Властивості збіжних послідовностей

Теорема Збіжна послідовність має єдину границю.

Доведення. Припустимо, що збіжна послідовність має дві різні границі і , тобто . Тоді та , де і - елементи нескінченно малих послідовностей та . Отже, або Оскільки , за властивістю нескінченно малих послідовностей, є елементами нескінченно малої послідовності, а постійне число, то . Таким чином, .

Теорема. Якщо послідовність збіжна, то вона обмежена.

Доведення. Нехай і - номер, починаючи з якого виконується нерівність , де . Тоді

для всіх . Виберемо . За цієї умови для будь-якого .

Зазначимо, що не всяка обмежена послідовність є збіжною. Наприклад, послідовність обмежена, але не збіжна.

Теорема 2.6. Якщо і - збіжні послідовності, то:

1. Послідовність , яка є сумою (різницею) збіжних послідовностей та , збіжна і її границя дорівнює сумі (різниці) границь цих послідовностей, тобто .

2. Послідовність , яка є добутком збіжних послідовностей й , збіжна і її границя дорівнює добутку границь цих послідовностей, тобто .

3. Послідовність , яка є часткою збіжних послідовностей та , за умови , збіжна і її границя дорівнює частці границь цих послідовностей, тобто .

Доведення. Нехай і - збіжні послідовності та . Тоді і , де й – елементи нескінченно малих послідовностей і . Покажемо, що має місце:

1) .

Оскільки є елементами нескінченно малої послідовності , то звідси випливає, що .

2) .

Оскільки є елементами нескінченно малої послідовності , то .

Тобто .

Послідовність є нескінченно малою. Покажемо, що послідовність обмежена. Оскільки і , то для існує такий номер , що для всіх виконується нерівність ,

отже, , тобто , а тому для всіх . Звідси випливає, що послідовність обмежена.

Таким чином, послідовність нескінченно мала, а тому

тобто

, де .

Зауваження. Пункт 1) наведеної теореми допускає узагальнення на довільне скінченне число доданків. Пункт 2) - на довільне скінченне число множників. Із пункту 2) випливає, що постійний множник можна виносити за знак границі, тобто

Невизначені вирази.

Нехай і . Виникає питання, що можна сказати про границю ? Виявляється, що ця границя залежно від окремого закону поведінки змінних та може приймати різні значення або взагалі не існувати.

Приклади.

1. Якщо і , то .

2. Якщо і , то .

3. Якщо і , то .

4. Якщо і , то та не існує.

Отже, лише значення границь числових послідовностей , не дозволяє у розглянутому вище випадку робити висновки про значення границі їх відношення. Для того, щоб схарактеризувати цю особливість, говорять, що за умови і вираз є невизначеністю типу .