Числові методи побудови розв’язку задачі Коші

ЛЬВІВСЬКИЙ НАЦІОНАЛЬНИЙ АГРАРНИЙ УНІВЕРСИТЕТ

Факультет будівництва та архітектури

Кафедра вищої математики

 

ОСНОВИ ЧИСЛОВИХ МЕТОДІВ

 

У ЗАДАЧАХ МАТЕМАТИЧНОГО МОДЕЛЮВАННЯ

 

З РЕАЛІЗАЦІЄЮ В ПАКЕТІ MAPLE

 

 

Методичні рекомендації та контрольні завдання до курсу

«Основи числового аналізу» з напряму підготовки 6.100102

«Процеси, машини та обладнання агропромислового виробництва»

Львів 2014

 

 

Рекомендовано до друку

методичною радою ЛНАУ

Протокол № 10 від 8.05.2014р.

 

Укладачі: к. ф.-м.н., доцент Л. Я. Шпак

к. ф.-м.н., доцент Т. І. Бубняк

ст.викладач О. І. Говда

 

Рецензент: к. т. н., доцент В.О.Тимочко

 

Видається за редакцією авторів

 

© Львівський національний аграрний університет, 2014

Основні положення роботи в Maple

 

Інтерполяційний многочлен

Для функції заданої таблично:

 

	x	x1	x2	…	xn
	y	y1	y2	…	yn

інтерполяційний многочлен Лагранжа будуємо згідно формули:

 

Наприклад, для функції заданої таблично:

 

	x	-1
	y		-3	-1		?

 

побудуємо інтерполяційний многочлен Лагранжа.Обчислимо наближене значення многочлена у заданій в точці х = -0,5.

Згідно умови функція визначена в чотирьох точках (вузлах) n =4. Згідно запропонованої формули записуємо чотири доданки:

 

.

Одержуємо многочлен третього порядку:

На рис.1 побудовано графік інтерполяційного многочлена. В вузлах інтерполяції його значення співпадають з значеннями заданими в таблиці.

Рис. 1

Обчислюємо значення многочлена в заданій точці:

y = L ₄(-0,5)=7,3.

Побудову інтерполяційного многочлена та обчислення його значення в точці (х = -0,5) в вікні програми Maple здійснюємо операторами:

після вводу яких клавішою Enter одержуємо:

Графік многочлена будуємо оператором:

Треба зауважити, що в діапазоні зміни аргумента х через двокрапку в рядок вказуємо найменше та найбільше його значення з таблиці. Одержуємо графік.

 

Метод найменших квадратів

3.1 Метод найменших квадратів визначення параметрів

лінійної емпіричної залежності y=ax+b

Нехай в результаті емпіричних досліджень одержано таблицю значень функції:

	x	x1	x2	…	xn
	y	y1	y2	…	yn .

За методом найменших квадратів для визначення параметрів a та b

лінійної емпіричної залежності y=ax+b мінімізуємо суму квадратів відхилень відповідних значень на прямій і значень заданих в таблиці

 

З необхідної умови екстремуму функції двох змінних:

 

записуємо систему двох лінійних рівнянь для визначення параметрів a та b:

Розглянемо приклад. Методом найменших квадратів для функції заданої таблично:

x	-1
y		-3	-1

визначити параметри a та b емпіричної лінійної залежності y=ax+b.

При обчисленні коефіцієнтів системи та визначенні розв’язку можна скористатись довільним прикладним програмним забезпеченням, зокрема записати в формі Exel таблиці:

i	x	y	x2	xy
	-1			-14
		-3		-3
		-1		-3
Сума

 

 

Записуємо систему двох лінійних рівнянь:

Розв’язок системи: a =-0,8; b =6,1.

Методом найменших квадратів побудована лінійнаемпірична залежність: y= - 0,8 x+ 6,1.

Побудуємо графік визначеної прямої і точкової функціональної залежності заданої в табличній формі в умові завдання (рис.2).

 

 

 

Рис. 2.

Оскільки параметри прямої визначено методом найменших квадратів то сумарне відхилення точок від прямої є мінімальним.

В вікні програми Maple залежність методом найменших квадратів будуємо підключаючи відповідний статистичний пакет операторами:

>

>

>

ввівши які одержуємо лінійну залежність

.

3.2 Метод найменших квадратів визначення параметрів

квадратичної емпіричної залежності y=ax²+bx+c

Методом найменших квадратів для функції заданої таблично визначимо параметри a, b та с квадратичноїемпіричної залежності y=ax²+bx+c.

За методом найменших квадратів для визначення параметрів a, b та с

для функції заданої таблично аналогічно до попереднього пункту 3.1

 

мінімізуємо функцію:

 

і одержуємо систему лінійних рівнянь:

.

Розглянемо числовий приклад залежності для якого в попередньому пункті 3.1 будувалось лінійне наближення і переконаємось, що збільшення степені многочлена у наближенні, а отже збільшення степенів свободи, дозволяє зменшити похибку апроксимації.

Нехай задано таблицю значень функції:

x	-1
y		-3	-1

При обчислення коефіцієнтів системи та для визначення розв’язку можна скористатись Exel таблицею:

i	x	y	x2	x3	x4	xy	yx2
	-1			-1		-14
		-3				-3	-3
		-1				-3	-9
Сума

Записуємо систему лінійних рівнянь:

Розв’язок системи: a =1,625; b =-7,3; c =4,475.

Методом найменших квадратів побудована емпірична залежність: y = 1,625 x ² - 7,3 x + 4,475.

Побудуємо графік визначеної параболи і точкової функціональної залежності заданої в табличній формі в умові завдання (рис.3). Оскільки параметри визначено методом найменших квадратів то сумарне відхилення точок від параболи є мінімальним.

 

 

Рис. 3.

В Maple залежності методом найменших квадратів вищих степенів будуємо операторами вже описаними в пункті 3.1:

>

>

>

3.3 Метод найменших квадратів визначення параметрів

степеневої емпіричної залежності y=kx^m

 

 

Числові методи побудови розв’язку задачі Коші