Двоичная система счисления

Практическая работа СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ

(материалы http://vestikinc.narod.ru/AB/index.htm)

 

Привычная нам десятичная система счисления имеет, по сравнению с другими системами счета, физиологическое преимущество – большинство людей от рождения обладают «встроенным» в собственное тело калькулятором – двумя руками и двумя ногами, и, соответственно, двадцатью пальцами. В «живом» калькуляторе пальцы могут служить одновременно числами (1-20), разрядами (100 - 1020) и индикаторами (включено/выключено, т.е. согнут/разогнут). Наглядность представления чисел предопределило успех этой системы счисления в древности, поскольку позволяло осуществлять, скажем, торговлю между группами людей, говоривших на разных языках. Высокая разрядность «биологического» калькулятора (до 1020) не использовалась в полной мере, и двадцатеричные системы счисления в истории человечества встречались редко (чукчи, майя, баски, кельтские народы в прежние времена, народы Франции - достаточно вспомнить отголоски ее во французских числительных - роман Виктора Гюго "93 год" по-французски "Quatre-vingts-treize" - "четыре двадцатки тринадцать"). Зато существовали другие, более простые системы счета – например, пятеричная у китайцев (по количеству пальцев на одной руке или ноге) или двенадцатеричная у англичан.

За всю свою историю человечество смогло создать только два типа систем счисления или записи цифр – позиционную и непозиционную, или знаковую. Непозиционные системы записи цифр появились раньше позиционных.

Непозиционная система счисления применялась в Древнем Риме – для записи цифр использовались буквы латинского алфавита, обозначавшие определенные количества:

I - единица

V - пять

X - десять

L - пятьдесят

C - сто

D - пятьсот

M - тысяча

В этой системе цифры записывались так, чтобы при суммировании цифровых эквивалентов букв получалось требуемое число, например:

MDCLXVI = 1000+500+100+50+10+5+1=1666

Если младшая цифра стоит перед старшей, то эта цифра вычитается:

MCDXLIV = 1000-100+500-10+50-1+5=1444

Возникает ощущение, что одну и ту же цифру можно записать разными способами – например, XIX и XVIIII, однако специальное правило запрещает запись буквы I в цифре более трех раз подряд.

Позиционная система счисления подразумевает более сложный уровень абстракции – для записи цифр используется базовый набор символов, число которых составляет основание системы счисления. Место каждого символа в числе называется позицией, а номер позиции символа (за вычетом единицы) называется разрядом. Разряды увеличиваются, начиная с нулевого: нулевой, первый, второй и т.д., причем нулевой называется младшим разрядом, а последний – старшим разрядом.

В позиционных системах счисления любое положительное число может быть записано при помощи формулы, составить которую можно, введя следующие обозначения:

Пусть p - основание системы счисления, A_p - количественный эквивалент числа A, состоящего из n цифр a^k, где k =0, …, n-1. Тогда число A можно представить как последовательность цифр A_p= a^n-1a^n-2...a¹a⁰, причем всегда a^k < p.

В общем случае количественный эквивалент любого положительного числа в позиционной системе счисления можно представить в виде:

A_p = a_n-1·p^n-1+a_n-2·p^n-2 +... + a₁·p¹+a₀·p⁰, [1]

где a - цифра данной системы счисления, n - номер старшего разряда числа.

Проанализировав это выражение, можно сформулировать следующее общее правило: количественный эквивалент числа в некоторой позиционной системе счисления равен сумме произведений количественных значений цифр и степеней основания, показатели которых равны номерам разрядов, причем нумерация разрядов начинается с нуля.

В привычной нам десятичной системе счисления любое положительное число может быть представлено по формуле [1] аналогично следующему примеру:

1254698357 = 1·10⁹+2·10⁸+5·10⁷+4·10⁶+6·10⁵+9·10⁴+8·10³+3·10²+5·10¹+7·10⁰

 

ОБЗОР РАЗЛИЧНЫХ СИСТЕМ СЧИСЛЕНИЯ

Двоичная система счисления

Как известно, персональные компьютеры состоят из полупроводниковых интегральных микросхем различного уровня сложности, совместная работа которых обеспечивается, с одной стороны, согласованностью электрических и частотных характеристик (для работы устройств на «физическом» уровне), а с другой стороны, строгим соблюдением определенных логических правил (для выполнения устройствами задач «логического» уровня). Современные технологии изготовления цифровых микросхем базируются на двух типах логических вентилей, или переключателей (подробнее об этом будет изложено в курсах «Цифровые ЭВМ», «Компьютерная микроэлектроника», и др.), а именно, TTL (ТТЛ Transistor-Transistor Logic – транзисторно-транзисторная логика) и CMOS (Complementary Metal-Oxide Semiconductor, КМОП – комплементарная логика на транзисторах с изолированным затвором) – структурах. Микросхемы TTL по быстродействию несколько выше, а CMOS имеют больший размах сигнала, малые входные токи и малое потребление питания.

На «физическом» уровне напряжение питания логических микросхем – постоянное напряжение +5 В относительно общего провода – шины GND (от «GrouND» - земля). В TTL - логике различают входы, выходы (обычные, тристабильные и с открытым коллектором) и двунаправленные выводы. Переключения и изменения состояния логических элементов зависит от уровня логических сигналов на входе, каковыми являются напряжения 0,36-0,5 В ("логический ноль") и 2,4…2,7 В ("логическая единица"). Порогом переключения состояния является уровень сигнала 1,3-1,4 В. Напряжение ниже этого порога воспринимается как низкий уровень, выше – как высокий. Состояние свободного (неподключенного) входа TTL - микросхемы рассматривается как высокоуровневое.

Из всего вышеизложенного можно сделать вывод, что «физический» уровень работы интегральных микросхем, составляющих персональный компьютер, предоставляет «логическому» уровню базис из двух состояний: «есть сигнал» - «нет сигнала». Логично принять присутствие сигнала за логическую единицу, а его отсутствие – за логический ноль. Именно этот факт и привел к широкому использованию двоичной системы счисления в вычислительной технике, в которой имеются только две цифры – {0, 1}, т.е. основание p(2) = 2. Иногда эти двоичные числа называют битами (от англ. binary digit). По умолчанию считается, что «0» - «выключено» (LOW signal), а «1» - «включено» (HIGH signal).

Согласно формуле [1], количественный эквивалент некоторого целого положительного n - значного числа в двоичной системе отсчета равен:

A₂ = a_n-1·2^n-1+a_n-2·2^n-2 +... + a₁·2¹+a₀·2⁰, [2]

Например,

1011001 = (1·2⁶)+(0·2⁵)+(1·2⁴)+(1·2³)+(0·2²)+(0·2¹)+(1·2⁰) =64+16+8+1 = 89₁₀