где – доля молекул, скорости которых заключены в интервале скоростей от до в расчете на единицу этого интервала:

Для этой функции верными являются утверждения …

			с увеличением температуры максимум кривой смещается вправо
			площадь заштрихованной полоски равна доле молекул со скоростями в интервале от до
			с ростом температуры значение максимума функции увеличивается
			с ростом температуры площадь под кривой увеличивается

Решение:
Из определения функции распределения Максвелла следует, что выражение определяет долю молекул, скорости которых заключены в интервале скоростей от до (на графике – площадь заштрихованной полоски). Тогда площадь под кривой равна и не изменяется при изменении температуры. Из формулы наиболее вероятной скорости (при которой функция максимальна) следует, что при повышении температуры максимум функции сместится вправо, следовательно, высота максимума уменьшится.