Правило Лопіталя. Похідні вищих порядків

Кажуть, що відношення двох функцій при є невизначеністю виду або , якщо або відповідно.

Розкрити ці невизначеності, тобто обчислити , надає можливість правило Лопіталя: якщо існує границя відношення похідних (скінченна або нескінченна), тоді існує і границя , причому справедлива формула:

= . (16)

Зауваження 1. Якщо похідні функцій і задовольняють тим самим вимогам, що і самі функції і при , тоді правило Лопіталя можна застосувати повторно.

Приклад 1. Обчислити .

.

Приклад 2. Обчислити .

.

Зауваження 2. Невизначеності виду для функції за допомогою тотожного перетворення можна привести до невизначеності . Остання невизначеність легко зводиться до невизначеності .

Приклад 3. Знайти .

Маємо невизначеність .

.

Приклад 4. Знайти .

Маємо невизначеність .

Функція називається похідною першого порядку функції . Похідна від похідної функції називається похідною другого порядку цієї функції: . Похідні, починаючи з другої, називаються похідними вищих порядків: . Отже, похідна п -го порядку є похідна від похідної (п - 1)-го порядку.

У механіці похідна другого порядку від функції , яка описує траєкторію руху матеріальної точки, має фізичний зміст, а саме визначає прискорення точки в момент часу : .

Формула Тейлора.

Нехай функція має в точці і деякому її околі похідні порядку п +1. Це означає, що функція та її похідні до порядку п включно неперервні і диференційовні в цьому околі. Тоді справедлива формула Тейлора

де деякий залишковий член, причому при (0!=1 у формулі (17)).

Отже, формула Тейлора надає можливість розкласти функцію у степеневий ряд в околі деякої точки .

Зауваження. Формулою Маклорена називають формулу Тейлора (17) при .

Приклад 1. Знайти .

Маємо невизначеність . Розкладемо функції і у ряд Маклорена з необхідною точністю:

Тоді маємо:

Приклад 2. Знайти .

Маємо невизначеність . Розкладемо функцію в ряд Маклорена: У результаті отримуємо:

.

Дослідження функції на екстемум.

Асимптоти графіка функцій

Нехай функція диференційована на інтервалі . Точка називається точкою екстремуму, якщо .

Точка екстемуму називається локальним мінімумом (максимумом), якщо ліворуч від цієї точки і праворуч від цієї точки.

Крім того, у точці локального мінімуму (максимуму) справедливе співвідношення .

Точка називається точкою перегину, якщо 1) і 2) має різні знаки ліворуч і праворуч від точки .

Приклад 1. Дослідити функцію на екстремум.

Знаходимо похідну і прирівнюємо її нулю: . Отже, точками екстремуму є і . Відмітивши їх на осі х (Рис. 3.1), дослідимо на її верхній частині знак похідної функції в околі цих точок екстремуму, а в її нижній частині – інтервали монотонності даної функції. У результаті маємо: на інтервалі () (функція зростає), на інтервалі (функція спадає), і, нарешті, на інтервалі (функція знову зростає). Це означає, що функція у точці має локальний максимум , а у точці х= 1 – локальний мінімум . Дійсно, і .

 

 

+ max – min +

x

1

Рис. 3.1. Дослідження функції на екстремум

 

– +

х

Рис. 3.2. Дослідження функції на перегин

 

Дослідимо, чи має дана функція точку перегину. Для цього знайдемо другу похідну і прирівняємо її до нуля: . З

Рис. 3.2 видно, що має різні знаки ліворуч і праворуч від точки і, отже, дана точка є точкою перегину функції . Її графік наведено на Рис. 3.3.

4 у

2

 

 

0 1 х

-2

 

 

-4

-2 -1 0 1 2

Рис. 3.3. Графік функції

 

При дослідженні поведінки функції на нескінченності та поблизу точок розриву (невизначеності) часто виявляється, що графік функції як завгодно близько наближається до тієї чи іншої прямої. Такі прямі називаються асимптотами. Існують три види асимптот: вертикальні, горизонтальні і нахилені.