Числові характеристики статистичного розподілення

Київ 2011

ПЕРВИННИЙ СТАТИСТИЧНИЙ АНАЛІЗ

Таблиця 1. Результати вимірювання потенціометра, В.

84,3368   84,3403   84,3323   84,3371   84,3285   84,3385   84,3461   84,3417   84,3397   84,3515   84,3335   84,3371   84,324   84,3365   84,3413   84,3379   84,329   84,3463   84,3392   84,3414   84,3383   84,3419   84,3296   84,3381   84,3442   84,3354   84,3367   84,3435   84,3385   84,3348   84,3371   84,3357   84,3423   84,3379   84,3317   84,3505   84,3369   84,3471   84,3471   84,3396   84,3372   84,3351   84,3429   84,3374   84,3402   84,3391   84,3475   84,3373   84,3438   84,3345

Кожне окреме значення параметра, отримане у результаті і -го досліда, позначають через хі і називають варіантою, а ряд, скадений із варіант − варіаційним рядом, або рядом розподілення. Число, яке вказує скільки разів зустрічається кожна варіанта у варіаційному ряді, називається частотою.

1. Число інтервалів N вибирають в залежності від числа спостережень п згідно таблиці 1:

Таблиця 1

п N-1

40 − 100 7 − 9

100 − 500 8 − 12

500 − 1000 10 − 16

1000 − 10000 12 – 22

 

Число інтервалів N може бути знайдено з формули:

N=3+3,322Elgn=3,322Еlg50=9.

2. Інтервали, як правило, вибирають однакові. Довжину інтервалу визначають за формулою:

,

При визначені границь інтервалів рекомендується починати ряд з значення, яке на 1/2 інтервала менше xmin, і закінчувати ряд значенням, яке перевищує xmax також на 1/2 інтервала. Побудову інтервального варіаційного рядка починаємо зі складання робочої таблиці, в яку заносимо інтервали, центри інтервалів і частоту варіант.

Знаходимо границі інтервального рядка:

ліву

(В);

праву

(В).

Для наочності статистичне розподілення оформлюється у вигляді різних графіків, один з яких називається гістограмою. При побудові гістограми на осі абсцис відкладають інтервали, а над ними проводять відрізки, паралельні до осі абсцис з ординатами, рівними: а) або б) .

У випадку а) площина і -го частинного прямокутника − частота варіант, які входить до складу і -го варіанту. Отже, площа гістограми дорівнює сумі (об’єму вибірки) п усіх частот.

У випадку б) сума всіх ординат дорівнює об’єму вибірки п. Якщо використовується варіаційний ряд відносно частот (частостей) , площа відповідної цьому ряду гістограми дорівнює одиниці. При побудові гістограми масштаб вибирають таким, щоб максимальна ордината складала 5/8 основи.

З даних таблиці 2 будуємо ряд розподілення (таб. 3), де mi − частота варіант у даному інтервалі.

 

Таблиця 3. Розподілення значень результатів вимірювання потенціометра

і	Інтервали, В	Центри інтервалів хі, В	Частоти mi
	84,3240…84,3274 84,3274…84,3308 84,3308…84,3342 84,3342…84,3376 84,3376…84,3410 84,3410…84,3444 84,3444…84,3478 84,3478…84,3512 84,3512…84,3546	84,3257 84,3291 84,3325 84,3359 84,3393 84,3427 84,3461 84,3495 84,3529

Будуємо гістограму:

 

ЧИСЛОВІ ХАРАКТЕРИСТИКИ СТАТИСТИЧНОГО РОЗПОДІЛЕННЯ

В теорії ймовірностей у якості основних параметрів розподілення випадкової величини знаходять широке застосування різні числові характеристики: математичне сподівання, дисперсія, початкові і центральні моменти різних порядків. При вивчені статистичних розподілень, побудованих за вибіркованими даними, кожній числовій характеристиці випадкової величини відповідає її статистична аналогія − оцінка числової характеристики.

Ці оцінки використовуються в якості приблизних значень параметрів розподілення досліджуваної випадкової величини. Оцінки числових характеристик виражаються через вибіркові дані й з випадковості вибірок є випадковими величинами.

Для того щоб статистичні оцінки давали “гарні” наближення оці-нюваних параметрів, вони повинні бути незміщеними, ефективними і спроможними.

Незміщеною називають статистичну оцінку, математичне сподівання якої дорівнює оцінюваному параметру.

Ефективною називають статистичну оцінку, яка при п → ∞ прямує за ймовірностю до оцінюваного параметра. В математичній статиці доведено, що вимогам незміщеності, ефективності і спроможності задовольняють основні вибіркові характеристики: вибіркова середня і вибіркова дисперсія

Для згрупованих даних:

,

= ;

Для незгрупованих даних:

,

.

Щоб спростити доволі громіздкі розрахунки, вихідні варіанти замінюють умовними:

,

де с_х − умовний нуль (новий початок відліку).

Умовні варіанти завжди являються цілими числами. Нехай в якості умовного нуля вибрана варіанта х_m. Тоді:

 

.

 

Так як і та m − цілі числа, їх різниця і−m = U_i також ціле число.

Максимальна простота розрахунків досягається, якщо в якості умовного нуля вибирають варіанту, яка розташована приблизно в середині варіаційного ряду (частіше така варіанта має найбільшу частоту).

Застосування умовної варіанти дозволяє обчислювати середню вибіркову і вибіркову дисперсію S₂ за формулами:

;

,

де ; .

.

При обчислені вибіркових середньої та дисперсії доцільно користуватися розрахунковою таблицею 4, яка складається:

1) перший, другий і третій стовпці утворюють статистичне розподі-лення (варіаційний ряд);

2) в четвертий стовпчик записують умовні варіанти (в якості умовного нуля вибирають варіанту, яка розташована приблизно в середині варіаційного рядка), в клітинці рядка, яка містить умовний нуль, пишуть 0; в клітинках над нулем пишуть послідовно −1,−2,−3 і т.п., під нулем пишуть – 1; 2; 3,…;

3) добутки частоти на умовні варіанти записують в п’ятий стовпчик, їх суму розміщують у нижню клітинку стовпчика;

4) добутки частоти на квадрати умовних варіант записують в шостий стовпчик, їх суму розміщують в нижню клітинку стовпця;

5) добутки частоти на квадрати умовних варіантів, збільшених на одиницю записують в сьомий контрольний стовпчик, їх суму розміщують в нижню клітинку стовпчика.

Сьомий стовпчик розрахункової таблиці (таб.4) слугує для контролю розрахунків: якщо сума буде рівною сумі (як і повинно бути у відповідності з тотожністю ), розрахунки виконані правильно.

Складаємо розрахункову таблицю 4:

 

Таблиця 4. Розрахунок числових характеристик

і	Інтервали, В	Центри інтервалів хі, В	Частоти mi
	84,3240…84,3274 84,3274…84,3308 84,3308…84,3342 84,3342…84,3376 84,3376…84,3410 84,3410…84,3444 84,3444…84,3478 84,3478…84,3512 84,3512…84,3546	84,3257 84,3291 84,3325 84,3359 84,3393 84,3427 84,3461 84,3495 84,3529		-3 -2 -1	-3 -6 -3
Сума		-

 

Контроль:

; .

 

Обчислення виконані правильно.

Середньоквадратичне відхилення: (В).

Зіставимо таблицю 5:

;

 

m'_i= φ(zі) ; m'̓_i – заокруглене значення.

 

Таблиця 5. Розрахунок теоретичних частот

№ п/п	Інтервали	Центри	mi		φ(хі)	mi′	mi''
	84,3240…84,3274 84,3274…84,3308 84,3308…84,3342 84,3342…84,3376 84,3376…84,3410 84,3410…84,3444 84,3444…84,3478 84,3478…84,3512 84,3512…84,3546	84,3257 84,3291 84,3325 84,3359 84,3393 84,3427 84,3461 84,3495 84,3529		-2,43075 -1,799 -1,662 -0,5366 0,09478 0,726165 1,3575 2,0075 2,6203	0,0208 0,0790 0,2012 0,3091 0,3973 0,3056 0,1582 0,0459 0,0129	0,6643 2,5233 6,4263 10,83 12,689 9,7608 5,0529 1,466 0,412